dirkertrigeqlem2 - Mathbox for Glauco Siliprandi

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Theorem dirkertrigeqlem2 44815

Description: Trigonomic equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonomic equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dirkertrigeqlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dirkertrigeqlem2.sinne0	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
dirkertrigeqlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

**Assertion**
Ref	Expression
dirkertrigeqlem2	⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑛 𝑛,𝑁 𝜑,𝑛

Proof of Theorem dirkertrigeqlem2 Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11209	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2	1	halfcld 12457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
3		fzfid 13938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		elfzelz 13501	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
6	5	adantl 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7		dirkertrigeqlem2.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11234	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	coscld 16074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	3, 11	fsumcl 15679	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	2, 12	addcld 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
14	8	sincld 16073	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		dirkertrigeqlem2.sinne0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
16	13, 14, 15	divcan4d 11996	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))))
17	16	eqcomd 2739	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)))
18	3, 14, 11	fsummulc1 15731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)))
19	14	adantr 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
20	11, 19	mulcomd 11235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))))
21		sinmulcos 44581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
22	9, 10, 21	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
23		1cnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
24	6, 23, 9	adddird 11239	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 + 1) · 𝐴) = ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
25	23, 9	mulcld 11234	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
26	10, 25	addcomd 11416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
27	8	mullidd 11232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
28	27	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
29	28	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
30	24, 26, 29	3eqtrrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑛 + 1) · 𝐴))
31	30	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
32	10, 9	negsubdi2d 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))
33	32	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)) = -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))
34	33	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
35	10, 9	subcld 11571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ)
36		sinneg 16089	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
38	34, 37	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
39	31, 38	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
40	9, 10	addcld 11233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
41	40	sincld 16073	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
42	31, 41	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
43	35	sincld 16073	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) ∈ ℂ)
44	42, 43	negsubd 11577	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
45	6, 9	mulsubfacd 11675	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝑛 − 1) · 𝐴))
46	45	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
47	46	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
48	39, 44, 47	3eqtrd 2777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
49	48	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
50	20, 22, 49	3eqtrd 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
51	50	sumeq2dv 15649	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
52		2cnd 12290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		peano2cnm 11526	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
54	6, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
55	54, 9	mulcld 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
56	55	sincld 16073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
57	42, 56	subcld 11571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
58		2ne0 12316	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
60	3, 52, 57, 59	fsumdivc 15732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
61	3, 57	fsumcl 15679	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
62	61, 52, 59	divrec2d 11994	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
63	60, 62	eqtr3d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
64	18, 51, 63	3eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
65	64	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
66	2, 12, 14	adddird 11239	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
67	2, 14, 61	adddid 11238	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
68	65, 66, 67	3eqtr4d 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
69	68	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)))
70	10	sincld 16073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71	42, 70, 56	npncand 11595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
72	71	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
73	72	sumeq2dv 15649	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
74	42, 70	subcld 11571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
75	70, 56	subcld 11571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
76	3, 74, 75	fsumadd 15686	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
77		fvoveq1 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(𝑛 · 𝐴)))
78		fvoveq1 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
79		fvoveq1 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 1 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(1 · 𝐴)))
80		fvoveq1 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
81		dirkertrigeqlem2.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
82	81	nnzd 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
83		nnuz 12865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ_≥‘1)
84	81, 83	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1))
85		peano2uz 12885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ_≥‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ_≥‘1))
87		elfzelz 13501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
88	87	zcnd 12667	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
89	88	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
90	8	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
91	89, 90	mulcld 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 · 𝐴) ∈ ℂ)
92	91	sincld 16073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) ∈ ℂ)
93	77, 78, 79, 80, 82, 86, 92	telfsum2 15751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))))
94		1cnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
95	5, 94	pncand 11572	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
96	95	eqcomd 2739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
97	96	adantl 483	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
98	97	fvoveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
99	98	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
100	99	sumeq2dv 15649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
101		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 − 1) = (𝑛 − 1))
102	101	fvoveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
103		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
104	103	fvoveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
105		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
106	105	fvoveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 1 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((1 − 1) · 𝐴)))
107		oveq1 7416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
108	107	fvoveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)))
109		1cnd 11209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
110	89, 109	subcld 11571	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
111	110, 90	mulcld 11234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
112	111	sincld 16073	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
113	102, 104, 106, 108, 82, 86, 112	telfsum2 15751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))))
114	81	nnred 12227	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
115	114	recnd 11242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
116	115, 1	pncand 11572	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
117	116	fvoveq1d 7431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
118	1	subidd 11559	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
119	118	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
120	8	mul02d 11412	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
121	119, 120	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = 0)
122	121	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = (sin‘0))
123		sin0 16092	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘0) = 0
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘0) = 0)
125	122, 124	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = 0)
126	117, 125	oveq12d 7427	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
127	100, 113, 126	3eqtrd 2777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
128	93, 127	oveq12d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
129	73, 76, 128	3eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
130	129	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
131	27	fveq2d 6896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
132	131	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)))
133	132	oveq1d 7424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
134	133	oveq2d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
135	115, 1	addcld 11233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
136	135, 8	mulcld 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
137	136	sincld 16073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
138	137, 14	subcld 11571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
139	115, 8	mulcld 11234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ)
140	139	sincld 16073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
141		0cnd 11207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
142	140, 141	subcld 11571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) ∈ ℂ)
143	14, 138, 142	addassd 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
144	143	eqcomd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
145	14, 137	pncan3d 11574	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
146	140	subid1d 11560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
147	145, 146	oveq12d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))))
148	137, 140	addcomd 11416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
149	147, 148	eqtrd 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
150	134, 144, 149	3eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
151	130, 150	eqtrd 2773	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
152	151	oveq2d 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
153	152	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
154	17, 69, 153	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
155		halfre 12426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
157	114, 156	readdcld 11243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
158	157, 7	remulcld 11244	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℝ)
159	158	recnd 11242	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ)
160	2, 8	mulcld 11234	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ)
161		sinmulcos 44581	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
162	159, 160, 161	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
163	115, 2, 8	adddird 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
164	163	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)))
165	139, 160, 160	addassd 11236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
166	2, 2, 8	adddird 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
167	1	2halvesd 12458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
168	167	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
169	166, 168	eqtr3d 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (1 · 𝐴))
170	169	oveq2d 7425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
171	115, 1, 8	adddird 11239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
172	170, 171	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 + 1) · 𝐴))
173	164, 165, 172	3eqtrrd 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
174	173	fveq2d 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
175	163	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)))
176	139, 160	pncand 11572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
177	175, 176	eqtr2d 2774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))
178	177	fveq2d 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴))))
179	174, 178	oveq12d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))))
180	179	oveq1d 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
181	162, 180	eqtr4d 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2))
182	148	oveq1d 7424	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2))
183	140, 137	addcld 11233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
184	183, 52, 59	divrec2d 11994	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
185	181, 182, 184	3eqtrrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
186	185	oveq1d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)))
187	8, 52, 59	divcan2d 11992	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
188	187	eqcomd 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (2 · (𝐴 / 2)))
189	188	fveq2d 6896	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
190	8	halfcld 12457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
191		sin2t 16120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
192	190, 191	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
193	189, 192	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
194	193	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
195	190	sincld 16073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
196	190	coscld 16074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
197	52, 195, 196	mulassd 11237	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
198	8, 52, 59	divrec2d 11994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((1 / 2) · 𝐴))
199	198	fveq2d 6896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) = (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))
200	199	oveq2d 7425	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
201	197, 200	eqtr3d 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
202	201	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))))
203	159	sincld 16073	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) ∈ ℂ)
204	52, 195	mulcld 11234	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
205	160	coscld 16074	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
206	195, 196	mulcld 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
207	193, 15	eqnetrrd 3010	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) ≠ 0)
208	52, 206, 207	mulne0bbd 11870	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
209	195, 196, 208	mulne0bad 11869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
210	52, 195, 59, 209	mulne0d 11866	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
211	195, 196, 208	mulne0bbd 11870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
212	199, 211	eqnetrrd 3010	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ≠ 0)
213	203, 204, 205, 210, 212	divcan5rd 12017	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
214	194, 202, 213	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
215	154, 186, 214	3eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
216	215	oveq1d 7424	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π))
217		picn 25969	. . . 4 ⊢ π ∈ ℂ
218	217	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
219		pire 25968	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
220		pipos 25970	. . . . 5 ⊢ 0 < π
221	219, 220	gt0ne0ii 11750	. . . 4 ⊢ π ≠ 0
222	221	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
223	203, 204, 218, 210, 222	divdiv32d 12015	. 2 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224	203, 218, 204, 222, 210	divdiv1d 12021	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))))
225	218, 52, 195	mulassd 11237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
226	218, 52	mulcomd 11235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (π · 2) = (2 · π))
227	226	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
228	225, 227	eqtr3d 2775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
229	228	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
230	224, 229	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
231	216, 223, 230	3eqtrd 2777	1 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ∧ wa 397 = wceq 1542 ∈ wcel 2107 ≠ wne 2941 ‘cfv 6544 (class class class)co 7409 ℂcc 11108 ℝcr 11109 0cc0 11110 1c1 11111 + caddc 11113 · cmul 11115 − cmin 11444 -cneg 11445 / cdiv 11871 ℕcn 12212 2c2 12267 ℤ_≥cuz 12822 ...cfz 13484 Σcsu 15632 sincsin 16007 cosccos 16008 πcpi 16010

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7725 ax-inf2 9636 ax-cnex 11166 ax-resscn 11167 ax-1cn 11168 ax-icn 11169 ax-addcl 11170 ax-addrcl 11171 ax-mulcl 11172 ax-mulrcl 11173 ax-mulcom 11174 ax-addass 11175 ax-mulass 11176 ax-distr 11177 ax-i2m1 11178 ax-1ne0 11179 ax-1rid 11180 ax-rnegex 11181 ax-rrecex 11182 ax-cnre 11183 ax-pre-lttri 11184 ax-pre-lttrn 11185 ax-pre-ltadd 11186 ax-pre-mulgt0 11187 ax-pre-sup 11188 ax-addf 11189 ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rmo 3377 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-tp 4634 df-op 4636 df-uni 4910 df-int 4952 df-iun 5000 df-iin 5001 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-se 5633 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-isom 6553 df-riota 7365 df-ov 7412 df-oprab 7413 df-mpo 7414 df-of 7670 df-om 7856 df-1st 7975 df-2nd 7976 df-supp 8147 df-frecs 8266 df-wrecs 8297 df-recs 8371 df-rdg 8410 df-1o 8466 df-2o 8467 df-er 8703 df-map 8822 df-pm 8823 df-ixp 8892 df-en 8940 df-dom 8941 df-sdom 8942 df-fin 8943 df-fsupp 9362 df-fi 9406 df-sup 9437 df-inf 9438 df-oi 9505 df-card 9934 df-pnf 11250 df-mnf 11251 df-xr 11252 df-ltxr 11253 df-le 11254 df-sub 11446 df-neg 11447 df-div 11872 df-nn 12213 df-2 12275 df-3 12276 df-4 12277 df-5 12278 df-6 12279 df-7 12280 df-8 12281 df-9 12282 df-n0 12473 df-z 12559 df-dec 12678 df-uz 12823 df-q 12933 df-rp 12975 df-xneg 13092 df-xadd 13093 df-xmul 13094 df-ioo 13328 df-ioc 13329 df-ico 13330 df-icc 13331 df-fz 13485 df-fzo 13628 df-fl 13757 df-seq 13967 df-exp 14028 df-fac 14234 df-bc 14263 df-hash 14291 df-shft 15014 df-cj 15046 df-re 15047 df-im 15048 df-sqrt 15182 df-abs 15183 df-limsup 15415 df-clim 15432 df-rlim 15433 df-sum 15633 df-ef 16011 df-sin 16013 df-cos 16014 df-pi 16016 df-struct 17080 df-sets 17097 df-slot 17115 df-ndx 17127 df-base 17145 df-ress 17174 df-plusg 17210 df-mulr 17211 df-starv 17212 df-sca 17213 df-vsca 17214 df-ip 17215 df-tset 17216 df-ple 17217 df-ds 17219 df-unif 17220 df-hom 17221 df-cco 17222 df-rest 17368 df-topn 17369 df-0g 17387 df-gsum 17388 df-topgen 17389 df-pt 17390 df-prds 17393 df-xrs 17448 df-qtop 17453 df-imas 17454 df-xps 17456 df-mre 17530 df-mrc 17531 df-acs 17533 df-mgm 18561 df-sgrp 18610 df-mnd 18626 df-submnd 18672 df-mulg 18951 df-cntz 19181 df-cmn 19650 df-psmet 20936 df-xmet 20937 df-met 20938 df-bl 20939 df-mopn 20940 df-fbas 20941 df-fg 20942 df-cnfld 20945 df-top 22396 df-topon 22413 df-topsp 22435 df-bases 22449 df-cld 22523 df-ntr 22524 df-cls 22525 df-nei 22602 df-lp 22640 df-perf 22641 df-cn 22731 df-cnp 22732 df-haus 22819 df-tx 23066 df-hmeo 23259 df-fil 23350 df-fm 23442 df-flim 23443 df-flf 23444 df-xms 23826 df-ms 23827 df-tms 23828 df-cncf 24394 df-limc 25383 df-dv 25384

This theorem is referenced by: dirkertrigeq 44817

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