Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fpprwpprb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpprwpprb 46018
Description: An integer ๐‘‹ which is coprime with an integer ๐‘ is a Fermat pseudoprime to the base ๐‘ iff it is a weak pseudoprime to the base ๐‘. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fpprwpprb ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))))

Proof of Theorem fpprwpprb
StepHypRef Expression
1 fpprbasnn 46007 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 fpprel 46006 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
3 3simpa 1149 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™))
43a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™)))
52, 4sylbid 239 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™)))
61, 5mpcom 38 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™))
7 fpprwppr 46017 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))
81, 7jca 513 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
96, 8jca 513 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))))
10 simprll 778 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4))
11 simprlr 779 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆ‰ โ„™)
12 eluz4nn 12816 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
14 nnz 12525 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1512nnnn0d 12478 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•0)
16 zexpcl 13988 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
1714, 15, 16syl2anr 598 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
1814adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
19 moddvds 16152 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹) โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘)))
2013, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹) โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘)))
21 nncn 12166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
22 expm1t 14002 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
2321, 12, 22syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
2423oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘))
25 nnm1nn0 12459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘‹ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
27 zexpcl 13988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
2814, 26, 27syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
2928zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3021adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3129, 30mulsubfacd 11621 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘))
3224, 31eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘))
3332breq2d 5118 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) โ†” ๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘)))
34 1zzd 12539 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3528, 34zsubcld 12617 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
36 dvdsmulgcd 16441 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘) โ†” ๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹))))
3735, 18, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘) โ†” ๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹))))
38 eluzelz 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„ค)
39 gcdcom 16398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‹ gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐‘‹))
4038, 14, 39syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐‘‹))
4140eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ gcd ๐‘‹) = 1))
4241biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘ gcd ๐‘‹) = 1))
4342imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘‹) = 1)
4443oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท 1))
4535zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4645mulid1d 11177 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท 1) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
4746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท 1) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
4844, 47eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
4948breq2d 5118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
5049biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
5150ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5337, 52sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5433, 53sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5520, 54sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5655expimpd 455 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5756adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5857imp 408 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
5958impcom 409 . . . . 5 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
60 eluz4eluz2 12815 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6160adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6261adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6314adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6426adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6563, 64, 27syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
6662, 65jca 513 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค))
6766adantl 483 . . . . . 6 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค))
68 modm1div 16153 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
6967, 68syl 17 . . . . 5 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
7059, 69mpbird 257 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)
712adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
7271adantl 483 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
7372adantl 483 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
7410, 11, 70, 73mpbir3and 1343 . . 3 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘))
7574ex 414 . 2 ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘)))
769, 75impbid2 225 1 ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ‰ wnel 3046   class class class wbr 5106  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  1c1 11057   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  โ„•cn 12158  2c2 12213  4c4 12215  โ„•0cn0 12418  โ„คcz 12504  โ„คโ‰ฅcuz 12768   mod cmo 13780  โ†‘cexp 13973   โˆฅ cdvds 16141   gcd cgcd 16379  โ„™cprime 16552   FPPr cfppr 46002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-fppr 46003
This theorem is referenced by:  fpprel2  46019
  Copyright terms: Public domain W3C validator