Theorem fpprwpprb 48231

Description: An integer 𝑋 which is coprime with an integer 𝑁 is a Fermat pseudoprime to the base 𝑁 iff it is a weak pseudoprime to the base 𝑁. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprwpprb	⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))

Proof of Theorem fpprwpprb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpprbasnn 48220	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fpprel 48219	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3		3simpa 1154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
5	2, 4	sylbid 241	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
6	1, 5	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
7		fpprwppr 48230	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))
8	1, 7	jca 516	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
9	6, 8	jca 516	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))))
10		simprll 784	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
11		simprlr 785	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∉ ℙ)
12		eluz4nn 12831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
13	12	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ)
14		nnz 12536	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12	nnnn0d 12489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ0)
16		zexpcl 14029	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ)
17	14, 15, 16	syl2anr 603	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ)
18	14	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		moddvds 16223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁)))
20	13, 17, 18, 19	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁)))
21		nncn 12173	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		expm1t 14043	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
23	21, 12, 22	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
24	23	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁))
25		nnm1nn0 12469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
26	12, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
27		zexpcl 14029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
28	14, 26, 27	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℂ)
30	21	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 30	mulsubfacd 11602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
32	24, 31	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
33	32	breq2d 5084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁)))
34		1zzd 12549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
35	28, 34	zsubcld 12629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
36		dvdsmulgcd 16516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
37	35, 18, 36	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
38		eluzelz 12789	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℤ)
39		gcdcom 16473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
40	38, 14, 39	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
41	40	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
42	41	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
43	42	imp 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑋) = 1)
44	43	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1))
45	35	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℂ)
46	45	mulridd 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
47	46	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
48	44, 47	eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
49	48	breq2d 5084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
50	49	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
51	50	ex 413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
52	51	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
53	37, 52	sylbid 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
54	33, 53	sylbid 241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
55	20, 54	sylbid 241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
56	55	expimpd 454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
57	56	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
58	57	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
59	58	impcom 408	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
60		uzuzle24 12826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
61	60	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
62	61	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
63	14	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	26	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
65	63, 64, 27	syl2anr 603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
66	62, 65	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
67	66	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
68		modm1div 16224	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
69	67, 68	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
70	59, 69	mpbird 258	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)
71	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
72	71	adantl 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
73	72	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
74	10, 11, 70, 73	mpbir3and 1349	. . 3 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁))
75	74	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁)))
76	9, 75	impbid2 227	1 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ∉ wnel 3038   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  1c1 11030   · cmul 11034   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  4c4 12229  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779   mod cmo 13819  ↑cexp 14014   ∥ cdvds 16212   gcd cgcd 16454  ℙcprime 16631   FPPr cfppr 48215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-fppr 48216

This theorem is referenced by:  fpprel2  48232