Theorem numclwwlk3lem1 30360

Description: Lemma 2 for numclwwlk3 30363. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk3lem1	⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

Proof of Theorem numclwwlk3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uznn0sub 12771	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
2		expcl 13986	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
3	1, 2	sylan2 593	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
4	3	3adant2 1131	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
5		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑌 ∈ ℂ)
6		mulcl 11090	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℂ)
7	6	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	subadd23d 11494	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) + ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌)))
9	7, 5	subcld 11472	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) ∈ ℂ)
10	4, 9	addcomd 11315	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾↑(𝑁 − 2)) + ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌)) = (((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
11		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐾 ∈ ℂ)
12	11, 5	mulsubfacd 11578	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) = ((𝐾 − 1) · 𝑌))
13	12	oveq1d 7361	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
14	8, 10, 13	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  2c2 12180  ℕ₀cn0 12381  ℤ_≥cuz 12732  ↑cexp 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-seq 13909  df-exp 13969

This theorem is referenced by:  numclwwlk3  30363