Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  m1modmmod Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem m1modmmod 44933
Description: An integer decreased by 1 modulo a positive integer minus the integer modulo the same modulus is either -1 or the modulus minus 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
m1modmmod ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))

Proof of Theorem m1modmmod
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7143 . . . . 5 ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0))
21adantl 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0))
3 peano2zm 12013 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
43zred 12075 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
54adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
6 nnrp 12388 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
76adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
85, 7modcld 13238 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
98recnd 10658 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℂ)
109subid1d 10975 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0) = ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
1110adantr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0) = ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
12 mod0mul 44931 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))
1312imp 410 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁))
14 oveq1 7142 . . . . . . . . 9 (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → (𝐴 − 1) = ((𝑥 · 𝑁) − 1))
1514oveq1d 7150 . . . . . . . 8 (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (((𝑥 · 𝑁) − 1) mod 𝑁))
16 zcn 11974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
17 nncn 11633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1817adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
19 mulcl 10610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑁) ∈ ℂ)
2016, 18, 19syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) ∈ ℂ)
2118adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
2220, 21npcand 10990 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) + 𝑁) = (𝑥 · 𝑁))
2322eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) = (((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) + 𝑁))
2416adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
2524, 21mulsubfacd 11090 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑥 − 1) · 𝑁))
2625oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) + 𝑁) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁))
2723, 26eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁))
2827oveq1d 7150 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) − 1) = ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁) − 1))
29 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
3029zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℂ)
31 mulcl 10610 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
3230, 18, 31syl2anr 599 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 − 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
33 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
3432, 21, 33addsubassd 11006 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁) − 1) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)))
3528, 34eqtrd 2833 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) − 1) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)))
3635oveq1d 7150 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 1) mod 𝑁) = ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)) mod 𝑁))
37 nnre 11632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
38 peano2rem 10942 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
4039recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4140adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4241adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
4332, 42addcomd 10831 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)))
4443oveq1d 7150 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁))
4539adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
4645adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
477adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4829adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
49 modcyc 13269 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑁 − 1) mod 𝑁))
5046, 47, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑁 − 1) mod 𝑁))
5139, 6jca 515 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5251adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
5352adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
54 nnm1ge0 12038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 − 1))
5554adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 − 1))
5655adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑁 − 1))
5737ltm1d 11561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
5857adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
5958adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
60 modid 13259 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁)) → ((𝑁 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
6153, 56, 59, 60syl12anc 835 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
6250, 61eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
6336, 44, 623eqtrd 2837 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
6415, 63sylan9eqr 2855 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
6564rexlimdva2 3246 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1)))
6665adantr 484 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1)))
6713, 66mpd 15 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
682, 11, 673eqtrrd 2838 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (𝑁 − 1) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
69 df-ne 2988 . . . . 5 ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0)
70 modn0mul 44932 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)))
71 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → (𝐴 − 1) = (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1))
7271oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = ((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁))
73 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → (𝐴 mod 𝑁) = (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁))
7472, 73oveq12d 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) − (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁)))
7516adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7675, 18, 19syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑥 · 𝑁) ∈ ℂ)
77 elfzoelz 13033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
7877zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℂ)
7978adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑦 ∈ ℂ)
8079adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑦 ∈ ℂ)
81 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 1 ∈ ℂ)
8276, 80, 81addsubassd 11006 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) = ((𝑥 · 𝑁) + (𝑦 − 1)))
83 peano2zm 12013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 − 1) ∈ ℤ)
8477, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ ℤ)
8584zcnd 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ ℂ)
8685adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑦 − 1) ∈ ℂ)
8786adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 − 1) ∈ ℂ)
8876, 87addcomd 10831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑥 · 𝑁) + (𝑦 − 1)) = ((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)))
8982, 88eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) = ((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)))
9089oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) = (((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁))
9184zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
9291adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
9392adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
947adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
95 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑥 ∈ ℤ)
96 modcyc 13269 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑦 − 1) mod 𝑁))
9793, 94, 95, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑦 − 1) mod 𝑁))
9890, 97eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) = ((𝑦 − 1) mod 𝑁))
9976, 80addcomd 10831 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) = (𝑦 + (𝑥 · 𝑁)))
10099oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁) = ((𝑦 + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁))
10177zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
102101adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑦 ∈ ℝ)
103102adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑦 ∈ ℝ)
104 modcyc 13269 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
105103, 94, 95, 104syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
1067, 102anim12ci 616 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
107 elfzole1 13041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 1 ≤ 𝑦)
108 0lt1 11151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 < 1
109 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 0 ∈ ℝ)
110 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 1 ∈ ℝ)
111 ltleletr 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝑦))
112109, 110, 101, 111syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝑦))
113108, 112mpani 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (1 ≤ 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))
114107, 113mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
115 elfzolt2 13042 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
116114, 115jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁))
117116adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁))
118117adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁))
119106, 118jca 515 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)))
120 modid 13259 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
122100, 105, 1213eqtrd 2837 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁) = 𝑦)
12398, 122oveq12d 7153 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) − (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁)) = (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦))
12474, 123sylan9eqr 2855 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦))
1257, 92anim12ci 616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
126 elfzo2 13036 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁))
127 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ (ℤ‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑦))
128 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
129 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
130 subge0 11142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑦 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑦))
131128, 129, 130syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑦 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑦))
132131biimp3ar 1467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑦) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
133127, 132sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ (ℤ‘1) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
1341333ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
135126, 134sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
136135adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
137136adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
138 eluzelz 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ (ℤ‘1) → 𝑦 ∈ ℤ)
139138zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ (ℤ‘1) → 𝑦 ∈ ℝ)
140 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
141 ltle 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑁𝑦𝑁))
142139, 140, 141syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁𝑦𝑁))
1431423impia 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 𝑦𝑁)
144138anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
1451443adant3 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
146 zlem1lt 12022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦𝑁 ↔ (𝑦 − 1) < 𝑁))
147145, 146syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦𝑁 ↔ (𝑦 − 1) < 𝑁))
148143, 147mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦 − 1) < 𝑁)
149148a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ (ℤ‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 − 1) < 𝑁))
150126, 149sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 − 1) < 𝑁))
151150adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 − 1) < 𝑁))
152151impcom 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 − 1) < 𝑁)
153 modid 13259 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑁)) → ((𝑦 − 1) mod 𝑁) = (𝑦 − 1))
154125, 137, 152, 153syl12anc 835 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) mod 𝑁) = (𝑦 − 1))
155154oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦) = ((𝑦 − 1) − 𝑦))
156 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 1 ∈ ℂ)
15778, 156, 78sub32d 11018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = ((𝑦𝑦) − 1))
15878subidd 10974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦𝑦) = 0)
159158oveq1d 7150 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑦𝑦) − 1) = (0 − 1))
160157, 159eqtrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = (0 − 1))
161160adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = (0 − 1))
162161adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = (0 − 1))
163 df-neg 10862 . . . . . . . . . . . . 13 -1 = (0 − 1)
164162, 163eqtr4di 2851 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = -1)
165155, 164eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦) = -1)
166165adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦) = -1)
167124, 166eqtrd 2833 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = -1)
168167eqcomd 2804 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
169168ex 416 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
170169rexlimdvva 3253 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
17170, 170syld 47 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
17269, 171syl5bir 246 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
173172imp 410 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
17468, 173ifeqda 4460 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
175174eqcomd 2804 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wrex 3107  ifcif 4425   class class class wbr 5030  cfv 6324  (class class class)co 7135  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860  cn 11625  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  ..^cfzo 13028   mod cmo 13232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233
This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem1  45027
  Copyright terms: Public domain W3C validator