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Theorem dirkertrigeqlem2 41946
Description: Trigonomic equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonomic equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeqlem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dirkertrigeqlem2.sinne0 (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
dirkertrigeqlem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem2 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dirkertrigeqlem2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cnd 10482 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
21halfcld 11730 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
3 fzfid 13191 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
4 elfzelz 12758 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
54zcnd 11937 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
65adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7 dirkertrigeqlem2.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87recnd 10515 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
106, 9mulcld 10507 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
1110coscld 15317 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
123, 11fsumcl 14923 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
132, 12addcld 10506 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
148sincld 15316 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15 dirkertrigeqlem2.sinne0 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
1613, 14, 15divcan4d 11270 . . . . . 6 (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))))
1716eqcomd 2801 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)))
183, 14, 11fsummulc1 14973 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)))
1914adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
2011, 19mulcomd 10508 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))))
21 sinmulcos 41707 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
229, 10, 21syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
23 1cnd 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
246, 23, 9adddird 10512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 + 1) · 𝐴) = ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
2523, 9mulcld 10507 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
2610, 25addcomd 10689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
278mulid2d 10505 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2827oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
2928adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
3024, 26, 293eqtrrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑛 + 1) · 𝐴))
3130fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
3210, 9negsubdi2d 10861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))
3332eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)) = -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))
3433fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
3510, 9subcld 10845 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ)
36 sinneg 15332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
3834, 37eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
3931, 38oveq12d 7034 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
409, 10addcld 10506 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
4140sincld 15316 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
4231, 41eqeltrrd 2884 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
4335sincld 15316 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) ∈ ℂ)
4442, 43negsubd 10851 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
456, 9mulsubfacd 10949 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝑛 − 1) · 𝐴))
4645fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
4746oveq2d 7032 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
4839, 44, 473eqtrd 2835 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
4948oveq1d 7031 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
5020, 22, 493eqtrd 2835 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
5150sumeq2dv 14893 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
52 2cnd 11563 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 peano2cnm 10800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
546, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
5554, 9mulcld 10507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
5655sincld 15316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
5742, 56subcld 10845 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
58 2ne0 11589 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≠ 0)
603, 52, 57, 59fsumdivc 14974 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
613, 57fsumcl 14923 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
6261, 52, 59divrec2d 11268 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
6360, 62eqtr3d 2833 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
6418, 51, 633eqtrd 2835 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
6564oveq2d 7032 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
662, 12, 14adddird 10512 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
672, 14, 61adddid 10511 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
6865, 66, 673eqtr4d 2841 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
6968oveq1d 7031 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)))
7010sincld 15316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
7142, 70, 56npncand 10869 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
7271eqcomd 2801 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
7372sumeq2dv 14893 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
7442, 70subcld 10845 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
7570, 56subcld 10845 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
763, 74, 75fsumadd 14929 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
77 fvoveq1 7039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑛 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(𝑛 · 𝐴)))
78 fvoveq1 7039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
79 fvoveq1 7039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 1 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(1 · 𝐴)))
80 fvoveq1 7039 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
81 dirkertrigeqlem2.n . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8281nnzd 11935 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
83 nnuz 12130 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
8481, 83syl6eleq 2893 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
85 peano2uz 12150 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
87 elfzelz 12758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
8887zcnd 11937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
8988adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
908adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
9189, 90mulcld 10507 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 · 𝐴) ∈ ℂ)
9291sincld 15316 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) ∈ ℂ)
9377, 78, 79, 80, 82, 86, 92telfsum2 14993 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))))
94 1cnd 10482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
955, 94pncand 10846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
9695eqcomd 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
9796adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
9897fvoveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
9998oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
10099sumeq2dv 14893 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
101 oveq1 7023 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 − 1) = (𝑛 − 1))
102101fvoveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑛 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
103 oveq1 7023 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑛 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
104103fvoveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
105 oveq1 7023 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
106105fvoveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 1 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((1 − 1) · 𝐴)))
107 oveq1 7023 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
108107fvoveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)))
109 1cnd 10482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
11089, 109subcld 10845 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
111110, 90mulcld 10507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
112111sincld 15316 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
113102, 104, 106, 108, 82, 86, 112telfsum2 14993 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))))
11481nnred 11501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
115114recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
116115, 1pncand 10846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
117116fvoveq1d 7038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
1181subidd 10833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
119118oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
1208mul02d 10685 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
121119, 120eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = 0)
122121fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = (sin‘0))
123 sin0 15335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘0) = 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘0) = 0)
125122, 124eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = 0)
126117, 125oveq12d 7034 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
127100, 113, 1263eqtrd 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
12893, 127oveq12d 7034 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
12973, 76, 1283eqtrd 2835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
130129oveq2d 7032 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
13127fveq2d 6542 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
132131oveq2d 7032 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)))
133132oveq1d 7031 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
134133oveq2d 7032 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
135115, 1addcld 10506 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
136135, 8mulcld 10507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
137136sincld 15316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
138137, 14subcld 10845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
139115, 8mulcld 10507 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ)
140139sincld 15316 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
141 0cnd 10480 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
142140, 141subcld 10845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) ∈ ℂ)
14314, 138, 142addassd 10509 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
144143eqcomd 2801 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
14514, 137pncan3d 10848 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
146140subid1d 10834 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
147145, 146oveq12d 7034 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))))
148137, 140addcomd 10689 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
149147, 148eqtrd 2831 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
150134, 144, 1493eqtrd 2835 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
151130, 150eqtrd 2831 . . . . . . 7 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
152151oveq2d 7032 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
153152oveq1d 7031 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
15417, 69, 1533eqtrd 2835 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
155 halfre 11699 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
156155a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
157114, 156readdcld 10516 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
158157, 7remulcld 10517 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℝ)
159158recnd 10515 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ)
1602, 8mulcld 10507 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ)
161 sinmulcos 41707 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
162159, 160, 161syl2anc 584 . . . . . . 7 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
163115, 2, 8adddird 10512 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
164163oveq1d 7031 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)))
165139, 160, 160addassd 10509 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
1662, 2, 8adddird 10512 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
16712halvesd 11731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
168167oveq1d 7031 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
169166, 168eqtr3d 2833 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (1 · 𝐴))
170169oveq2d 7032 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
171115, 1, 8adddird 10512 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
172170, 171eqtr4d 2834 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 + 1) · 𝐴))
173164, 165, 1723eqtrrd 2836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
174173fveq2d 6542 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
175163oveq1d 7031 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)))
176139, 160pncand 10846 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
177175, 176eqtr2d 2832 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))
178177fveq2d 6542 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴))))
179174, 178oveq12d 7034 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))))
180179oveq1d 7031 . . . . . . 7 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
181162, 180eqtr4d 2834 . . . . . 6 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2))
182148oveq1d 7031 . . . . . 6 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2))
183140, 137addcld 10506 . . . . . . 7 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
184183, 52, 59divrec2d 11268 . . . . . 6 (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
185181, 182, 1843eqtrrd 2836 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
186185oveq1d 7031 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)))
1878, 52, 59divcan2d 11266 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
188187eqcomd 2801 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (2 · (𝐴 / 2)))
189188fveq2d 6542 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘𝐴) = (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
1908halfcld 11730 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
191 sin2t 15363 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
192190, 191syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
193189, 192eqtrd 2831 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
194193oveq2d 7032 . . . . 5 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
195190sincld 15316 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
196190coscld 15317 . . . . . . . 8 (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
19752, 195, 196mulassd 10510 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
1988, 52, 59divrec2d 11268 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((1 / 2) · 𝐴))
199198fveq2d 6542 . . . . . . . 8 (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) = (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))
200199oveq2d 7032 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
201197, 200eqtr3d 2833 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
202201oveq2d 7032 . . . . 5 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))))
203159sincld 15316 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) ∈ ℂ)
20452, 195mulcld 10507 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
205160coscld 15317 . . . . . 6 (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
206195, 196mulcld 10507 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
207193, 15eqnetrrd 3052 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) ≠ 0)
20852, 206, 207mulne0bbd 11144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
209195, 196, 208mulne0bad 11143 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
21052, 195, 59, 209mulne0d 11140 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
211195, 196, 208mulne0bbd 11144 . . . . . . 7 (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
212199, 211eqnetrrd 3052 . . . . . 6 (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ≠ 0)
213203, 204, 205, 210, 212divcan5rd 11291 . . . . 5 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
214194, 202, 2133eqtrd 2835 . . . 4 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
215154, 186, 2143eqtrd 2835 . . 3 (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
216215oveq1d 7031 . 2 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π))
217 picn 24728 . . . 4 π ∈ ℂ
218217a1i 11 . . 3 (𝜑 → π ∈ ℂ)
219 pire 24727 . . . . 5 π ∈ ℝ
220 pipos 24729 . . . . 5 0 < π
221219, 220gt0ne0ii 11024 . . . 4 π ≠ 0
222221a1i 11 . . 3 (𝜑 → π ≠ 0)
223203, 204, 218, 210, 222divdiv32d 11289 . 2 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224203, 218, 204, 222, 210divdiv1d 11295 . . 3 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))))
225218, 52, 195mulassd 10510 . . . . 5 (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
226218, 52mulcomd 10508 . . . . . 6 (𝜑 → (π · 2) = (2 · π))
227226oveq1d 7031 . . . . 5 (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
228225, 227eqtr3d 2833 . . . 4 (𝜑 → (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
229228oveq2d 7032 . . 3 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
230224, 229eqtrd 2831 . 2 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
231216, 223, 2303eqtrd 2835 1 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388  cmin 10717  -cneg 10718   / cdiv 11145  cn 11486  2c2 11540  cuz 12093  ...cfz 12742  Σcsu 14876  sincsin 15250  cosccos 15251  πcpi 15253
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-card 9214  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-sin 15256  df-cos 15257  df-pi 15259  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-limc 24147  df-dv 24148
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