Theorem subhalfhalf 12411

Description: Subtracting the half of a number from the number yields the half of the number. (Contributed by AV, 28-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
subhalfhalf	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))

Proof of Theorem subhalfhalf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 ∈ ℂ)
2		2cnd 12259	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
3		2ne0 12285	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
5	1, 2, 4	divcan1d 11932	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) · 2) = 𝐴)
6	5	eqcomd 2743	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((𝐴 / 2) · 2))
7	6	oveq1d 7382	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (((𝐴 / 2) · 2) − (𝐴 / 2)))
8		halfcl 12403	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 2) ∈ ℂ)
9	8, 2	mulcomd 11166	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴 / 2) · 2) = (2 · (𝐴 / 2)))
10	9	oveq1d 7382	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((𝐴 / 2) · 2) − (𝐴 / 2)) = ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)))
11	2, 8	mulsubfacd 11611	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)) = ((2 − 1) · (𝐴 / 2)))
12		2m1e1 12302	. . . . 5 ⊢ (2 − 1) = 1
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 − 1) = 1)
14	13	oveq1d 7382	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 − 1) · (𝐴 / 2)) = (1 · (𝐴 / 2)))
15	8	mullidd 11163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
16	11, 14, 15	3eqtrd 2776	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (𝐴 / 2)) − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))
17	7, 10, 16	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 − (𝐴 / 2)) = (𝐴 / 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244

This theorem is referenced by:  fldiv4lem1div2uz2  13795  gausslemma2dlem1a  27328