Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fpprwpprb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpprwpprb 46408
Description: An integer ๐‘‹ which is coprime with an integer ๐‘ is a Fermat pseudoprime to the base ๐‘ iff it is a weak pseudoprime to the base ๐‘. (Contributed by AV, 2-Jun-2023.)
Assertion
Ref Expression
fpprwpprb ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))))

Proof of Theorem fpprwpprb
StepHypRef Expression
1 fpprbasnn 46397 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2 fpprel 46396 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
3 3simpa 1149 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™))
43a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™)))
52, 4sylbid 239 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™)))
61, 5mpcom 38 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™))
7 fpprwppr 46407 . . . 4 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))
81, 7jca 513 . . 3 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))
96, 8jca 513 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))))
10 simprll 778 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4))
11 simprlr 779 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆ‰ โ„™)
12 eluz4nn 12870 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
1312adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•)
14 nnz 12579 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
1512nnnn0d 12532 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„•0)
16 zexpcl 14042 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
1714, 15, 16syl2anr 598 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„ค)
1814adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
19 moddvds 16208 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘โ†‘๐‘‹) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹) โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘)))
2013, 17, 18, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹) โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘)))
21 nncn 12220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
22 expm1t 14056 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
2321, 12, 22syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘๐‘‹) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘))
2423oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘))
25 nnm1nn0 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘‹ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
2612, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
27 zexpcl 14042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
2814, 26, 27syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
2928zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„‚)
3021adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3129, 30mulsubfacd 11675 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) ยท ๐‘) โˆ’ ๐‘) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘))
3224, 31eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘))
3332breq2d 5161 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) โ†” ๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘)))
34 1zzd 12593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
3528, 34zsubcld 12671 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค)
36 dvdsmulgcd 16497 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘) โ†” ๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹))))
3735, 18, 36syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘) โ†” ๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹))))
38 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„ค)
39 gcdcom 16454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‹ gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐‘‹))
4038, 14, 39syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ gcd ๐‘) = (๐‘ gcd ๐‘‹))
4140eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†” (๐‘ gcd ๐‘‹) = 1))
4241biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘ gcd ๐‘‹) = 1))
4342imp 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘‹) = 1)
4443oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) = (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท 1))
4535zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
4645mulridd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท 1) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
4746adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท 1) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
4844, 47eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) = ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
4948breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
5049biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘‹ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
5150ex 414 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5251com23 86 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท (๐‘ gcd ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5337, 52sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1) ยท ๐‘) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5433, 53sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘๐‘‹) โˆ’ ๐‘) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5520, 54sylbid 239 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5655expimpd 455 . . . . . . . 8 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5756adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))))
5857imp 408 . . . . . 6 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
5958impcom 409 . . . . 5 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1))
60 eluz4eluz2 12869 . . . . . . . . . 10 (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6160adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6261adantr 482 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
6314adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
6426adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โ†’ (๐‘‹ โˆ’ 1) โˆˆ โ„•0)
6563, 64, 27syl2anr 598 . . . . . . . 8 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค)
6662, 65jca 513 . . . . . . 7 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค))
6766adantl 483 . . . . . 6 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค))
68 modm1div 16209 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2) โˆง (๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
6967, 68syl 17 . . . . 5 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ (((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1 โ†” ๐‘‹ โˆฅ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) โˆ’ 1)))
7059, 69mpbird 257 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)
712adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
7271adantl 483 . . . . 5 (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
7372adantl 483 . . . 4 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” (๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™ โˆง ((๐‘โ†‘(๐‘‹ โˆ’ 1)) mod ๐‘‹) = 1)))
7410, 11, 70, 73mpbir3and 1343 . . 3 (((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โˆง ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘))
7574ex 414 . 2 ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹))) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘)))
769, 75impbid2 225 1 ((๐‘‹ gcd ๐‘) = 1 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ( FPPr โ€˜๐‘) โ†” ((๐‘‹ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โˆง ๐‘‹ โˆ‰ โ„™) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘โ†‘๐‘‹) mod ๐‘‹) = (๐‘ mod ๐‘‹)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โˆ‰ wnel 3047   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  1c1 11111   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  โ„•cn 12212  2c2 12267  4c4 12269  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822   mod cmo 13834  โ†‘cexp 14027   โˆฅ cdvds 16197   gcd cgcd 16435  โ„™cprime 16608   FPPr cfppr 46392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-fppr 46393
This theorem is referenced by:  fpprel2  46409
  Copyright terms: Public domain W3C validator