Theorem numclwwlk3lem1 30670

Description: Lemma 2 for numclwwlk3 30673. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk3lem1	⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

Proof of Theorem numclwwlk3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uznn0sub 12893	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
2		expcl 14111	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
3	1, 2	sylan2 604	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
4	3	3adant2 1147	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
5		simp2 1153	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑌 ∈ ℂ)
6		mulcl 11180	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℂ)
7	6	3adant3 1148	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	subadd23d 11587	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) + ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌)))
9	7, 5	subcld 11565	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) ∈ ℂ)
10	4, 9	addcomd 11408	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾↑(𝑁 − 2)) + ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌)) = (((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
11		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐾 ∈ ℂ)
12	11, 5	mulsubfacd 11671	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) = ((𝐾 − 1) · 𝑌))
13	12	oveq1d 7423	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
14	8, 10, 13	3eqtrd 2808	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℂcc 11094  1c1 11097   + caddc 11099   · cmul 11101   − cmin 11437  2c2 12291  ℕ₀cn0 12500  ℤ_≥cuz 12858  ↑cexp 14093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-seq 14034  df-exp 14094

This theorem is referenced by:  numclwwlk3  30673