Proof of Theorem fpprwpprb
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | fpprbasnn 47716 |
. . . 4
⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ) |
| 2 | | fpprel 47715 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ
∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))) |
| 3 | | 3simpa 1149 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉
ℙ)) |
| 4 | 3 | a1i 11 |
. . . . 5
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉
ℙ))) |
| 5 | 2, 4 | sylbid 240 |
. . . 4
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉
ℙ))) |
| 6 | 1, 5 | mpcom 38 |
. . 3
⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉
ℙ)) |
| 7 | | fpprwppr 47726 |
. . . 4
⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) |
| 8 | 1, 7 | jca 511 |
. . 3
⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) |
| 9 | 6, 8 | jca 511 |
. 2
⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ)
∧ (𝑁 ∈ ℕ
∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) |
| 10 | | simprll 779 |
. . . 4
⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ)
∧ (𝑁 ∈ ℕ
∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈
(ℤ≥‘4)) |
| 11 | | simprlr 780 |
. . . 4
⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ)
∧ (𝑁 ∈ ℕ
∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∉ ℙ) |
| 12 | | eluz4nn 12928 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ) |
| 13 | 12 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ) |
| 14 | | nnz 12634 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℤ) |
| 15 | 12 | nnnn0d 12587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈
ℕ0) |
| 16 | | zexpcl 14117 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0)
→ (𝑁↑𝑋) ∈
ℤ) |
| 17 | 14, 15, 16 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ) |
| 18 | 14 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 19 | | moddvds 16301 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁))) |
| 20 | 13, 17, 18, 19 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁))) |
| 21 | | nncn 12274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℂ) |
| 22 | | expm1t 14131 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁)) |
| 23 | 21, 12, 22 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁)) |
| 24 | 23 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁)) |
| 25 | | nnm1nn0 12567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (𝑋 − 1) ∈
ℕ0) |
| 26 | 12, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) → (𝑋 − 1) ∈
ℕ0) |
| 27 | | zexpcl 14117 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 1) ∈
ℕ0) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈
ℤ) |
| 28 | 14, 26, 27 | syl2anr 597 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈
ℤ) |
| 29 | 28 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈
ℂ) |
| 30 | 21 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ) |
| 31 | 29, 30 | mulsubfacd 11724 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁)) |
| 32 | 24, 31 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁)) |
| 33 | 32 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))) |
| 34 | | 1zzd 12648 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈
ℤ) |
| 35 | 28, 34 | zsubcld 12727 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈
ℤ) |
| 36 | | dvdsmulgcd 16593 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ ∧
𝑁 ∈ ℤ) →
(𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)))) |
| 37 | 35, 18, 36 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)))) |
| 38 | | eluzelz 12888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℤ) |
| 39 | | gcdcom 16550 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋)) |
| 40 | 38, 14, 39 | syl2an 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋)) |
| 41 | 40 | eqeq1d 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑋) = 1)) |
| 42 | 41 | biimpd 229 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑁 gcd 𝑋) = 1)) |
| 43 | 42 | imp 406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑋) = 1) |
| 44 | 43 | oveq2d 7447 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ·
1)) |
| 45 | 35 | zcnd 12723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈
ℂ) |
| 46 | 45 | mulridd 11278 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) =
((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)) |
| 47 | 46 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) =
((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)) |
| 48 | 44, 47 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)) |
| 49 | 48 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))) |
| 50 | 49 | biimpd 229 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))) |
| 51 | 50 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))) |
| 52 | 51 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))) |
| 53 | 37, 52 | sylbid 240 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))) |
| 54 | 33, 53 | sylbid 240 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))) |
| 55 | 20, 54 | sylbid 240 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))) |
| 56 | 55 | expimpd 453 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))) |
| 57 | 56 | adantr 480 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))) |
| 58 | 57 | imp 406 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))) |
| 59 | 58 | impcom 407 |
. . . . 5
⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ)
∧ (𝑁 ∈ ℕ
∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)) |
| 60 | | eluz4eluz2 12925 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈
(ℤ≥‘2)) |
| 61 | 60 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈
(ℤ≥‘2)) |
| 62 | 61 | adantr 480 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈
(ℤ≥‘2)) |
| 63 | 14 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → 𝑁 ∈ ℤ) |
| 64 | 26 | adantr 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 − 1) ∈
ℕ0) |
| 65 | 63, 64, 27 | syl2anr 597 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈
ℤ) |
| 66 | 62, 65 | jca 511 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2)
∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈
ℤ)) |
| 67 | 66 | adantl 481 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ)
∧ (𝑁 ∈ ℕ
∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2)
∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈
ℤ)) |
| 68 | | modm1div 16302 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑋 ∈
(ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))) |
| 69 | 67, 68 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ)
∧ (𝑁 ∈ ℕ
∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))) |
| 70 | 59, 69 | mpbird 257 |
. . . 4
⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ)
∧ (𝑁 ∈ ℕ
∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) |
| 71 | 2 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ
∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))) |
| 72 | 71 | adantl 481 |
. . . . 5
⊢ (((𝑋 ∈
(ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ
∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))) |
| 73 | 72 | adantl 481 |
. . . 4
⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ)
∧ (𝑁 ∈ ℕ
∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ
∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1))) |
| 74 | 10, 11, 70, 73 | mpbir3and 1343 |
. . 3
⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ)
∧ (𝑁 ∈ ℕ
∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁)) |
| 75 | 74 | ex 412 |
. 2
⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ)
∧ (𝑁 ∈ ℕ
∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁))) |
| 76 | 9, 75 | impbid2 226 |
1
⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4)
∧ 𝑋 ∉ ℙ)
∧ (𝑁 ∈ ℕ
∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))))) |