Theorem fpprwpprb 47724

Description: An integer 𝑋 which is coprime with an integer 𝑁 is a Fermat pseudoprime to the base 𝑁 iff it is a weak pseudoprime to the base 𝑁. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprwpprb	⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))

Proof of Theorem fpprwpprb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpprbasnn 47713	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fpprel 47712	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3		3simpa 1148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
5	2, 4	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
6	1, 5	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
7		fpprwppr 47723	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))
8	1, 7	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
9	6, 8	jca 511	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))))
10		simprll 778	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
11		simprlr 779	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∉ ℙ)
12		eluz4nn 12791	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
13	12	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ)
14		nnz 12492	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12	nnnn0d 12445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ0)
16		zexpcl 13983	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ)
17	14, 15, 16	syl2anr 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ)
18	14	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		moddvds 16174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁)))
20	13, 17, 18, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁)))
21		nncn 12136	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		expm1t 13997	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
23	21, 12, 22	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
24	23	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁))
25		nnm1nn0 12425	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
26	12, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
27		zexpcl 13983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
28	14, 26, 27	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12581	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℂ)
30	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 30	mulsubfacd 11581	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
32	24, 31	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
33	32	breq2d 5104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁)))
34		1zzd 12506	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
35	28, 34	zsubcld 12585	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
36		dvdsmulgcd 16467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
37	35, 18, 36	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
38		eluzelz 12745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℤ)
39		gcdcom 16424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
40	38, 14, 39	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
41	40	eqeq1d 2731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
42	41	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
43	42	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑋) = 1)
44	43	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1))
45	35	zcnd 12581	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℂ)
46	45	mulridd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
47	46	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
48	44, 47	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
49	48	breq2d 5104	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
50	49	biimpd 229	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
51	50	ex 412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
52	51	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
53	37, 52	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
54	33, 53	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
55	20, 54	sylbid 240	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
56	55	expimpd 453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
57	56	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
58	57	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
59	58	impcom 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
60		uzuzle24 12786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
61	60	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
62	61	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
63	14	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	26	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
65	63, 64, 27	syl2anr 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
66	62, 65	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
67	66	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
68		modm1div 16175	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
69	67, 68	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
70	59, 69	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)
71	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
72	71	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
73	72	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
74	10, 11, 70, 73	mpbir3and 1343	. . 3 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁))
75	74	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁)))
76	9, 75	impbid2 226	1 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∉ wnel 3029   class class class wbr 5092  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  1c1 11010   · cmul 11014   − cmin 11347  ℕcn 12128  2c2 12183  4c4 12185  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735   mod cmo 13773  ↑cexp 13968   ∥ cdvds 16163   gcd cgcd 16405  ℙcprime 16582   FPPr cfppr 47708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-sup 9332  df-inf 9333  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-fppr 47709

This theorem is referenced by:  fpprel2  47725