Theorem m1modmmod 45755

Description: An integer decreased by 1 modulo a positive integer minus the integer modulo the same modulus is either -1 or the modulus minus 1. (Contributed by AV, 7-Jun-2020.)

Assertion

Ref	Expression
m1modmmod	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))

Proof of Theorem m1modmmod

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0))
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0))
3		peano2zm 12293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
4	3	zred 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
5	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
6		nnrp 12670	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
7	6	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
8	5, 7	modcld 13523	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
9	8	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℂ)
10	9	subid1d 11251	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0) = ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
11	10	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − 0) = ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
12		mod0mul 45753	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)))
13	12	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁))
14		oveq1 7262	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → (𝐴 − 1) = ((𝑥 · 𝑁) − 1))
15	14	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (((𝑥 · 𝑁) − 1) mod 𝑁))
16		zcn 12254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
17		nncn 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
19		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑁) ∈ ℂ)
20	16, 18, 19	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) ∈ ℂ)
21	18	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
22	20, 21	npcand 11266	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) + 𝑁) = (𝑥 · 𝑁))
23	22	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) = (((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) + 𝑁))
24	16	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑥 ∈ ℂ)
25	24, 21	mulsubfacd 11366	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) = ((𝑥 − 1) · 𝑁))
26	25	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 𝑁) + 𝑁) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁))
27	23, 26	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 · 𝑁) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁))
28	27	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) − 1) = ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁) − 1))
29		peano2zm 12293	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
30	29	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → (𝑥 − 1) ∈ ℂ)
31		mulcl 10886	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 − 1) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
32	30, 18, 31	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 − 1) · 𝑁) ∈ ℂ)
33		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℂ)
34	32, 21, 33	addsubassd 11282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + 𝑁) − 1) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)))
35	28, 34	eqtrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 · 𝑁) − 1) = (((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)))
36	35	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 1) mod 𝑁) = ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)) mod 𝑁))
37		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
38		peano2rem 11218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
40	39	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℂ)
43	32, 42	addcomd 11107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)) = ((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)))
44	43	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((((𝑥 − 1) · 𝑁) + (𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁))
45	39	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
46	45	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
47	7	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ+)
48	29	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑥 − 1) ∈ ℤ)
49		modcyc 13554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ (𝑥 − 1) ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑁 − 1) mod 𝑁))
50	46, 47, 48, 49	syl3anc 1369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑁 − 1) mod 𝑁))
51	39, 6	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
54		nnm1ge0 12318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (𝑁 − 1))
55	54	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝑁 − 1))
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → 0 ≤ (𝑁 − 1))
57	37	ltm1d 11837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) < 𝑁)
58	57	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
59	58	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) < 𝑁)
60		modid 13544	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑁 − 1) ∧ (𝑁 − 1) < 𝑁)) → ((𝑁 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
61	53, 56, 59, 60	syl12anc 833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑁 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
62	50, 61	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑁 − 1) + ((𝑥 − 1) · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
63	36, 44, 62	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑥 · 𝑁) − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
64	15, 63	sylan9eqr 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ 𝑥 ∈ ℤ) ∧ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
65	64	rexlimdva2 3215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1)))
66	65	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ 𝐴 = (𝑥 · 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1)))
67	13, 66	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = (𝑁 − 1))
68	2, 11, 67	3eqtrrd 2783	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → (𝑁 − 1) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
69		df-ne 2943	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 ↔ ¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0)
70		modn0mul 45754	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)))
71		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → (𝐴 − 1) = (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1))
72	71	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = ((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁))
73		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → (𝐴 mod 𝑁) = (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁))
74	72, 73	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) − (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁)))
75	16	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑥 ∈ ℂ)
76	75, 18, 19	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑥 · 𝑁) ∈ ℂ)
77		elfzoelz 13316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℤ)
78	77	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℂ)
79	78	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑦 ∈ ℂ)
80	79	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑦 ∈ ℂ)
81		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 1 ∈ ℂ)
82	76, 80, 81	addsubassd 11282	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) = ((𝑥 · 𝑁) + (𝑦 − 1)))
83		peano2zm 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → (𝑦 − 1) ∈ ℤ)
84	77, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ ℤ)
85	84	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ ℂ)
86	85	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑦 − 1) ∈ ℂ)
87	86	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 − 1) ∈ ℂ)
88	76, 87	addcomd 11107	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑥 · 𝑁) + (𝑦 − 1)) = ((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)))
89	82, 88	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) = ((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)))
90	89	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) = (((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁))
91	84	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
92	91	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
93	92	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
94	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑁 ∈ ℝ+)
95		simprl 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑥 ∈ ℤ)
96		modcyc 13554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑦 − 1) mod 𝑁))
97	93, 94, 95, 96	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑦 − 1) + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = ((𝑦 − 1) mod 𝑁))
98	90, 97	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) = ((𝑦 − 1) mod 𝑁))
99	76, 80	addcomd 11107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) = (𝑦 + (𝑥 · 𝑁)))
100	99	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁) = ((𝑦 + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁))
101	77	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 ∈ ℝ)
102	101	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 𝑦 ∈ ℝ)
103	102	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 𝑦 ∈ ℝ)
104		modcyc 13554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑦 + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
105	103, 94, 95, 104	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 + (𝑥 · 𝑁)) mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁))
106	7, 102	anim12ci 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
107		elfzole1 13324	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 1 ≤ 𝑦)
108		0lt1 11427	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 0 < 1
109		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 0 ∈ ℝ)
110		1red 10907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 1 ∈ ℝ)
111		ltleletr 10998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝑦))
112	109, 110, 101, 111	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝑦) → 0 ≤ 𝑦))
113	108, 112	mpani 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (1 ≤ 𝑦 → 0 ≤ 𝑦))
114	107, 113	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
115		elfzolt2 13325	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
116	114, 115	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁))
117	116	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁))
118	117	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁))
119	106, 118	jca 511	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)))
120		modid 13544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
121	119, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
122	100, 105, 121	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁) = 𝑦)
123	98, 122	oveq12d 7273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) − 1) mod 𝑁) − (((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) mod 𝑁)) = (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦))
124	74, 123	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦))
125	7, 92	anim12ci 613	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
126		elfzo2 13319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁))
127		eluz2 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) ↔ (1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑦))
128		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℝ)
129		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (1 ∈ ℤ → 1 ∈ ℝ)
130		subge0 11418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (0 ≤ (𝑦 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑦))
131	128, 129, 130	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (0 ≤ (𝑦 − 1) ↔ 1 ≤ 𝑦))
132	131	biimp3ar 1468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 1 ≤ 𝑦) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
133	127, 132	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
134	133	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
135	126, 134	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
136	135	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
137	136	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → 0 ≤ (𝑦 − 1))
138		eluzelz 12521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑦 ∈ ℤ)
139	138	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝑦 ∈ ℝ)
140		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
141		ltle 10994	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑦 < 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
142	139, 140, 141	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 < 𝑁 → 𝑦 ≤ 𝑁))
143	142	3impia 1115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → 𝑦 ≤ 𝑁)
144	138	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
145	144	3adant3 1130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
146		zlem1lt 12302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑦 ≤ 𝑁 ↔ (𝑦 − 1) < 𝑁))
147	145, 146	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦 ≤ 𝑁 ↔ (𝑦 − 1) < 𝑁))
148	143, 147	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → (𝑦 − 1) < 𝑁)
149	148	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘1) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑦 < 𝑁) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 − 1) < 𝑁))
150	126, 149	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 − 1) < 𝑁))
151	150	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑦 − 1) < 𝑁))
152	151	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝑦 − 1) < 𝑁)
153		modid 13544	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑦 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (𝑦 − 1) ∧ (𝑦 − 1) < 𝑁)) → ((𝑦 − 1) mod 𝑁) = (𝑦 − 1))
154	125, 137, 152, 153	syl12anc 833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) mod 𝑁) = (𝑦 − 1))
155	154	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦) = ((𝑦 − 1) − 𝑦))
156		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → 1 ∈ ℂ)
157	78, 156, 78	sub32d 11294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = ((𝑦 − 𝑦) − 1))
158	78	subidd 11250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → (𝑦 − 𝑦) = 0)
159	158	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑦 − 𝑦) − 1) = (0 − 1))
160	157, 159	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = (0 − 1))
161	160	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁)) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = (0 − 1))
162	161	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = (0 − 1))
163		df-neg 11138	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ -1 = (0 − 1)
164	162, 163	eqtr4di 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → ((𝑦 − 1) − 𝑦) = -1)
165	155, 164	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦) = -1)
166	165	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → (((𝑦 − 1) mod 𝑁) − 𝑦) = -1)
167	124, 166	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = -1)
168	167	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) ∧ 𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦)) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
169	168	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (1..^𝑁))) → (𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
170	169	rexlimdvva 3222	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (1..^𝑁)𝐴 = ((𝑥 · 𝑁) + 𝑦) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
171	70, 170	syld 47	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≠ 0 → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
172	69, 171	syl5bir 242	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁))))
173	172	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ ¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0) → -1 = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
174	68, 173	ifeqda 4492	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)))
175	174	eqcomd 2744	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  ifcif 4456   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135  -cneg 11136  ℕcn 11903  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  ..^cfzo 13311   mod cmo 13517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518

This theorem is referenced by:  dignn0flhalflem1  45849