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Theorem fpprwpprb 46343
Description: An integer 𝑋 which is coprime with an integer 𝑁 is a Fermat pseudoprime to the base 𝑁 iff it is a weak pseudoprime to the base 𝑁. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fpprwpprb ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))

Proof of Theorem fpprwpprb
StepHypRef Expression
1 fpprbasnn 46332 . . . 4 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 fpprel 46331 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3 3simpa 1149 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
43a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
52, 4sylbid 239 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
61, 5mpcom 38 . . 3 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
7 fpprwppr 46342 . . . 4 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))
81, 7jca 513 . . 3 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
96, 8jca 513 . 2 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))))
10 simprll 778 . . . 4 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))
11 simprlr 779 . . . 4 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∉ ℙ)
12 eluz4nn 12866 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ)
14 nnz 12575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1512nnnn0d 12528 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℕ0)
16 zexpcl 14038 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑋) ∈ ℤ)
1714, 15, 16syl2anr 598 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ ℤ)
1814adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 moddvds 16204 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝑋) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁𝑋) − 𝑁)))
2013, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁𝑋) − 𝑁)))
21 nncn 12216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22 expm1t 14052 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
2321, 12, 22syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
2423oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁))
25 nnm1nn0 12509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℕ → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
27 zexpcl 14038 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
2814, 26, 27syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
2928zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℂ)
3021adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3129, 30mulsubfacd 11671 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
3224, 31eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
3332breq2d 5159 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁𝑋) − 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁)))
34 1zzd 12589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
3528, 34zsubcld 12667 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
36 dvdsmulgcd 16493 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
3735, 18, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
38 eluzelz 12828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℤ)
39 gcdcom 16450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
4038, 14, 39syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
4140eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
4241biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
4342imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑋) = 1)
4443oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1))
4535zcnd 12663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℂ)
4645mulridd 11227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
4746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
4844, 47eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
4948breq2d 5159 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
5049biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
5150ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5337, 52sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5433, 53sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁𝑋) − 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5520, 54sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5655expimpd 455 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5756adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5857imp 408 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
5958impcom 409 . . . . 5 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
60 eluz4eluz2 12865 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
6160adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
6261adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
6314adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6426adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
6563, 64, 27syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
6662, 65jca 513 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
6766adantl 483 . . . . . 6 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
68 modm1div 16205 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
6967, 68syl 17 . . . . 5 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
7059, 69mpbird 257 . . . 4 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)
712adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
7271adantl 483 . . . . 5 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
7372adantl 483 . . . 4 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
7410, 11, 70, 73mpbir3and 1343 . . 3 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁))
7574ex 414 . 2 ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁)))
769, 75impbid2 225 1 ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wnel 3047   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  1c1 11107   · cmul 11111  cmin 11440  cn 12208  2c2 12263  4c4 12265  0cn0 12468  cz 12554  cuz 12818   mod cmo 13830  cexp 14023  cdvds 16193   gcd cgcd 16431  cprime 16604   FPPr cfppr 46327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-fppr 46328
This theorem is referenced by:  fpprel2  46344
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