MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subhalfhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subhalfhalf 12450
Description: Subtracting the half of a number from the number yields the half of the number. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
subhalfhalf (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด / 2)) = (๐ด / 2))

Proof of Theorem subhalfhalf
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 2cnd 12294 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
3 2ne0 12320 . . . . . 6 2 โ‰  0
43a1i 11 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โ‰  0)
51, 2, 4divcan1d 11995 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด / 2) ยท 2) = ๐ด)
65eqcomd 2732 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((๐ด / 2) ยท 2))
76oveq1d 7420 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด / 2)) = (((๐ด / 2) ยท 2) โˆ’ (๐ด / 2)))
8 halfcl 12441 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด / 2) โˆˆ โ„‚)
98, 2mulcomd 11239 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ด / 2) ยท 2) = (2 ยท (๐ด / 2)))
109oveq1d 7420 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (((๐ด / 2) ยท 2) โˆ’ (๐ด / 2)) = ((2 ยท (๐ด / 2)) โˆ’ (๐ด / 2)))
112, 8mulsubfacd 11679 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท (๐ด / 2)) โˆ’ (๐ด / 2)) = ((2 โˆ’ 1) ยท (๐ด / 2)))
12 2m1e1 12342 . . . . 5 (2 โˆ’ 1) = 1
1312a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 โˆ’ 1) = 1)
1413oveq1d 7420 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 โˆ’ 1) ยท (๐ด / 2)) = (1 ยท (๐ด / 2)))
158mullidd 11236 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท (๐ด / 2)) = (๐ด / 2))
1611, 14, 153eqtrd 2770 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((2 ยท (๐ด / 2)) โˆ’ (๐ด / 2)) = (๐ด / 2))
177, 10, 163eqtrd 2770 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆ’ (๐ด / 2)) = (๐ด / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279
This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  13807  gausslemma2dlem1a  27253
  Copyright terms: Public domain W3C validator