Theorem dirkertrigeqlem2 46081

Description: Trigonomic equality lemma for the Dirichlet Kernel trigonomic equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkertrigeqlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dirkertrigeqlem2.sinne0	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
dirkertrigeqlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem2	⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dirkertrigeqlem2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2	1	halfcld 12387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
3		fzfid 13898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		elfzelz 13445	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
6	5	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7		dirkertrigeqlem2.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11162	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	coscld 16058	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	3, 11	fsumcl 15658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	2, 12	addcld 11153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
14	8	sincld 16057	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		dirkertrigeqlem2.sinne0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
16	13, 14, 15	divcan4d 11924	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))))
17	16	eqcomd 2735	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)))
18	3, 14, 11	fsummulc1 15710	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)))
19	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
20	11, 19	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))))
21		sinmulcos 45847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
22	9, 10, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
23		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
24	6, 23, 9	adddird 11159	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 + 1) · 𝐴) = ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
25	23, 9	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
26	10, 25	addcomd 11336	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
27	8	mullidd 11152	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
28	27	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
29	28	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
30	24, 26, 29	3eqtrrd 2769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑛 + 1) · 𝐴))
31	30	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
32	10, 9	negsubdi2d 11509	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))
33	32	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)) = -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))
34	33	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
35	10, 9	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ)
36		sinneg 16073	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
38	34, 37	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
39	31, 38	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
40	9, 10	addcld 11153	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
41	40	sincld 16057	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
42	31, 41	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
43	35	sincld 16057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) ∈ ℂ)
44	42, 43	negsubd 11499	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
45	6, 9	mulsubfacd 11599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝑛 − 1) · 𝐴))
46	45	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
47	46	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
48	39, 44, 47	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
49	48	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
50	20, 22, 49	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
51	50	sumeq2dv 15627	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
52		2cnd 12224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		peano2cnm 11448	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
54	6, 53	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
55	54, 9	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
56	55	sincld 16057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
57	42, 56	subcld 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
58		2ne0 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
60	3, 52, 57, 59	fsumdivc 15711	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
61	3, 57	fsumcl 15658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
62	61, 52, 59	divrec2d 11922	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
63	60, 62	eqtr3d 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
64	18, 51, 63	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
65	64	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
66	2, 12, 14	adddird 11159	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
67	2, 14, 61	adddid 11158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
68	65, 66, 67	3eqtr4d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
69	68	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)))
70	10	sincld 16057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71	42, 70, 56	npncand 11517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
72	71	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
73	72	sumeq2dv 15627	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
74	42, 70	subcld 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
75	70, 56	subcld 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
76	3, 74, 75	fsumadd 15665	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
77		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(𝑛 · 𝐴)))
78		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
79		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 1 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(1 · 𝐴)))
80		fvoveq1 7376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
81		dirkertrigeqlem2.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
82	81	nnzd 12516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
83		nnuz 12796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
84	81, 83	eleqtrdi 2838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
85		peano2uz 12820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
87		elfzelz 13445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
88	87	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
89	88	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
90	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
91	89, 90	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 · 𝐴) ∈ ℂ)
92	91	sincld 16057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) ∈ ℂ)
93	77, 78, 79, 80, 82, 86, 92	telfsum2 15730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))))
94		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
95	5, 94	pncand 11494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
96	95	eqcomd 2735	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
97	96	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
98	97	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
99	98	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
100	99	sumeq2dv 15627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
101		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 − 1) = (𝑛 − 1))
102	101	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
103		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
104	103	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
105		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
106	105	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 1 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((1 − 1) · 𝐴)))
107		oveq1 7360	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
108	107	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)))
109		1cnd 11129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
110	89, 109	subcld 11493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
111	110, 90	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
112	111	sincld 16057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
113	102, 104, 106, 108, 82, 86, 112	telfsum2 15730	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))))
114	81	nnred 12161	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
115	114	recnd 11162	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
116	115, 1	pncand 11494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
117	116	fvoveq1d 7375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
118	1	subidd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
119	118	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
120	8	mul02d 11332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
121	119, 120	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = 0)
122	121	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = (sin‘0))
123		sin0 16076	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘0) = 0
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘0) = 0)
125	122, 124	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = 0)
126	117, 125	oveq12d 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
127	100, 113, 126	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
128	93, 127	oveq12d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
129	73, 76, 128	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
130	129	oveq2d 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
131	27	fveq2d 6830	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
132	131	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)))
133	132	oveq1d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
134	133	oveq2d 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
135	115, 1	addcld 11153	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
136	135, 8	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
137	136	sincld 16057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
138	137, 14	subcld 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
139	115, 8	mulcld 11154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ)
140	139	sincld 16057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
141		0cnd 11127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
142	140, 141	subcld 11493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) ∈ ℂ)
143	14, 138, 142	addassd 11156	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
144	143	eqcomd 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
145	14, 137	pncan3d 11496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
146	140	subid1d 11482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
147	145, 146	oveq12d 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))))
148	137, 140	addcomd 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
149	147, 148	eqtrd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
150	134, 144, 149	3eqtrd 2768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
151	130, 150	eqtrd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
152	151	oveq2d 7369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
153	152	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
154	17, 69, 153	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
155		halfre 12355	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
157	114, 156	readdcld 11163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
158	157, 7	remulcld 11164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℝ)
159	158	recnd 11162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ)
160	2, 8	mulcld 11154	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ)
161		sinmulcos 45847	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
162	159, 160, 161	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
163	115, 2, 8	adddird 11159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
164	163	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)))
165	139, 160, 160	addassd 11156	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
166	2, 2, 8	adddird 11159	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
167	1	2halvesd 12388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
168	167	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
169	166, 168	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (1 · 𝐴))
170	169	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
171	115, 1, 8	adddird 11159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
172	170, 171	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 + 1) · 𝐴))
173	164, 165, 172	3eqtrrd 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
174	173	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
175	163	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)))
176	139, 160	pncand 11494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
177	175, 176	eqtr2d 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))
178	177	fveq2d 6830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴))))
179	174, 178	oveq12d 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))))
180	179	oveq1d 7368	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
181	162, 180	eqtr4d 2767	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2))
182	148	oveq1d 7368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2))
183	140, 137	addcld 11153	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
184	183, 52, 59	divrec2d 11922	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
185	181, 182, 184	3eqtrrd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
186	185	oveq1d 7368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)))
187	8, 52, 59	divcan2d 11920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
188	187	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (2 · (𝐴 / 2)))
189	188	fveq2d 6830	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
190	8	halfcld 12387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
191		sin2t 16104	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
192	190, 191	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
193	189, 192	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
194	193	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
195	190	sincld 16057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
196	190	coscld 16058	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
197	52, 195, 196	mulassd 11157	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
198	8, 52, 59	divrec2d 11922	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((1 / 2) · 𝐴))
199	198	fveq2d 6830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) = (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))
200	199	oveq2d 7369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
201	197, 200	eqtr3d 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
202	201	oveq2d 7369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))))
203	159	sincld 16057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) ∈ ℂ)
204	52, 195	mulcld 11154	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
205	160	coscld 16058	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
206	195, 196	mulcld 11154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
207	193, 15	eqnetrrd 2993	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) ≠ 0)
208	52, 206, 207	mulne0bbd 11794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
209	195, 196, 208	mulne0bad 11793	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
210	52, 195, 59, 209	mulne0d 11790	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
211	195, 196, 208	mulne0bbd 11794	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
212	199, 211	eqnetrrd 2993	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ≠ 0)
213	203, 204, 205, 210, 212	divcan5rd 11945	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
214	194, 202, 213	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
215	154, 186, 214	3eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
216	215	oveq1d 7368	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π))
217		picn 26383	. . . 4 ⊢ π ∈ ℂ
218	217	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
219		pire 26382	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
220		pipos 26384	. . . . 5 ⊢ 0 < π
221	219, 220	gt0ne0ii 11674	. . . 4 ⊢ π ≠ 0
222	221	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
223	203, 204, 218, 210, 222	divdiv32d 11943	. 2 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224	203, 218, 204, 222, 210	divdiv1d 11949	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))))
225	218, 52, 195	mulassd 11157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
226	218, 52	mulcomd 11155	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (π · 2) = (2 · π))
227	226	oveq1d 7368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
228	225, 227	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
229	228	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
230	224, 229	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
231	216, 223, 230	3eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11365  -cneg 11366   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428  Σcsu 15611  sincsin 15988  cosccos 15989  πcpi 15991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784

This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  46083