![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > numclwwlk3lem1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma 2 for numclwwlk3 29371. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jan-2022.) |
Ref | Expression |
---|---|
numclwwlk3lem1 | โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ (((๐พโ(๐ โ 2)) โ ๐) + (๐พ ยท ๐)) = (((๐พ โ 1) ยท ๐) + (๐พโ(๐ โ 2)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | uznn0sub 12809 | . . . . 5 โข (๐ โ (โคโฅโ2) โ (๐ โ 2) โ โ0) | |
2 | expcl 13992 | . . . . 5 โข ((๐พ โ โ โง (๐ โ 2) โ โ0) โ (๐พโ(๐ โ 2)) โ โ) | |
3 | 1, 2 | sylan2 594 | . . . 4 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ (๐พโ(๐ โ 2)) โ โ) |
4 | 3 | 3adant2 1132 | . . 3 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ (๐พโ(๐ โ 2)) โ โ) |
5 | simp2 1138 | . . 3 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ ๐ โ โ) | |
6 | mulcl 11142 | . . . 4 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ) โ (๐พ ยท ๐) โ โ) | |
7 | 6 | 3adant3 1133 | . . 3 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ (๐พ ยท ๐) โ โ) |
8 | 4, 5, 7 | subadd23d 11541 | . 2 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ (((๐พโ(๐ โ 2)) โ ๐) + (๐พ ยท ๐)) = ((๐พโ(๐ โ 2)) + ((๐พ ยท ๐) โ ๐))) |
9 | 7, 5 | subcld 11519 | . . 3 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ ((๐พ ยท ๐) โ ๐) โ โ) |
10 | 4, 9 | addcomd 11364 | . 2 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ ((๐พโ(๐ โ 2)) + ((๐พ ยท ๐) โ ๐)) = (((๐พ ยท ๐) โ ๐) + (๐พโ(๐ โ 2)))) |
11 | simp1 1137 | . . . 4 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ ๐พ โ โ) | |
12 | 11, 5 | mulsubfacd 11623 | . . 3 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ ((๐พ ยท ๐) โ ๐) = ((๐พ โ 1) ยท ๐)) |
13 | 12 | oveq1d 7377 | . 2 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ (((๐พ ยท ๐) โ ๐) + (๐พโ(๐ โ 2))) = (((๐พ โ 1) ยท ๐) + (๐พโ(๐ โ 2)))) |
14 | 8, 10, 13 | 3eqtrd 2781 | 1 โข ((๐พ โ โ โง ๐ โ โ โง ๐ โ (โคโฅโ2)) โ (((๐พโ(๐ โ 2)) โ ๐) + (๐พ ยท ๐)) = (((๐พ โ 1) ยท ๐) + (๐พโ(๐ โ 2)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง w3a 1088 = wceq 1542 โ wcel 2107 โcfv 6501 (class class class)co 7362 โcc 11056 1c1 11059 + caddc 11061 ยท cmul 11063 โ cmin 11392 2c2 12215 โ0cn0 12420 โคโฅcuz 12770 โcexp 13974 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-cnex 11114 ax-resscn 11115 ax-1cn 11116 ax-icn 11117 ax-addcl 11118 ax-addrcl 11119 ax-mulcl 11120 ax-mulrcl 11121 ax-mulcom 11122 ax-addass 11123 ax-mulass 11124 ax-distr 11125 ax-i2m1 11126 ax-1ne0 11127 ax-1rid 11128 ax-rnegex 11129 ax-rrecex 11130 ax-cnre 11131 ax-pre-lttri 11132 ax-pre-lttrn 11133 ax-pre-ltadd 11134 ax-pre-mulgt0 11135 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-riota 7318 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-er 8655 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-pnf 11198 df-mnf 11199 df-xr 11200 df-ltxr 11201 df-le 11202 df-sub 11394 df-neg 11395 df-nn 12161 df-n0 12421 df-z 12507 df-uz 12771 df-seq 13914 df-exp 13975 |
This theorem is referenced by: numclwwlk3 29371 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |