Theorem fpprwpprb 48505

Description: An integer 𝑋 which is coprime with an integer 𝑁 is a Fermat pseudoprime to the base 𝑁 iff it is a weak pseudoprime to the base 𝑁. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprwpprb	⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))

Proof of Theorem fpprwpprb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpprbasnn 48494	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fpprel 48493	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3		3simpa 1166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
5	2, 4	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
6	1, 5	mpcom 39	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
7		fpprwppr 48504	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))
8	1, 7	jca 520	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
9	6, 8	jca 520	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))))
10		simprll 790	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
11		simprlr 791	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∉ ℙ)
12		eluz4nn 12909	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
13	12	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ)
14		nnz 12607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12	nnnn0d 12560	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ0)
16		zexpcl 14108	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ)
17	14, 15, 16	syl2anr 608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ)
18	14	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		moddvds 16316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁)))
20	13, 17, 18, 19	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁)))
21		nncn 12236	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		expm1t 14122	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
23	21, 12, 22	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
24	23	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁))
25		nnm1nn0 12540	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
26	12, 25	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
27		zexpcl 14108	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
28	14, 26, 27	syl2anr 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℂ)
30	21	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 30	mulsubfacd 11670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
32	24, 31	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
33	32	breq2d 5121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁)))
34		1zzd 12620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
35	28, 34	zsubcld 12700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
36		dvdsmulgcd 16609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
37	35, 18, 36	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
38		eluzelz 12867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℤ)
39		gcdcom 16566	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
40	38, 14, 39	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
41	40	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
42	41	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
43	42	imp 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑋) = 1)
44	43	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1))
45	35	zcnd 12696	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℂ)
46	45	mulridd 11221	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
47	46	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
48	44, 47	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
49	48	breq2d 5121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
50	49	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
51	50	ex 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
52	51	com23 87	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
53	37, 52	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
54	33, 53	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
55	20, 54	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
56	55	expimpd 458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
57	56	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
58	57	imp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
59	58	impcom 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
60		uzuzle24 12904	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
61	60	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
62	61	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
63	14	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
65	63, 64, 27	syl2anr 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
66	62, 65	jca 520	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
67	66	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
68		modm1div 16317	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
69	67, 68	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
70	59, 69	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)
71	2	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
72	71	adantl 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
73	72	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
74	10, 11, 70, 73	mpbir3and 1361	. . 3 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁))
75	74	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁)))
76	9, 75	impbid2 229	1 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∉ wnel 3064   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  1c1 11096   · cmul 11100   − cmin 11436  ℕcn 12228  2c2 12290  4c4 12292  ℕ₀cn0 12499  ℤcz 12586  ℤ_≥cuz 12857   mod cmo 13898  ↑cexp 14093   ∥ cdvds 16305   gcd cgcd 16547  ℙcprime 16724   FPPr cfppr 48489

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-rp 13012  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-fppr 48490

This theorem is referenced by:  fpprel2  48506