MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulsubfacd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulsubfacd 11714
Description: Multiplication followed by the subtraction of a factor. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Aug-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
muls1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
muls1d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
Assertion
Ref Expression
mulsubfacd (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 − 1) · 𝐵))

Proof of Theorem mulsubfacd
StepHypRef Expression
1 muls1d.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 1cnd 11248 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
3 muls1d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
41, 2, 3subdird 11710 . 2 (𝜑 → ((𝐴 − 1) · 𝐵) = ((𝐴 · 𝐵) − (1 · 𝐵)))
53mullidd 11271 . . 3 (𝜑 → (1 · 𝐵) = 𝐵)
65oveq2d 7430 . 2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − (1 · 𝐵)) = ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵))
74, 6eqtr2d 2767 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐵) − 𝐵) = ((𝐴 − 1) · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  (class class class)co 7414  cc 11145  1c1 11148   · cmul 11152  cmin 11483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4907  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5571  df-po 5585  df-so 5586  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-ltxr 11292  df-sub 11485
This theorem is referenced by:  subhalfhalf  12490  gausslemma2dlem1a  27389  numclwwlk3lem1  30310  dirkertrigeqlem2  45754  fourierdlem42  45804  fourierdlem48  45809  fpprwpprb  47346  m1modmmod  47943
  Copyright terms: Public domain W3C validator