Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fpprwpprb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpprwpprb 46487
Description: An integer ๐‘‹ which is coprime with an integer ๐‘ is a Fermat pseudoprime to the base ๐‘ iff it is a weak pseudoprime to the base ๐‘. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fpprwpprb ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))))

Proof of Theorem fpprwpprb
StepHypRef Expression
1 fpprbasnn 46476 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 fpprel 46475 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
3 3simpa 1148 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™))
43a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™)))
52, 4sylbid 239 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™)))
61, 5mpcom 38 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™))
7 fpprwppr 46486 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))
81, 7jca 512 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
96, 8jca 512 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))))
10 simprll 777 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4))
11 simprlr 778 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆ‰ โ„™)
12 eluz4nn 12872 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
14 nnz 12581 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1512nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•0)
16 zexpcl 14044 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
1714, 15, 16syl2anr 597 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
1814adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
19 moddvds 16210 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹) โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘)))
2013, 17, 18, 19syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹) โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘)))
21 nncn 12222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
22 expm1t 14058 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
2321, 12, 22syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
2423oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘))
25 nnm1nn0 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘‹ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
27 zexpcl 14044 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
2814, 26, 27syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
2928zcnd 12669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3021adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3129, 30mulsubfacd 11677 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘))
3224, 31eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘))
3332breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) โ†” ๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘)))
34 1zzd 12595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3528, 34zsubcld 12673 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
36 dvdsmulgcd 16499 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘) โ†” ๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹))))
3735, 18, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘) โ†” ๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹))))
38 eluzelz 12834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„ค)
39 gcdcom 16456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‹ gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐‘‹))
4038, 14, 39syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐‘‹))
4140eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ gcd ๐‘‹) = 1))
4241biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘ gcd ๐‘‹) = 1))
4342imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘‹) = 1)
4443oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท 1))
4535zcnd 12669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4645mulridd 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท 1) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
4746adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท 1) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
4844, 47eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
4948breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
5049biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
5150ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5337, 52sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5433, 53sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5520, 54sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5655expimpd 454 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5756adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5857imp 407 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
5958impcom 408 . . . . 5 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
60 eluz4eluz2 12871 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6160adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6261adantr 481 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6314adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6426adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6563, 64, 27syl2anr 597 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
6662, 65jca 512 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค))
6766adantl 482 . . . . . 6 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค))
68 modm1div 16211 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
6967, 68syl 17 . . . . 5 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
7059, 69mpbird 256 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)
712adantr 481 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
7271adantl 482 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
7372adantl 482 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
7410, 11, 70, 73mpbir3and 1342 . . 3 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘))
7574ex 413 . 2 ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘)))
769, 75impbid2 225 1 ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โˆ‰ wnel 3046   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  1c1 11113   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446  โ„•cn 12214  2c2 12269  4c4 12271  โ„•0cn0 12474  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824   mod cmo 13836  โ†‘cexp 14029   โˆฅ cdvds 16199   gcd cgcd 16437  โ„™cprime 16610   FPPr cfppr 46471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-fppr 46472
This theorem is referenced by:  fpprel2  46488
  Copyright terms: Public domain W3C validator