Theorem fpprwpprb 46343

Description: An integer 𝑋 which is coprime with an integer 𝑁 is a Fermat pseudoprime to the base 𝑁 iff it is a weak pseudoprime to the base 𝑁. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
fpprwpprb	⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))

Proof of Theorem fpprwpprb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fpprbasnn 46332	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		fpprel 46331	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3		3simpa 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
5	2, 4	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
6	1, 5	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
7		fpprwppr 46342	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))
8	1, 7	jca 513	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
9	6, 8	jca 513	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))))
10		simprll 778	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘4))
11		simprlr 779	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∉ ℙ)
12		eluz4nn 12866	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
13	12	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ)
14		nnz 12575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
15	12	nnnn0d 12528	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℕ0)
16		zexpcl 14038	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ)
17	14, 15, 16	syl2anr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ)
18	14	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19		moddvds 16204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℕ ∧ (𝑁↑𝑋) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁)))
20	13, 17, 18, 19	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁)))
21		nncn 12216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22		expm1t 14052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
23	21, 12, 22	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
24	23	oveq1d 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁))
25		nnm1nn0 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
26	12, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
27		zexpcl 14038	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
28	14, 26, 27	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℂ)
30	21	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
31	29, 30	mulsubfacd 11671	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
32	24, 31	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
33	32	breq2d 5159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁)))
34		1zzd 12589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
35	28, 34	zsubcld 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
36		dvdsmulgcd 16493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
37	35, 18, 36	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
38		eluzelz 12828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ ℤ)
39		gcdcom 16450	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
40	38, 14, 39	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
41	40	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
42	41	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
43	42	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑋) = 1)
44	43	oveq2d 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1))
45	35	zcnd 12663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℂ)
46	45	mulridd 11227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
47	46	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
48	44, 47	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
49	48	breq2d 5159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
50	49	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
51	50	ex 414	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
52	51	com23 86	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
53	37, 52	sylbid 239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
54	33, 53	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁↑𝑋) − 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
55	20, 54	sylbid 239	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
56	55	expimpd 455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
57	56	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
58	57	imp 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
59	58	impcom 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
60		eluz4eluz2 12865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
61	60	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
62	61	adantr 482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘2))
63	14	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → 𝑁 ∈ ℤ)
64	26	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
65	63, 64, 27	syl2anr 598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
66	62, 65	jca 513	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
67	66	adantl 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
68		modm1div 16205	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
69	67, 68	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
70	59, 69	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)
71	2	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
72	71	adantl 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
73	72	adantl 483	. . . 4 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
74	10, 11, 70, 73	mpbir3and 1343	. . 3 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁))
75	74	ex 414	. 2 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁)))
76	9, 75	impbid2 225	1 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ≥‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁↑𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ∉ wnel 3047   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  ℂcc 11104  1c1 11107   · cmul 11111   − cmin 11440  ℕcn 12208  2c2 12263  4c4 12265  ℕ₀cn0 12468  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818   mod cmo 13830  ↑cexp 14023   ∥ cdvds 16193   gcd cgcd 16431  ℙcprime 16604   FPPr cfppr 46327

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-fppr 46328

This theorem is referenced by:  fpprel2  46344