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Theorem dirkertrigeqlem2 42728
Description: Trigonomic equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonomic equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
dirkertrigeqlem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
dirkertrigeqlem2.sinne0 (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
dirkertrigeqlem2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dirkertrigeqlem2 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dirkertrigeqlem2
Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1cnd 10629 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
21halfcld 11874 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
3 fzfid 13340 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
4 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
54zcnd 12080 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
65adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7 dirkertrigeqlem2.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87recnd 10662 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
98adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
106, 9mulcld 10654 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
1110coscld 15479 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
123, 11fsumcl 15085 . . . . . . . 8 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
132, 12addcld 10653 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
148sincld 15478 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15 dirkertrigeqlem2.sinne0 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
1613, 14, 15divcan4d 11415 . . . . . 6 (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))))
1716eqcomd 2807 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)))
183, 14, 11fsummulc1 15135 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)))
1914adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
2011, 19mulcomd 10655 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))))
21 sinmulcos 42494 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
229, 10, 21syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
23 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
246, 23, 9adddird 10659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 + 1) · 𝐴) = ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
2523, 9mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
2610, 25addcomd 10835 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
278mulid2d 10652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
2827oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
2928adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
3024, 26, 293eqtrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑛 + 1) · 𝐴))
3130fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
3210, 9negsubdi2d 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))
3332eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)) = -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))
3433fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
3510, 9subcld 10990 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ)
36 sinneg 15494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
3735, 36syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
3834, 37eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
3931, 38oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
409, 10addcld 10653 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
4140sincld 15478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
4231, 41eqeltrrd 2894 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
4335sincld 15478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) ∈ ℂ)
4442, 43negsubd 10996 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
456, 9mulsubfacd 11094 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝑛 − 1) · 𝐴))
4645fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
4746oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
4839, 44, 473eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
4948oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
5020, 22, 493eqtrd 2840 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
5150sumeq2dv 15055 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
52 2cnd 11707 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53 peano2cnm 10945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
546, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
5554, 9mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
5655sincld 15478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
5742, 56subcld 10990 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
58 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
5958a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ≠ 0)
603, 52, 57, 59fsumdivc 15136 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
613, 57fsumcl 15085 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
6261, 52, 59divrec2d 11413 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
6360, 62eqtr3d 2838 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
6418, 51, 633eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
6564oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
662, 12, 14adddird 10659 . . . . . . 7 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
672, 14, 61adddid 10658 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
6865, 66, 673eqtr4d 2846 . . . . . 6 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
6968oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)))
7010sincld 15478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
7142, 70, 56npncand 11014 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
7271eqcomd 2807 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
7372sumeq2dv 15055 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
7442, 70subcld 10990 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
7570, 56subcld 10990 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
763, 74, 75fsumadd 15091 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
77 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝑛 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(𝑛 · 𝐴)))
78 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
79 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 1 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(1 · 𝐴)))
80 fvoveq1 7162 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
81 dirkertrigeqlem2.n . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
8281nnzd 12078 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
83 nnuz 12273 . . . . . . . . . . . . . 14 ℕ = (ℤ‘1)
8481, 83eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘1))
85 peano2uz 12293 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ (ℤ‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
8684, 85syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ‘1))
87 elfzelz 12906 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
8887zcnd 12080 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
8988adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
908adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
9189, 90mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 · 𝐴) ∈ ℂ)
9291sincld 15478 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) ∈ ℂ)
9377, 78, 79, 80, 82, 86, 92telfsum2 15155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))))
94 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
955, 94pncand 10991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
9695eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
9796adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
9897fvoveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
9998oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
10099sumeq2dv 15055 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
101 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 − 1) = (𝑛 − 1))
102101fvoveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑛 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
103 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑛 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
104103fvoveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
105 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
106105fvoveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 1 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((1 − 1) · 𝐴)))
107 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
108107fvoveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)))
109 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
11089, 109subcld 10990 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
111110, 90mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
112111sincld 15478 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
113102, 104, 106, 108, 82, 86, 112telfsum2 15155 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))))
11481nnred 11644 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
115114recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
116115, 1pncand 10991 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
117116fvoveq1d 7161 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
1181subidd 10978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (1 − 1) = 0)
119118oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
1208mul02d 10831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
121119, 120eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = 0)
122121fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = (sin‘0))
123 sin0 15497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (sin‘0) = 0
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (sin‘0) = 0)
125122, 124eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = 0)
126117, 125oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
127100, 113, 1263eqtrd 2840 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
12893, 127oveq12d 7157 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
12973, 76, 1283eqtrd 2840 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
130129oveq2d 7155 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
13127fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
132131oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)))
133132oveq1d 7154 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
134133oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
135115, 1addcld 10653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
136135, 8mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
137136sincld 15478 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
138137, 14subcld 10990 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
139115, 8mulcld 10654 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ)
140139sincld 15478 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
141 0cnd 10627 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
142140, 141subcld 10990 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) ∈ ℂ)
14314, 138, 142addassd 10656 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
144143eqcomd 2807 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
14514, 137pncan3d 10993 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
146140subid1d 10979 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
147145, 146oveq12d 7157 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))))
148137, 140addcomd 10835 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
149147, 148eqtrd 2836 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
150134, 144, 1493eqtrd 2840 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
151130, 150eqtrd 2836 . . . . . . 7 (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
152151oveq2d 7155 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
153152oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
15417, 69, 1533eqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
155 halfre 11843 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 2) ∈ ℝ
156155a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
157114, 156readdcld 10663 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
158157, 7remulcld 10664 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℝ)
159158recnd 10662 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ)
1602, 8mulcld 10654 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ)
161 sinmulcos 42494 . . . . . . . 8 ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
162159, 160, 161syl2anc 587 . . . . . . 7 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
163115, 2, 8adddird 10659 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
164163oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)))
165139, 160, 160addassd 10656 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
1662, 2, 8adddird 10659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
16712halvesd 11875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
168167oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
169166, 168eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (1 · 𝐴))
170169oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
171115, 1, 8adddird 10659 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
172170, 171eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 + 1) · 𝐴))
173164, 165, 1723eqtrrd 2841 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
174173fveq2d 6653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
175163oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)))
176139, 160pncand 10991 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
177175, 176eqtr2d 2837 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))
178177fveq2d 6653 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴))))
179174, 178oveq12d 7157 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))))
180179oveq1d 7154 . . . . . . 7 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
181162, 180eqtr4d 2839 . . . . . 6 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2))
182148oveq1d 7154 . . . . . 6 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2))
183140, 137addcld 10653 . . . . . . 7 (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
184183, 52, 59divrec2d 11413 . . . . . 6 (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
185181, 182, 1843eqtrrd 2841 . . . . 5 (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
186185oveq1d 7154 . . . 4 (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)))
1878, 52, 59divcan2d 11411 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
188187eqcomd 2807 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 = (2 · (𝐴 / 2)))
189188fveq2d 6653 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘𝐴) = (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
1908halfcld 11874 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
191 sin2t 15525 . . . . . . . 8 ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
192190, 191syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
193189, 192eqtrd 2836 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
194193oveq2d 7155 . . . . 5 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
195190sincld 15478 . . . . . . . 8 (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
196190coscld 15479 . . . . . . . 8 (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
19752, 195, 196mulassd 10657 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
1988, 52, 59divrec2d 11413 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((1 / 2) · 𝐴))
199198fveq2d 6653 . . . . . . . 8 (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) = (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))
200199oveq2d 7155 . . . . . . 7 (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
201197, 200eqtr3d 2838 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
202201oveq2d 7155 . . . . 5 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))))
203159sincld 15478 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) ∈ ℂ)
20452, 195mulcld 10654 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
205160coscld 15479 . . . . . 6 (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
206195, 196mulcld 10654 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
207193, 15eqnetrrd 3058 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) ≠ 0)
20852, 206, 207mulne0bbd 11289 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
209195, 196, 208mulne0bad 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
21052, 195, 59, 209mulne0d 11285 . . . . . 6 (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
211195, 196, 208mulne0bbd 11289 . . . . . . 7 (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
212199, 211eqnetrrd 3058 . . . . . 6 (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ≠ 0)
213203, 204, 205, 210, 212divcan5rd 11436 . . . . 5 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
214194, 202, 2133eqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
215154, 186, 2143eqtrd 2840 . . 3 (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
216215oveq1d 7154 . 2 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π))
217 picn 25055 . . . 4 π ∈ ℂ
218217a1i 11 . . 3 (𝜑 → π ∈ ℂ)
219 pire 25054 . . . . 5 π ∈ ℝ
220 pipos 25056 . . . . 5 0 < π
221219, 220gt0ne0ii 11169 . . . 4 π ≠ 0
222221a1i 11 . . 3 (𝜑 → π ≠ 0)
223203, 204, 218, 210, 222divdiv32d 11434 . 2 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224203, 218, 204, 222, 210divdiv1d 11440 . . 3 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))))
225218, 52, 195mulassd 10657 . . . . 5 (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
226218, 52mulcomd 10655 . . . . . 6 (𝜑 → (π · 2) = (2 · π))
227226oveq1d 7154 . . . . 5 (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
228225, 227eqtr3d 2838 . . . 4 (𝜑 → (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
229228oveq2d 7155 . . 3 (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
230224, 229eqtrd 2836 . 2 (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
231216, 223, 2303eqtrd 2840 1 (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  cmin 10863  -cneg 10864   / cdiv 11290  cn 11629  2c2 11684  cuz 12235  ...cfz 12889  Σcsu 15037  sincsin 15412  cosccos 15413  πcpi 15415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419  df-pi 15421  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18220  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-psmet 20086  df-xmet 20087  df-met 20088  df-bl 20089  df-mopn 20090  df-fbas 20091  df-fg 20092  df-cnfld 20095  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24472  df-dv 24473
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