Theorem subhalfhalf 12581

Description: Subtracting the half of a number from the number yields the half of the number. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subhalfhalf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))

Proof of Theorem subhalfhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2cnd 12422	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
3		2ne0 12450	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
5	1, 2, 4	divcan1d 12095	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) · 2) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2766	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((𝐴 / 2) · 2))
7	6	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (((𝐴 / 2) · 2) − (𝐴 / 2)))
8		halfcl 12573	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
9	8, 2	mulcomd 11331	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) · 2) = (2 · (𝐴 / 2)))
10	9	oveq1d 7435	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) · 2) − (𝐴 / 2)) = ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)))
11	2, 8	mulsubfacd 11778	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)) = ((2 − 1) · (𝐴 / 2)))
12		2m1e1 12468	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
14	13	oveq1d 7435	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − 1) · (𝐴 / 2)) = (1 · (𝐴 / 2)))
15	8	mullidd 11328	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
16	11, 14, 15	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
17	7, 10, 16	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  (class class class)co 7420  ℂcc 11199  0cc0 11201  1c1 11202   · cmul 11206   − cmin 11542   / cdiv 11974  2c2 12398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406

This theorem is used by:  fldiv4lem1div2uz2  13977  gausslemma2dlem1a  27693