Theorem subhalfhalf 12047

Description: Subtracting the half of a number from the number yields the half of the number. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subhalfhalf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))

Proof of Theorem subhalfhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2cnd 11891	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
3		2ne0 11917	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
5	1, 2, 4	divcan1d 11592	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) · 2) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((𝐴 / 2) · 2))
7	6	oveq1d 7217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (((𝐴 / 2) · 2) − (𝐴 / 2)))
8		halfcl 12038	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
9	8, 2	mulcomd 10837	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) · 2) = (2 · (𝐴 / 2)))
10	9	oveq1d 7217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) · 2) − (𝐴 / 2)) = ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)))
11	2, 8	mulsubfacd 11276	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)) = ((2 − 1) · (𝐴 / 2)))
12		2m1e1 11939	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
14	13	oveq1d 7217	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − 1) · (𝐴 / 2)) = (1 · (𝐴 / 2)))
15	8	mulid2d 10834	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
16	11, 14, 15	3eqtrd 2778	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
17	7, 10, 16	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2935  (class class class)co 7202  ℂcc 10710  0cc0 10712  1c1 10713   · cmul 10717   − cmin 11045   / cdiv 11472  2c2 11868

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512  ax-resscn 10769  ax-1cn 10770  ax-icn 10771  ax-addcl 10772  ax-addrcl 10773  ax-mulcl 10774  ax-mulrcl 10775  ax-mulcom 10776  ax-addass 10777  ax-mulass 10778  ax-distr 10779  ax-i2m1 10780  ax-1ne0 10781  ax-1rid 10782  ax-rnegex 10783  ax-rrecex 10784  ax-cnre 10785  ax-pre-lttri 10786  ax-pre-lttrn 10787  ax-pre-ltadd 10788  ax-pre-mulgt0 10789

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-po 5457  df-so 5458  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-mpo 7207  df-er 8380  df-en 8616  df-dom 8617  df-sdom 8618  df-pnf 10852  df-mnf 10853  df-xr 10854  df-ltxr 10855  df-le 10856  df-sub 11047  df-neg 11048  df-div 11473  df-2 11876

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  13394  gausslemma2dlem1a  26218