Theorem numclwwlk3lem1 28437

Description: Lemma 2 for numclwwlk3 28440. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk3lem1	⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

Proof of Theorem numclwwlk3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uznn0sub 12456	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
2		expcl 13636	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
3	1, 2	sylan2 596	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
4	3	3adant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
5		simp2 1139	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑌 ∈ ℂ)
6		mulcl 10796	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℂ)
7	6	3adant3 1134	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	subadd23d 11194	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) + ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌)))
9	7, 5	subcld 11172	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) ∈ ℂ)
10	4, 9	addcomd 11017	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾↑(𝑁 − 2)) + ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌)) = (((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
11		simp1 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐾 ∈ ℂ)
12	11, 5	mulsubfacd 11276	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) = ((𝐾 − 1) · 𝑌))
13	12	oveq1d 7217	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
14	8, 10, 13	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  1c1 10713   + caddc 10715   · cmul 10717   − cmin 11045  2c2 11868  ℕ₀cn0 12073  ℤ_≥cuz 12421  ↑cexp 13618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-cnex 10768  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-tp 4536  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-tr 5151  df-id 5444  df-eprel 5449  df-po 5457  df-so 5458  df-fr 5498  df-we 5500  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-pred 6149  df-ord 6205  df-on 6206  df-lim 6207  df-suc 6208  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-om 7634  df-2nd 7751  df-wrecs 8036  df-recs 8097  df-rdg 8135  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-nn 11814  df-n0 12074  df-z 12160  df-uz 12422  df-seq 13558  df-exp 13619

This theorem is referenced by:  numclwwlk3  28440