Theorem dirkertrigeqlem2 46672

Description: Trigonometric equality lemma for the Dirichlet kernel trigonometric equality. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
dirkertrigeqlem2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
dirkertrigeqlem2.sinne0	⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
dirkertrigeqlem2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dirkertrigeqlem2	⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝑛,𝑁   𝜑,𝑛

Proof of Theorem dirkertrigeqlem2

Dummy variable 𝑗 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1cnd 11190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
2	1	halfcld 12477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℂ)
3		fzfid 13997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) ∈ Fin)
4		elfzelz 13540	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12689	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 ∈ ℂ)
6	5	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 ∈ ℂ)
7		dirkertrigeqlem2.a	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	8	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
10	6, 9	mulcld 11217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ)
11	10	coscld 16175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
12	3, 11	fsumcl 15772	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
13	2, 12	addcld 11216	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
14	8	sincld 16174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
15		dirkertrigeqlem2.sinne0	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) ≠ 0)
16	13, 14, 15	divcan4d 11985	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))))
17	16	eqcomd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)))
18	3, 14, 11	fsummulc1 15824	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)))
19	14	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘𝐴) ∈ ℂ)
20	11, 19	mulcomd 11218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))))
21		sinmulcos 46438	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑛 · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
22	9, 10, 21	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘𝐴) · (cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2))
23		1cnd 11190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 1 ∈ ℂ)
24	6, 23, 9	adddird 11222	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 + 1) · 𝐴) = ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
25	23, 9	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (1 · 𝐴) ∈ ℂ)
26	10, 25	addcomd 11400	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) + (1 · 𝐴)) = ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
27	8	mullidd 11215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
28	27	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
29	28	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((1 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)) = (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)))
30	24, 26, 29	3eqtrrd 2805	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) = ((𝑛 + 1) · 𝐴))
31	30	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
32	10, 9	negsubdi2d 11573	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))
33	32	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 − (𝑛 · 𝐴)) = -((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))
34	33	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
35	10, 9	subcld 11557	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ)
36		sinneg 16190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) ∈ ℂ → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘-((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
38	34, 37	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴))) = -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)))
39	31, 38	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
40	9, 10	addcld 11216	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝐴 + (𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
41	40	sincld 16174	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
42	31, 41	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
43	35	sincld 16174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) ∈ ℂ)
44	42, 43	negsubd 11563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) + -(sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))))
45	6, 9	mulsubfacd 11663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 · 𝐴) − 𝐴) = ((𝑛 − 1) · 𝐴))
46	45	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
47	46	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 · 𝐴) − 𝐴))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
48	39, 44, 47	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
49	48	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘(𝐴 + (𝑛 · 𝐴))) + (sin‘(𝐴 − (𝑛 · 𝐴)))) / 2) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
50	20, 22, 49	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
51	50	sumeq2dv 15741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
52		2cnd 12307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℂ)
53		peano2cnm 11512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 ∈ ℂ → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
54	6, 53	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑛 − 1) ∈ ℂ)
55	54, 9	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑛 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
56	55	sincld 16174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
57	42, 56	subcld 11557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
58		2ne0 12335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
59	58	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 2 ≠ 0)
60	3, 52, 57, 59	fsumdivc 15825	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2))
61	3, 57	fsumcl 15772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
62	61, 52, 59	divrec2d 11983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
63	60, 62	eqtr3d 2802	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
64	18, 51, 63	3eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
65	64	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
66	2, 12, 14	adddird 11222	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴)) · (sin‘𝐴))))
67	2, 14, 61	adddid 11221	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = (((1 / 2) · (sin‘𝐴)) + ((1 / 2) · Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
68	65, 66, 67	3eqtr4d 2810	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) = ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))))
69	68	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) · (sin‘𝐴)) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)))
70	10	sincld 16174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) ∈ ℂ)
71	42, 70, 56	npncand 11581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
72	71	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
73	72	sumeq2dv 15741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
74	42, 70	subcld 11557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) ∈ ℂ)
75	70, 56	subcld 11557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
76	3, 74, 75	fsumadd 15779	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))))
77		fvoveq1 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(𝑛 · 𝐴)))
78		fvoveq1 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)))
79		fvoveq1 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 1 → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘(1 · 𝐴)))
80		fvoveq1 7423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
81		dirkertrigeqlem2.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
82	81	nnzd 12605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
83		nnuz 12889	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
84	81, 83	eleqtrdi 2875	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘1))
85		peano2uz 12913	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
86	84, 85	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘1))
87		elfzelz 13540	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℤ)
88	87	zcnd 12689	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑗 ∈ ℂ)
89	88	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ ℂ)
90	8	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝐴 ∈ ℂ)
91	89, 90	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 · 𝐴) ∈ ℂ)
92	91	sincld 16174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘(𝑗 · 𝐴)) ∈ ℂ)
93	77, 78, 79, 80, 82, 86, 92	telfsum2 15845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))))
94		1cnd 11190	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 1 ∈ ℂ)
95	5, 94	pncand 11558	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → ((𝑛 + 1) − 1) = 𝑛)
96	95	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑛 ∈ (1...𝑁) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
97	96	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑛 = ((𝑛 + 1) − 1))
98	97	fvoveq1d 7422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (sin‘(𝑛 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
99	98	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
100	99	sumeq2dv 15741	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))
101		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (𝑗 − 1) = (𝑛 − 1))
102	101	fvoveq1d 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑛 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))
103		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑛 + 1) − 1))
104	103	fvoveq1d 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑛 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)))
105		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 1 → (𝑗 − 1) = (1 − 1))
106	105	fvoveq1d 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 1 → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘((1 − 1) · 𝐴)))
107		oveq1 7407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (𝑗 − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
108	107	fvoveq1d 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = (𝑁 + 1) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)))
109		1cnd 11190	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 1 ∈ ℂ)
110	89, 109	subcld 11557	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (𝑗 − 1) ∈ ℂ)
111	110, 90	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → ((𝑗 − 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
112	111	sincld 16174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (sin‘((𝑗 − 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
113	102, 104, 106, 108, 82, 86, 112	telfsum2 15845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(((𝑛 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))))
114	81	nnred 12236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
115	114	recnd 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
116	115, 1	pncand 11558	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
117	116	fvoveq1d 7422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
118	1	subidd 11545	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (1 − 1) = 0)
119	118	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
120	8	mul02d 11396	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (0 · 𝐴) = 0)
121	119, 120	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 − 1) · 𝐴) = 0)
122	121	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = (sin‘0))
123		sin0 16193	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (sin‘0) = 0
124	123	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (sin‘0) = 0)
125	122, 124	eqtrd 2800	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (sin‘((1 − 1) · 𝐴)) = 0)
126	117, 125	oveq12d 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(((𝑁 + 1) − 1) · 𝐴)) − (sin‘((1 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
127	100, 113, 126	3eqtrd 2804	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))
128	93, 127	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(𝑛 · 𝐴))) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘(𝑛 · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
129	73, 76, 128	3eqtrd 2804	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
130	129	oveq2d 7416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
131	27	fveq2d 6875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(1 · 𝐴)) = (sin‘𝐴))
132	131	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)))
133	132	oveq1d 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
134	133	oveq2d 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
135	115, 1	addcld 11216	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
136	135, 8	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) ∈ ℂ)
137	136	sincld 16174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) ∈ ℂ)
138	137, 14	subcld 11557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) ∈ ℂ)
139	115, 8	mulcld 11217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) ∈ ℂ)
140	139	sincld 16174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
141		0cnd 11187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
142	140, 141	subcld 11557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) ∈ ℂ)
143	14, 138, 142	addassd 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))))
144	143	eqcomd 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴)) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)))
145	14, 137	pncan3d 11560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) = (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))
146	140	subid1d 11546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0) = (sin‘(𝑁 · 𝐴)))
147	145, 146	oveq12d 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))))
148	137, 140	addcomd 11400	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
149	147, 148	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((sin‘𝐴) + ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0)) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
150	134, 144, 149	3eqtrd 2804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) − (sin‘(1 · 𝐴))) + ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) − 0))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
151	130, 150	eqtrd 2800	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴)))) = ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))))
152	151	oveq2d 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
153	152	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘𝐴) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)((sin‘((𝑛 + 1) · 𝐴)) − (sin‘((𝑛 − 1) · 𝐴))))) / (sin‘𝐴)) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
154	17, 69, 153	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)))
155		halfre 12445	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
156	155	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 / 2) ∈ ℝ)
157	114, 156	readdcld 11226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
158	157, 7	remulcld 11227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℝ)
159	158	recnd 11225	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ)
160	2, 8	mulcld 11217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ)
161		sinmulcos 46438	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) ∈ ℂ ∧ ((1 / 2) · 𝐴) ∈ ℂ) → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
162	159, 160, 161	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
163	115, 2, 8	adddird 11222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
164	163	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)))
165	139, 160, 160	addassd 11219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) + ((1 / 2) · 𝐴)) = ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
166	2, 2, 8	adddird 11222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
167	1	2halvesd 12478	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + (1 / 2)) = 1)
168	167	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + (1 / 2)) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
169	166, 168	eqtr3d 2802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) = (1 · 𝐴))
170	169	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
171	115, 1, 8	adddird 11222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = ((𝑁 · 𝐴) + (1 · 𝐴)))
172	170, 171	eqtr4d 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 · 𝐴) + (((1 / 2) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) = ((𝑁 + 1) · 𝐴))
173	164, 165, 172	3eqtrrd 2805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 1) · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)))
174	173	fveq2d 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))))
175	163	oveq1d 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)))
176	139, 160	pncand 11558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴)) − ((1 / 2) · 𝐴)) = (𝑁 · 𝐴))
177	175, 176	eqtr2d 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑁 · 𝐴) = (((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))
178	177	fveq2d 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝑁 · 𝐴)) = (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴))))
179	174, 178	oveq12d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) = ((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))))
180	179	oveq1d 7415	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) + ((1 / 2) · 𝐴))) + (sin‘(((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴) − ((1 / 2) · 𝐴)))) / 2))
181	162, 180	eqtr4d 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) = (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2))
182	148	oveq1d 7415	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)) + (sin‘(𝑁 · 𝐴))) / 2) = (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2))
183	140, 137	addcld 11216	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) ∈ ℂ)
184	183, 52, 59	divrec2d 11983	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴))) / 2) = ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))))
185	181, 182, 184	3eqtrrd 2805	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
186	185	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) · ((sin‘(𝑁 · 𝐴)) + (sin‘((𝑁 + 1) · 𝐴)))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)))
187	8, 52, 59	divcan2d 11981	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · (𝐴 / 2)) = 𝐴)
188	187	eqcomd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (2 · (𝐴 / 2)))
189	188	fveq2d 6875	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = (sin‘(2 · (𝐴 / 2))))
190	8	halfcld 12477	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
191		sin2t 16221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 / 2) ∈ ℂ → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
192	190, 191	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(2 · (𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
193	189, 192	eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘𝐴) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
194	193	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))))
195	190	sincld 16174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
196	190	coscld 16175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ∈ ℂ)
197	52, 195, 196	mulassd 11220	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))))
198	8, 52, 59	divrec2d 11983	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 2) = ((1 / 2) · 𝐴))
199	198	fveq2d 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) = (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))
200	199	oveq2d 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘(𝐴 / 2))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
201	197, 200	eqtr3d 2802	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))))
202	201	oveq2d 7416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))))) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))))
203	159	sincld 16174	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) ∈ ℂ)
204	52, 195	mulcld 11217	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
205	160	coscld 16175	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ∈ ℂ)
206	195, 196	mulcld 11217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ∈ ℂ)
207	193, 15	eqnetrrd 3028	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (2 · ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2)))) ≠ 0)
208	52, 206, 207	mulne0bbd 11858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((sin‘(𝐴 / 2)) · (cos‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
209	195, 196, 208	mulne0bad 11857	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (sin‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
210	52, 195, 59, 209	mulne0d 11854	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (2 · (sin‘(𝐴 / 2))) ≠ 0)
211	195, 196, 208	mulne0bbd 11858	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (cos‘(𝐴 / 2)) ≠ 0)
212	199, 211	eqnetrrd 3028	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (cos‘((1 / 2) · 𝐴)) ≠ 0)
213	203, 204, 205, 210, 212	divcan5rd 12006	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / ((2 · (sin‘(𝐴 / 2))) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
214	194, 202, 213	3eqtrd 2804	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) · (cos‘((1 / 2) · 𝐴))) / (sin‘𝐴)) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
215	154, 186, 214	3eqtrd 2804	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
216	215	oveq1d 7415	. 2 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π))
217		picn 26575	. . . 4 ⊢ π ∈ ℂ
218	217	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ∈ ℂ)
219		pire 26573	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ
220		pipos 26577	. . . . 5 ⊢ 0 < π
221	219, 220	gt0ne0ii 11738	. . . 4 ⊢ π ≠ 0
222	221	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → π ≠ 0)
223	203, 204, 218, 210, 222	divdiv32d 12004	. 2 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) / π) = (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
224	203, 218, 204, 222, 210	divdiv1d 12010	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))))
225	218, 52, 195	mulassd 11220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))))
226	218, 52	mulcomd 11218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (π · 2) = (2 · π))
227	226	oveq1d 7415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((π · 2) · (sin‘(𝐴 / 2))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
228	225, 227	eqtr3d 2802	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2))))
229	228	oveq2d 7416	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / (π · (2 · (sin‘(𝐴 / 2))))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
230	224, 229	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / π) / (2 · (sin‘(𝐴 / 2)))) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))
231	216, 223, 230	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (((1 / 2) + Σ𝑛 ∈ (1...𝑁)(cos‘(𝑛 · 𝐴))) / π) = ((sin‘((𝑁 + (1 / 2)) · 𝐴)) / ((2 · π) · (sin‘(𝐴 / 2)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  -cneg 11430   / cdiv 11859  ℕcn 12221  2c2 12283  ℤ_≥cuz 12850  ...cfz 13523  Σcsu 15725  sincsin 16105  cosccos 16106  πcpi 16108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13364  df-ioc 13365  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-shft 15092  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15510  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726  df-ef 16109  df-sin 16111  df-cos 16112  df-pi 16114  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17544  df-qtop 17549  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-fbas 21476  df-fg 21477  df-cnfld 21480  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-cld 23133  df-ntr 23134  df-cls 23135  df-nei 23212  df-lp 23250  df-perf 23251  df-cn 23341  df-cnp 23342  df-haus 23429  df-tx 23676  df-hmeo 23869  df-fil 23960  df-fm 24052  df-flim 24053  df-flf 24054  df-xms 24434  df-ms 24435  df-tms 24436  df-cncf 24994  df-limc 25982  df-dv 25983

This theorem is referenced by:  dirkertrigeq  46674