Theorem dirkertrigeqlem2 43640

Description: Trigonomic equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonomic equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkertrigeqlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dirkertrigeqlem2.sinne0	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
dirkertrigeqlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem2	⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dirkertrigeqlem2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 10970	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2	1	halfcld 12218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
3		fzfid 13693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		elfzelz 13256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
6	5	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7		dirkertrigeqlem2.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 10995	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	coscld 15840	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	3, 11	fsumcl 15445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	2, 12	addcld 10994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
14	8	sincld 15839	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		dirkertrigeqlem2.sinne0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
16	13, 14, 15	divcan4d 11757	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))))
17	16	eqcomd 2744	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)))
18	3, 14, 11	fsummulc1 15497	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)))
19	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
20	11, 19	mulcomd 10996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))))
21		sinmulcos 43406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
22	9, 10, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
23		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
24	6, 23, 9	adddird 11000	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 + 1) · 𝐴) = ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
25	23, 9	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
26	10, 25	addcomd 11177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
27	8	mulid2d 10993	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
28	27	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
29	28	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
30	24, 26, 29	3eqtrrd 2783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑛 + 1) · 𝐴))
31	30	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
32	10, 9	negsubdi2d 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))
33	32	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)) = -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))
34	33	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
35	10, 9	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ)
36		sinneg 15855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
38	34, 37	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
39	31, 38	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
40	9, 10	addcld 10994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
41	40	sincld 15839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
42	31, 41	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
43	35	sincld 15839	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) ∈ ℂ)
44	42, 43	negsubd 11338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
45	6, 9	mulsubfacd 11436	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝑛 − 1) · 𝐴))
46	45	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
47	46	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
48	39, 44, 47	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
49	48	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
50	20, 22, 49	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
51	50	sumeq2dv 15415	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
52		2cnd 12051	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		peano2cnm 11287	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
54	6, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
55	54, 9	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
56	55	sincld 15839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
57	42, 56	subcld 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
58		2ne0 12077	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
60	3, 52, 57, 59	fsumdivc 15498	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
61	3, 57	fsumcl 15445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
62	61, 52, 59	divrec2d 11755	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
63	60, 62	eqtr3d 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
64	18, 51, 63	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
65	64	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
66	2, 12, 14	adddird 11000	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
67	2, 14, 61	adddid 10999	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
68	65, 66, 67	3eqtr4d 2788	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
69	68	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)))
70	10	sincld 15839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71	42, 70, 56	npncand 11356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
72	71	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
73	72	sumeq2dv 15415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
74	42, 70	subcld 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
75	70, 56	subcld 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
76	3, 74, 75	fsumadd 15452	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
77		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(𝑛 · 𝐴)))
78		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
79		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 1 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(1 · 𝐴)))
80		fvoveq1 7298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
81		dirkertrigeqlem2.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
82	81	nnzd 12425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
83		nnuz 12621	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
84	81, 83	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
85		peano2uz 12641	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
87		elfzelz 13256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
88	87	zcnd 12427	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
89	88	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
90	8	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
91	89, 90	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 · 𝐴) ∈ ℂ)
92	91	sincld 15839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) ∈ ℂ)
93	77, 78, 79, 80, 82, 86, 92	telfsum2 15517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))))
94		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
95	5, 94	pncand 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
96	95	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
97	96	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
98	97	fvoveq1d 7297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
99	98	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
100	99	sumeq2dv 15415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
101		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 − 1) = (𝑛 − 1))
102	101	fvoveq1d 7297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
103		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
104	103	fvoveq1d 7297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
105		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
106	105	fvoveq1d 7297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 1 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((1 − 1) · 𝐴)))
107		oveq1 7282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
108	107	fvoveq1d 7297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)))
109		1cnd 10970	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
110	89, 109	subcld 11332	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
111	110, 90	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
112	111	sincld 15839	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
113	102, 104, 106, 108, 82, 86, 112	telfsum2 15517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))))
114	81	nnred 11988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
115	114	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
116	115, 1	pncand 11333	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
117	116	fvoveq1d 7297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
118	1	subidd 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
119	118	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
120	8	mul02d 11173	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
121	119, 120	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = 0)
122	121	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = (sin‘0))
123		sin0 15858	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘0) = 0
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘0) = 0)
125	122, 124	eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = 0)
126	117, 125	oveq12d 7293	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
127	100, 113, 126	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
128	93, 127	oveq12d 7293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
129	73, 76, 128	3eqtrd 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
130	129	oveq2d 7291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
131	27	fveq2d 6778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
132	131	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)))
133	132	oveq1d 7290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
134	133	oveq2d 7291	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
135	115, 1	addcld 10994	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
136	135, 8	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
137	136	sincld 15839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
138	137, 14	subcld 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
139	115, 8	mulcld 10995	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ)
140	139	sincld 15839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
141		0cnd 10968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
142	140, 141	subcld 11332	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) ∈ ℂ)
143	14, 138, 142	addassd 10997	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
144	143	eqcomd 2744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
145	14, 137	pncan3d 11335	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
146	140	subid1d 11321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
147	145, 146	oveq12d 7293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))))
148	137, 140	addcomd 11177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
149	147, 148	eqtrd 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
150	134, 144, 149	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
151	130, 150	eqtrd 2778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
152	151	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
153	152	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
154	17, 69, 153	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
155		halfre 12187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
157	114, 156	readdcld 11004	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
158	157, 7	remulcld 11005	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℝ)
159	158	recnd 11003	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ)
160	2, 8	mulcld 10995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ)
161		sinmulcos 43406	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
162	159, 160, 161	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
163	115, 2, 8	adddird 11000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
164	163	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)))
165	139, 160, 160	addassd 10997	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
166	2, 2, 8	adddird 11000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
167	1	2halvesd 12219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
168	167	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
169	166, 168	eqtr3d 2780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (1 · 𝐴))
170	169	oveq2d 7291	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
171	115, 1, 8	adddird 11000	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
172	170, 171	eqtr4d 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 + 1) · 𝐴))
173	164, 165, 172	3eqtrrd 2783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
174	173	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
175	163	oveq1d 7290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)))
176	139, 160	pncand 11333	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
177	175, 176	eqtr2d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))
178	177	fveq2d 6778	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴))))
179	174, 178	oveq12d 7293	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))))
180	179	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
181	162, 180	eqtr4d 2781	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2))
182	148	oveq1d 7290	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2))
183	140, 137	addcld 10994	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
184	183, 52, 59	divrec2d 11755	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
185	181, 182, 184	3eqtrrd 2783	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
186	185	oveq1d 7290	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)))
187	8, 52, 59	divcan2d 11753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
188	187	eqcomd 2744	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (2 · (𝐴 / 2)))
189	188	fveq2d 6778	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
190	8	halfcld 12218	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
191		sin2t 15886	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
192	190, 191	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
193	189, 192	eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
194	193	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
195	190	sincld 15839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
196	190	coscld 15840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
197	52, 195, 196	mulassd 10998	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
198	8, 52, 59	divrec2d 11755	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((1 / 2) · 𝐴))
199	198	fveq2d 6778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) = (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))
200	199	oveq2d 7291	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
201	197, 200	eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
202	201	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))))
203	159	sincld 15839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) ∈ ℂ)
204	52, 195	mulcld 10995	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
205	160	coscld 15840	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
206	195, 196	mulcld 10995	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
207	193, 15	eqnetrrd 3012	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) ≠ 0)
208	52, 206, 207	mulne0bbd 11631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
209	195, 196, 208	mulne0bad 11630	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
210	52, 195, 59, 209	mulne0d 11627	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
211	195, 196, 208	mulne0bbd 11631	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
212	199, 211	eqnetrrd 3012	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ≠ 0)
213	203, 204, 205, 210, 212	divcan5rd 11778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
214	194, 202, 213	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
215	154, 186, 214	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
216	215	oveq1d 7290	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π))
217		picn 25616	. . . 4 ⊢ π ∈ ℂ
218	217	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
219		pire 25615	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
220		pipos 25617	. . . . 5 ⊢ 0 < π
221	219, 220	gt0ne0ii 11511	. . . 4 ⊢ π ≠ 0
222	221	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
223	203, 204, 218, 210, 222	divdiv32d 11776	. 2 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224	203, 218, 204, 222, 210	divdiv1d 11782	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))))
225	218, 52, 195	mulassd 10998	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
226	218, 52	mulcomd 10996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (π · 2) = (2 · π))
227	226	oveq1d 7290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
228	225, 227	eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
229	228	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
230	224, 229	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
231	216, 223, 230	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206   / cdiv 11632  ℕcn 11973  2c2 12028  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  Σcsu 15397  sincsin 15773  cosccos 15774  πcpi 15776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031

This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  43642