Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkertrigeqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkertrigeqlem2 44426
Description: Trigonomic equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonomic equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeqlem2.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dirkertrigeqlem2.sinne0 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜๐ด) โ‰  0)
dirkertrigeqlem2.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem2 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) / ฯ€) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐‘›,๐‘   ๐œ‘,๐‘›

Proof of Theorem dirkertrigeqlem2
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cnd 11155 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
21halfcld 12403 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
3 fzfid 13884 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
4 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
54zcnd 12613 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
65adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
7 dirkertrigeqlem2.a . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87recnd 11188 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
98adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
106, 9mulcld 11180 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘› ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1110coscld 16018 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
123, 11fsumcl 15623 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
132, 12addcld 11179 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
148sincld 16017 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
15 dirkertrigeqlem2.sinne0 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜๐ด) โ‰  0)
1613, 14, 15divcan4d 11942 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) ยท (sinโ€˜๐ด)) / (sinโ€˜๐ด)) = ((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))))
1716eqcomd 2739 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = ((((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) ยท (sinโ€˜๐ด)) / (sinโ€˜๐ด)))
183, 14, 11fsummulc1 15675 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)))
1914adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2011, 19mulcomd 11181 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)) = ((sinโ€˜๐ด) ยท (cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))))
21 sinmulcos 44192 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((sinโ€˜๐ด) ยท (cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))) / 2))
229, 10, 21syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜๐ด) ยท (cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))) / 2))
23 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
246, 23, 9adddird 11185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘› ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
2523, 9mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (1 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2610, 25addcomd 11362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = ((1 ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)))
278mulid2d 11178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
2827oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ด)))
2928adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((1 ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ด)))
3024, 26, 293eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ด)) = ((๐‘› + 1) ยท ๐ด))
3130fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) = (sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)))
3210, 9negsubdi2d 11533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด) = (๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))
3332eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)) = -((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด))
3433fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด))) = (sinโ€˜-((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)))
3510, 9subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
36 sinneg 16033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (sinโ€˜-((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)) = -(sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜-((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)) = -(sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)))
3834, 37eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด))) = -(sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)))
3931, 38oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) + -(sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด))))
409, 10addcld 11179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4140sincld 16017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
4231, 41eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4335sincld 16017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4442, 43negsubd 11523 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) + -(sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด))) = ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด))))
456, 9mulsubfacd 11621 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด) = ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))
4645fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)) = (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
4746oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด))) = ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
4839, 44, 473eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
4948oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))) / 2) = (((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2))
5020, 22, 493eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)) = (((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2))
5150sumeq2dv 15593 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2))
52 2cnd 12236 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
53 peano2cnm 11472 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
546, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5554, 9mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5655sincld 16017 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5742, 56subcld 11517 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
58 2ne0 12262 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
603, 52, 57, 59fsumdivc 15676 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2))
613, 57fsumcl 15623 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
6261, 52, 59divrec2d 11940 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2) = ((1 / 2) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
6360, 62eqtr3d 2775 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2) = ((1 / 2) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
6418, 51, 633eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)) = ((1 / 2) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
6564oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท (sinโ€˜๐ด)) + (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด))) = (((1 / 2) ยท (sinโ€˜๐ด)) + ((1 / 2) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))))
662, 12, 14adddird 11185 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) ยท (sinโ€˜๐ด)) = (((1 / 2) ยท (sinโ€˜๐ด)) + (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด))))
672, 14, 61adddid 11184 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))) = (((1 / 2) ยท (sinโ€˜๐ด)) + ((1 / 2) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))))
6865, 66, 673eqtr4d 2783 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) ยท (sinโ€˜๐ด)) = ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))))
6968oveq1d 7373 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) ยท (sinโ€˜๐ด)) / (sinโ€˜๐ด)) = (((1 / 2) ยท ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))) / (sinโ€˜๐ด)))
7010sincld 16017 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
7142, 70, 56npncand 11541 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
7271eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
7372sumeq2dv 15593 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
7442, 70subcld 11517 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
7570, 56subcld 11517 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
763, 74, 75fsumadd 15630 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
77 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘› โ†’ (sinโ€˜(๐‘— ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)))
78 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = (๐‘› + 1) โ†’ (sinโ€˜(๐‘— ยท ๐ด)) = (sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)))
79 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = 1 โ†’ (sinโ€˜(๐‘— ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(1 ยท ๐ด)))
80 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = (๐‘ + 1) โ†’ (sinโ€˜(๐‘— ยท ๐ด)) = (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))
81 dirkertrigeqlem2.n . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
8281nnzd 12531 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
83 nnuz 12811 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
8481, 83eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
85 peano2uz 12831 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
87 elfzelz 13447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
8887zcnd 12613 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
8988adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
908adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9189, 90mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
9291sincld 16017 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (sinโ€˜(๐‘— ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9377, 78, 79, 80, 82, 86, 92telfsum2 15695 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))))
94 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
955, 94pncand 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘› + 1) โˆ’ 1) = ๐‘›)
9695eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› = ((๐‘› + 1) โˆ’ 1))
9796adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› = ((๐‘› + 1) โˆ’ 1))
9897fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(((๐‘› + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
9998oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(((๐‘› + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
10099sumeq2dv 15593 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(((๐‘› + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
101 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = ๐‘› โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = (๐‘› โˆ’ 1))
102101fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = ๐‘› โ†’ (sinโ€˜((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
103 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = ((๐‘› + 1) โˆ’ 1))
104103fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = (๐‘› + 1) โ†’ (sinโ€˜((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(((๐‘› + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
105 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = 1 โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = (1 โˆ’ 1))
106105fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = 1 โ†’ (sinโ€˜((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
107 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = (๐‘ + 1) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = ((๐‘ + 1) โˆ’ 1))
108107fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = (๐‘ + 1) โ†’ (sinโ€˜((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
109 1cnd 11155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
11089, 109subcld 11517 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
111110, 90mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
112111sincld 16017 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (sinโ€˜((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
113102, 104, 106, 108, 82, 86, 112telfsum2 15695 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(((๐‘› + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
11481nnred 12173 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
115114recnd 11188 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
116115, 1pncand 11518 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
117116fvoveq1d 7380 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
1181subidd 11505 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ 1) = 0)
119118oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด))
1208mul02d 11358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
121119, 120eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด) = 0)
122121fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜0))
123 sin0 16036 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sinโ€˜0) = 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜0) = 0)
125122, 124eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = 0)
126117, 125oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))
127100, 113, 1263eqtrd 2777 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))
12893, 127oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))) = (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)))
12973, 76, 1283eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)))
130129oveq2d 7374 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))))
13127fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด)) = (sinโ€˜๐ด))
132131oveq2d 7374 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)))
133132oveq1d 7373 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)) = (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)))
134133oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))) = ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))))
135115, 1addcld 11179 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
136135, 8mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
137136sincld 16017 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
138137, 14subcld 11517 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
139115, 8mulcld 11180 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
140139sincld 16017 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
141 0cnd 11153 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
142140, 141subcld 11517 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0) โˆˆ โ„‚)
14314, 138, 142addassd 11182 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜๐ด) + ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)) = ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))))
144143eqcomd 2739 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))) = (((sinโ€˜๐ด) + ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)))
14514, 137pncan3d 11520 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด))) = (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))
146140subid1d 11506 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0) = (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
147145, 146oveq12d 7376 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜๐ด) + ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)) = ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))))
148137, 140addcomd 11362 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))))
149147, 148eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜๐ด) + ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))))
150134, 144, 1493eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))))
151130, 150eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))))
152151oveq2d 7374 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))) = ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))))
153152oveq1d 7373 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))) / (sinโ€˜๐ด)) = (((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))) / (sinโ€˜๐ด)))
15417, 69, 1533eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = (((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))) / (sinโ€˜๐ด)))
155 halfre 12372 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) โˆˆ โ„
156155a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
157114, 156readdcld 11189 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
158157, 7remulcld 11190 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
159158recnd 11188 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1602, 8mulcld 11180 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
161 sinmulcos 44192 . . . . . . . 8 ((((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / 2) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))) / 2))
162159, 160, 161syl2anc 585 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))) / 2))
163115, 2, 8adddird 11185 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) = ((๐‘ ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)))
164163oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) = (((๐‘ ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) + ((1 / 2) ยท ๐ด)))
165139, 160, 160addassd 11182 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) = ((๐‘ ยท ๐ด) + (((1 / 2) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))))
1662, 2, 8adddird 11185 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + (1 / 2)) ยท ๐ด) = (((1 / 2) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)))
16712halvesd 12404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
168167oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + (1 / 2)) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
169166, 168eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) = (1 ยท ๐ด))
170169oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) + (((1 / 2) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) = ((๐‘ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
171115, 1, 8adddird 11185 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
172170, 171eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) + (((1 / 2) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) = ((๐‘ + 1) ยท ๐ด))
173164, 165, 1723eqtrrd 2778 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐ด) = (((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)))
174173fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))))
175163oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)) = (((๐‘ ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))
176139, 160pncand 11518 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)) = (๐‘ ยท ๐ด))
177175, 176eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))
178177fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด))))
179174, 178oveq12d 7376 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))))
180179oveq1d 7373 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))) / 2) = (((sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))) / 2))
181162, 180eqtr4d 2776 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))) / 2))
182148oveq1d 7373 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))) / 2) = (((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))) / 2))
183140, 137addcld 11179 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
184183, 52, 59divrec2d 11940 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))) / 2) = ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))))
185181, 182, 1843eqtrrd 2778 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))))
186185oveq1d 7373 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))) / (sinโ€˜๐ด)) = (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / (sinโ€˜๐ด)))
1878, 52, 59divcan2d 11938 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ด / 2)) = ๐ด)
188187eqcomd 2739 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (2 ยท (๐ด / 2)))
189188fveq2d 6847 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜๐ด) = (sinโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))))
1908halfcld 12403 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
191 sin2t 16064 . . . . . . . 8 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (sinโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))))
192190, 191syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))))
193189, 192eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜๐ด) = (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))))
194193oveq2d 7374 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / (sinโ€˜๐ด)) = (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))))))
195190sincld 16017 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„‚)
196190coscld 16018 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„‚)
19752, 195, 196mulassd 11183 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))) = (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))))
1988, 52, 59divrec2d 11940 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / 2) = ((1 / 2) ยท ๐ด))
199198fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) = (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด)))
200199oveq2d 7374 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))) = ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))))
201197, 200eqtr3d 2775 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))) = ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))))
202201oveq2d 7374 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))))) = (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด)))))
203159sincld 16017 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
20452, 195mulcld 11180 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) โˆˆ โ„‚)
205160coscld 16018 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
206195, 196mulcld 11180 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))) โˆˆ โ„‚)
207193, 15eqnetrrd 3009 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))) โ‰  0)
20852, 206, 207mulne0bbd 11816 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))) โ‰  0)
209195, 196, 208mulne0bad 11815 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(๐ด / 2)) โ‰  0)
21052, 195, 59, 209mulne0d 11812 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) โ‰  0)
211195, 196, 208mulne0bbd 11816 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) โ‰  0)
212199, 211eqnetrrd 3009 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด)) โ‰  0)
213203, 204, 205, 210, 212divcan5rd 11963 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
214194, 202, 2133eqtrd 2777 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / (sinโ€˜๐ด)) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
215154, 186, 2143eqtrd 2777 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
216215oveq1d 7373 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) / ฯ€) = (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))) / ฯ€))
217 picn 25832 . . . 4 ฯ€ โˆˆ โ„‚
218217a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
219 pire 25831 . . . . 5 ฯ€ โˆˆ โ„
220 pipos 25833 . . . . 5 0 < ฯ€
221219, 220gt0ne0ii 11696 . . . 4 ฯ€ โ‰  0
222221a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฯ€ โ‰  0)
223203, 204, 218, 210, 222divdiv32d 11961 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))) / ฯ€) = (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ฯ€) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
224203, 218, 204, 222, 210divdiv1d 11967 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ฯ€) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (ฯ€ ยท (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))))))
225218, 52, 195mulassd 11183 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ€ ยท 2) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) = (ฯ€ ยท (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
226218, 52mulcomd 11181 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฯ€ ยท 2) = (2 ยท ฯ€))
227226oveq1d 7373 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ€ ยท 2) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) = ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))))
228225, 227eqtr3d 2775 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฯ€ ยท (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))) = ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))))
229228oveq2d 7374 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (ฯ€ ยท (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
230224, 229eqtrd 2773 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ฯ€) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
231216, 223, 2303eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) / ฯ€) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390  -cneg 11391   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„คโ‰ฅcuz 12768  ...cfz 13430  ฮฃcsu 15576  sincsin 15951  cosccos 15952  ฯ€cpi 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  44428
  Copyright terms: Public domain W3C validator