Theorem numclwwlk3lem1 30780

Description: Lemma 2 for numclwwlk3 30783. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Proof shortened by AV, 23-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
numclwwlk3lem1	⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

Proof of Theorem numclwwlk3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uznn0sub 12909	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ0)
2		expcl 14129	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ0) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
3	1, 2	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
4	3	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾↑(𝑁 − 2)) ∈ ℂ)
5		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑌 ∈ ℂ)
6		mulcl 11195	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℂ)
7	6	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐾 · 𝑌) ∈ ℂ)
8	4, 5, 7	subadd23d 11602	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) + ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌)))
9	7, 5	subcld 11580	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) ∈ ℂ)
10	4, 9	addcomd 11423	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾↑(𝑁 − 2)) + ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌)) = (((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
11		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐾 ∈ ℂ)
12	11, 5	mulsubfacd 11686	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) = ((𝐾 − 1) · 𝑌))
13	12	oveq1d 7431	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾 · 𝑌) − 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
14	8, 10, 13	3eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑌 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − 𝑌) + (𝐾 · 𝑌)) = (((𝐾 − 1) · 𝑌) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116   − cmin 11452  2c2 12306  ℕ₀cn0 12515  ℤ_≥cuz 12874  ↑cexp 14111

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-seq 14052  df-exp 14112

This theorem is used by:  numclwwlk3  30783