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Theorem fpprwpprb 47665
Description: An integer 𝑋 which is coprime with an integer 𝑁 is a Fermat pseudoprime to the base 𝑁 iff it is a weak pseudoprime to the base 𝑁. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fpprwpprb ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))

Proof of Theorem fpprwpprb
StepHypRef Expression
1 fpprbasnn 47654 . . . 4 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
2 fpprel 47653 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
3 3simpa 1147 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
43a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
52, 4sylbid 240 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ)))
61, 5mpcom 38 . . 3 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ))
7 fpprwppr 47664 . . . 4 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))
81, 7jca 511 . . 3 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))
96, 8jca 511 . 2 (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) → ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))))
10 simprll 779 . . . 4 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ (ℤ‘4))
11 simprlr 780 . . . 4 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∉ ℙ)
12 eluz4nn 12926 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℕ)
1312adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℕ)
14 nnz 12632 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
1512nnnn0d 12585 . . . . . . . . . . . 12 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℕ0)
16 zexpcl 14114 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑁𝑋) ∈ ℤ)
1714, 15, 16syl2anr 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) ∈ ℤ)
1814adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
19 moddvds 16298 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℕ ∧ (𝑁𝑋) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁𝑋) − 𝑁)))
2013, 17, 18, 19syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁𝑋) − 𝑁)))
21 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22 expm1t 14128 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑋 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
2321, 12, 22syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁𝑋) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁))
2423oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁))
25 nnm1nn0 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ ℕ → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
27 zexpcl 14114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑋 − 1) ∈ ℕ0) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
2814, 26, 27syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
2928zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℂ)
3021adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3129, 30mulsubfacd 11722 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) · 𝑁) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
3224, 31eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁𝑋) − 𝑁) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁))
3332breq2d 5160 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁𝑋) − 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁)))
34 1zzd 12646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
3528, 34zsubcld 12725 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ)
36 dvdsmulgcd 16590 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
3735, 18, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) ↔ 𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋))))
38 eluzelz 12886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ ℤ)
39 gcdcom 16547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
4038, 14, 39syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 gcd 𝑁) = (𝑁 gcd 𝑋))
4140eqeq1d 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ↔ (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
4241biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑁 gcd 𝑋) = 1))
4342imp 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑁 gcd 𝑋) = 1)
4443oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1))
4535zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) ∈ ℂ)
4645mulridd 11276 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
4746adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 1) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
4844, 47eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) = ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
4948breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
5049biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑋 gcd 𝑁) = 1) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
5150ex 412 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · (𝑁 gcd 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5337, 52sylbid 240 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ (((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1) · 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5433, 53sylbid 240 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑋 ∥ ((𝑁𝑋) − 𝑁) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5520, 54sylbid 240 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5655expimpd 453 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5756adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))))
5857imp 406 . . . . . 6 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
5958impcom 407 . . . . 5 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1))
60 eluz4eluz2 12923 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (ℤ‘4) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
6160adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
6261adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ (ℤ‘2))
6314adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → 𝑁 ∈ ℤ)
6426adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) → (𝑋 − 1) ∈ ℕ0)
6563, 64, 27syl2anr 597 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ)
6662, 65jca 511 . . . . . . 7 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
6766adantl 481 . . . . . 6 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ))
68 modm1div 16299 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁↑(𝑋 − 1)) ∈ ℤ) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
6967, 68syl 17 . . . . 5 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1 ↔ 𝑋 ∥ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) − 1)))
7059, 69mpbird 257 . . . 4 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)
712adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
7271adantl 481 . . . . 5 (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
7372adantl 481 . . . 4 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ ∧ ((𝑁↑(𝑋 − 1)) mod 𝑋) = 1)))
7410, 11, 70, 73mpbir3and 1341 . . 3 (((𝑋 gcd 𝑁) = 1 ∧ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁))
7574ex 412 . 2 ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋))) → 𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁)))
769, 75impbid2 226 1 ((𝑋 gcd 𝑁) = 1 → (𝑋 ∈ ( FPPr ‘𝑁) ↔ ((𝑋 ∈ (ℤ‘4) ∧ 𝑋 ∉ ℙ) ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ ((𝑁𝑋) mod 𝑋) = (𝑁 mod 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wnel 3044   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  1c1 11154   · cmul 11158  cmin 11490  cn 12264  2c2 12319  4c4 12321  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876   mod cmo 13906  cexp 14099  cdvds 16287   gcd cgcd 16528  cprime 16705   FPPr cfppr 47649
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-fppr 47650
This theorem is referenced by:  fpprel2  47666
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