Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dirkertrigeqlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dirkertrigeqlem2 45410
Description: Trigonomic equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonomic equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeqlem2.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
dirkertrigeqlem2.sinne0 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜๐ด) โ‰  0)
dirkertrigeqlem2.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem2 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) / ฯ€) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘›   ๐‘›,๐‘   ๐œ‘,๐‘›

Proof of Theorem dirkertrigeqlem2
Dummy variable ๐‘— is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cnd 11231 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
21halfcld 12479 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„‚)
3 fzfid 13962 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (1...๐‘) โˆˆ Fin)
4 elfzelz 13525 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
54zcnd 12689 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
65adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
7 dirkertrigeqlem2.a . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87recnd 11264 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
98adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
106, 9mulcld 11256 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘› ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1110coscld 16099 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
123, 11fsumcl 15703 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
132, 12addcld 11255 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
148sincld 16098 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
15 dirkertrigeqlem2.sinne0 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜๐ด) โ‰  0)
1613, 14, 15divcan4d 12018 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) ยท (sinโ€˜๐ด)) / (sinโ€˜๐ด)) = ((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))))
1716eqcomd 2733 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = ((((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) ยท (sinโ€˜๐ด)) / (sinโ€˜๐ด)))
183, 14, 11fsummulc1 15755 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)))
1914adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
2011, 19mulcomd 11257 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)) = ((sinโ€˜๐ด) ยท (cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))))
21 sinmulcos 45176 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘› ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((sinโ€˜๐ด) ยท (cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))) / 2))
229, 10, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜๐ด) ยท (cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))) / 2))
23 1cnd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
246, 23, 9adddird 11261 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘› ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
2523, 9mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (1 ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2610, 25addcomd 11438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)) = ((1 ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)))
278mullidd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ (1 ยท ๐ด) = ๐ด)
2827oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ ((1 ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ด)))
2928adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((1 ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)) = (๐ด + (๐‘› ยท ๐ด)))
3024, 26, 293eqtrrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ด)) = ((๐‘› + 1) ยท ๐ด))
3130fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) = (sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)))
3210, 9negsubdi2d 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ -((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด) = (๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))
3332eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)) = -((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด))
3433fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด))) = (sinโ€˜-((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)))
3510, 9subcld 11593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
36 sinneg 16114 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (sinโ€˜-((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)) = -(sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜-((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)) = -(sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)))
3834, 37eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด))) = -(sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)))
3931, 38oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) + -(sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด))))
409, 10addcld 11255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐ด + (๐‘› ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4140sincld 16098 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
4231, 41eqeltrrd 2829 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4335sincld 16098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
4442, 43negsubd 11599 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) + -(sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด))) = ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด))))
456, 9mulsubfacd 11697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด) = ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))
4645fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด)) = (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
4746oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› ยท ๐ด) โˆ’ ๐ด))) = ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
4839, 44, 473eqtrd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
4948oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((sinโ€˜(๐ด + (๐‘› ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(๐ด โˆ’ (๐‘› ยท ๐ด)))) / 2) = (((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2))
5020, 22, 493eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)) = (((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2))
5150sumeq2dv 15673 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2))
52 2cnd 12312 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
53 peano2cnm 11548 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘› โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
546, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (๐‘› โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
5554, 9mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
5655sincld 16098 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
5742, 56subcld 11593 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
58 2ne0 12338 . . . . . . . . . . . 12 2 โ‰  0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 2 โ‰  0)
603, 52, 57, 59fsumdivc 15756 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2))
613, 57fsumcl 15703 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
6261, 52, 59divrec2d 12016 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2) = ((1 / 2) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
6360, 62eqtr3d 2769 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) / 2) = ((1 / 2) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
6418, 51, 633eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด)) = ((1 / 2) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
6564oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท (sinโ€˜๐ด)) + (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด))) = (((1 / 2) ยท (sinโ€˜๐ด)) + ((1 / 2) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))))
662, 12, 14adddird 11261 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) ยท (sinโ€˜๐ด)) = (((1 / 2) ยท (sinโ€˜๐ด)) + (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) ยท (sinโ€˜๐ด))))
672, 14, 61adddid 11260 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))) = (((1 / 2) ยท (sinโ€˜๐ด)) + ((1 / 2) ยท ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))))
6865, 66, 673eqtr4d 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) ยท (sinโ€˜๐ด)) = ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))))
6968oveq1d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) ยท (sinโ€˜๐ด)) / (sinโ€˜๐ด)) = (((1 / 2) ยท ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))) / (sinโ€˜๐ด)))
7010sincld 16098 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
7142, 70, 56npncand 11617 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
7271eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
7372sumeq2dv 15673 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
7442, 70subcld 11593 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
7570, 56subcld 11593 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
763, 74, 75fsumadd 15710 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))) = (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))))
77 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = ๐‘› โ†’ (sinโ€˜(๐‘— ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)))
78 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = (๐‘› + 1) โ†’ (sinโ€˜(๐‘— ยท ๐ด)) = (sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)))
79 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = 1 โ†’ (sinโ€˜(๐‘— ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(1 ยท ๐ด)))
80 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘— = (๐‘ + 1) โ†’ (sinโ€˜(๐‘— ยท ๐ด)) = (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))
81 dirkertrigeqlem2.n . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
8281nnzd 12607 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
83 nnuz 12887 . . . . . . . . . . . . . 14 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
8481, 83eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
85 peano2uz 12907 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
87 elfzelz 13525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
8887zcnd 12689 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1)) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
8988adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„‚)
908adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
9189, 90mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘— ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
9291sincld 16098 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (sinโ€˜(๐‘— ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
9377, 78, 79, 80, 82, 86, 92telfsum2 15775 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))))
94 1cnd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
955, 94pncand 11594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ((๐‘› + 1) โˆ’ 1) = ๐‘›)
9695eqcomd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘› โˆˆ (1...๐‘) โ†’ ๐‘› = ((๐‘› + 1) โˆ’ 1))
9796adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ๐‘› = ((๐‘› + 1) โˆ’ 1))
9897fvoveq1d 7436 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(((๐‘› + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
9998oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)) โ†’ ((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(((๐‘› + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
10099sumeq2dv 15673 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(((๐‘› + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
101 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = ๐‘› โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = (๐‘› โˆ’ 1))
102101fvoveq1d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = ๐‘› โ†’ (sinโ€˜((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
103 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = (๐‘› + 1) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = ((๐‘› + 1) โˆ’ 1))
104103fvoveq1d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = (๐‘› + 1) โ†’ (sinโ€˜((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(((๐‘› + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
105 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = 1 โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = (1 โˆ’ 1))
106105fvoveq1d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = 1 โ†’ (sinโ€˜((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
107 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘— = (๐‘ + 1) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) = ((๐‘ + 1) โˆ’ 1))
108107fvoveq1d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘— = (๐‘ + 1) โ†’ (sinโ€˜((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)))
109 1cnd 11231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
11089, 109subcld 11593 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (๐‘— โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
111110, 90mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ ((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
112111sincld 16098 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (1...(๐‘ + 1))) โ†’ (sinโ€˜((๐‘— โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
113102, 104, 106, 108, 82, 86, 112telfsum2 15775 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(((๐‘› + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด))))
11481nnred 12249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
115114recnd 11264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
116115, 1pncand 11594 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘)
117116fvoveq1d 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
1181subidd 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐œ‘ โ†’ (1 โˆ’ 1) = 0)
119118oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด))
1208mul02d 11434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐œ‘ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0)
121119, 120eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด) = 0)
122121fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜0))
123 sin0 16117 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sinโ€˜0) = 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜0) = 0)
125122, 124eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด)) = 0)
126117, 125oveq12d 7432 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(((๐‘ + 1) โˆ’ 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((1 โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))
127100, 113, 1263eqtrd 2771 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))
12893, 127oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜(๐‘› ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))) = (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)))
12973, 76, 1283eqtrd 2771 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)))
130129oveq2d 7430 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))))
13127fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด)) = (sinโ€˜๐ด))
132131oveq2d 7430 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)))
133132oveq1d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)) = (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)))
134133oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))) = ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))))
135115, 1addcld 11255 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + 1) โˆˆ โ„‚)
136135, 8mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
137136sincld 16098 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
138137, 14subcld 11593 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
139115, 8mulcld 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
140139sincld 16098 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
141 0cnd 11229 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
142140, 141subcld 11593 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0) โˆˆ โ„‚)
14314, 138, 142addassd 11258 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜๐ด) + ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)) = ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))))
144143eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด)) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))) = (((sinโ€˜๐ด) + ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)))
14514, 137pncan3d 11596 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด))) = (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))
146140subid1d 11582 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0) = (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)))
147145, 146oveq12d 7432 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜๐ด) + ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)) = ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))))
148137, 140addcomd 11438 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))))
149147, 148eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜๐ด) + ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0)) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))))
150134, 144, 1493eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜(1 ยท ๐ด))) + ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) โˆ’ 0))) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))))
151130, 150eqtrd 2767 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))))
152151oveq2d 7430 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))) = ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))))
153152oveq1d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท ((sinโ€˜๐ด) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)((sinโ€˜((๐‘› + 1) ยท ๐ด)) โˆ’ (sinโ€˜((๐‘› โˆ’ 1) ยท ๐ด))))) / (sinโ€˜๐ด)) = (((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))) / (sinโ€˜๐ด)))
15417, 69, 1533eqtrd 2771 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = (((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))) / (sinโ€˜๐ด)))
155 halfre 12448 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) โˆˆ โ„
156155a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
157114, 156readdcld 11265 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ + (1 / 2)) โˆˆ โ„)
158157, 7remulcld 11266 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
159158recnd 11264 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1602, 8mulcld 11256 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
161 sinmulcos 45176 . . . . . . . 8 ((((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ((1 / 2) ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))) / 2))
162159, 160, 161syl2anc 583 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))) / 2))
163115, 2, 8adddird 11261 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) = ((๐‘ ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)))
164163oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) = (((๐‘ ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) + ((1 / 2) ยท ๐ด)))
165139, 160, 160addassd 11258 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) = ((๐‘ ยท ๐ด) + (((1 / 2) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))))
1662, 2, 8adddird 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + (1 / 2)) ยท ๐ด) = (((1 / 2) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)))
16712halvesd 12480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
168167oveq1d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + (1 / 2)) ยท ๐ด) = (1 ยท ๐ด))
169166, 168eqtr3d 2769 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) = (1 ยท ๐ด))
170169oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) + (((1 / 2) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) = ((๐‘ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
171115, 1, 8adddird 11261 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐ด) = ((๐‘ ยท ๐ด) + (1 ยท ๐ด)))
172170, 171eqtr4d 2770 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) + (((1 / 2) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) = ((๐‘ + 1) ยท ๐ด))
173164, 165, 1723eqtrrd 2772 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ + 1) ยท ๐ด) = (((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)))
174173fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))))
175163oveq1d 7429 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)) = (((๐‘ ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))
176139, 160pncand 11594 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((๐‘ ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด)) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)) = (๐‘ ยท ๐ด))
177175, 176eqtr2d 2768 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))
178177fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) = (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด))))
179174, 178oveq12d 7432 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))))
180179oveq1d 7429 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))) / 2) = (((sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) + ((1 / 2) ยท ๐ด))) + (sinโ€˜(((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด) โˆ’ ((1 / 2) ยท ๐ด)))) / 2))
181162, 180eqtr4d 2770 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) = (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))) / 2))
182148oveq1d 7429 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)) + (sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด))) / 2) = (((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))) / 2))
183140, 137addcld 11255 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))) โˆˆ โ„‚)
184183, 52, 59divrec2d 12016 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด))) / 2) = ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))))
185181, 182, 1843eqtrrd 2772 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))))
186185oveq1d 7429 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) ยท ((sinโ€˜(๐‘ ยท ๐ด)) + (sinโ€˜((๐‘ + 1) ยท ๐ด)))) / (sinโ€˜๐ด)) = (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / (sinโ€˜๐ด)))
1878, 52, 59divcan2d 12014 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (๐ด / 2)) = ๐ด)
188187eqcomd 2733 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (2 ยท (๐ด / 2)))
189188fveq2d 6895 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜๐ด) = (sinโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))))
1908halfcld 12479 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
191 sin2t 16145 . . . . . . . 8 ((๐ด / 2) โˆˆ โ„‚ โ†’ (sinโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))))
192190, 191syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(2 ยท (๐ด / 2))) = (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))))
193189, 192eqtrd 2767 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜๐ด) = (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))))
194193oveq2d 7430 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / (sinโ€˜๐ด)) = (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))))))
195190sincld 16098 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„‚)
196190coscld 16099 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) โˆˆ โ„‚)
19752, 195, 196mulassd 11259 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))) = (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))))
1988, 52, 59divrec2d 12016 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด / 2) = ((1 / 2) ยท ๐ด))
199198fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) = (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด)))
200199oveq2d 7430 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))) = ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))))
201197, 200eqtr3d 2769 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))) = ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))))
202201oveq2d 7430 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))))) = (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด)))))
203159sincld 16098 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
20452, 195mulcld 11256 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) โˆˆ โ„‚)
205160coscld 16099 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด)) โˆˆ โ„‚)
206195, 196mulcld 11256 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))) โˆˆ โ„‚)
207193, 15eqnetrrd 3004 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2)))) โ‰  0)
20852, 206, 207mulne0bbd 11892 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜(๐ด / 2)) ยท (cosโ€˜(๐ด / 2))) โ‰  0)
209195, 196, 208mulne0bad 11891 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (sinโ€˜(๐ด / 2)) โ‰  0)
21052, 195, 59, 209mulne0d 11888 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) โ‰  0)
211195, 196, 208mulne0bbd 11892 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜(๐ด / 2)) โ‰  0)
212199, 211eqnetrrd 3004 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด)) โ‰  0)
213203, 204, 205, 210, 212divcan5rd 12039 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / ((2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด)))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
214194, 202, 2133eqtrd 2771 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) ยท (cosโ€˜((1 / 2) ยท ๐ด))) / (sinโ€˜๐ด)) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
215154, 186, 2143eqtrd 2771 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
216215oveq1d 7429 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) / ฯ€) = (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))) / ฯ€))
217 picn 26381 . . . 4 ฯ€ โˆˆ โ„‚
218217a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
219 pire 26380 . . . . 5 ฯ€ โˆˆ โ„
220 pipos 26382 . . . . 5 0 < ฯ€
221219, 220gt0ne0ii 11772 . . . 4 ฯ€ โ‰  0
222221a1i 11 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฯ€ โ‰  0)
223203, 204, 218, 210, 222divdiv32d 12037 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))) / ฯ€) = (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ฯ€) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
224203, 218, 204, 222, 210divdiv1d 12043 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ฯ€) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (ฯ€ ยท (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))))))
225218, 52, 195mulassd 11259 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ€ ยท 2) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) = (ฯ€ ยท (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
226218, 52mulcomd 11257 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (ฯ€ ยท 2) = (2 ยท ฯ€))
227226oveq1d 7429 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((ฯ€ ยท 2) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))) = ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))))
228225, 227eqtr3d 2769 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (ฯ€ ยท (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))) = ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))))
229228oveq2d 7430 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / (ฯ€ ยท (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2))))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
230224, 229eqtrd 2767 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ฯ€) / (2 ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
231216, 223, 2303eqtrd 2771 1 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 2) + ฮฃ๐‘› โˆˆ (1...๐‘)(cosโ€˜(๐‘› ยท ๐ด))) / ฯ€) = ((sinโ€˜((๐‘ + (1 / 2)) ยท ๐ด)) / ((2 ยท ฯ€) ยท (sinโ€˜(๐ด / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  โ„‚cc 11128  โ„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ยท cmul 11135   โˆ’ cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11893  โ„•cn 12234  2c2 12289  โ„คโ‰ฅcuz 12844  ...cfz 13508  ฮฃcsu 15656  sincsin 16031  cosccos 16032  ฯ€cpi 16034
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783
This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  45412
  Copyright terms: Public domain W3C validator