MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  subhalfhalf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem subhalfhalf 11616
Description: Subtracting the half of a number from the number yields the half of the number. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
subhalfhalf (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))

Proof of Theorem subhalfhalf
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2 2cnd 11453 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
3 2ne0 11486 . . . . . 6 2 ≠ 0
43a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
51, 2, 4divcan1d 11152 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) · 2) = 𝐴)
65eqcomd 2783 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((𝐴 / 2) · 2))
76oveq1d 6937 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (((𝐴 / 2) · 2) − (𝐴 / 2)))
8 halfcl 11607 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
98, 2mulcomd 10398 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) · 2) = (2 · (𝐴 / 2)))
109oveq1d 6937 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) · 2) − (𝐴 / 2)) = ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)))
112, 8mulsubfacd 10836 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)) = ((2 − 1) · (𝐴 / 2)))
12 2m1e1 11508 . . . . 5 (2 − 1) = 1
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
1413oveq1d 6937 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − 1) · (𝐴 / 2)) = (1 · (𝐴 / 2)))
158mulid2d 10395 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
1611, 14, 153eqtrd 2817 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
177, 10, 163eqtrd 2817 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2106  wne 2968  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   · cmul 10277  cmin 10606   / cdiv 11032  2c2 11430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-2 11438
This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  12956  gausslemma2dlem1a  25542
  Copyright terms: Public domain W3C validator