Theorem gausslemma2dlem1a 27346

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 27347. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1a	⊢ (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1a

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2	1	elrnmpt 5900	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
3	2	elv 3436	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		iftrue 4460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑥 · 2))
5	4	eqeq2d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑥 · 2)))
6	5	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑥 · 2)))
7		elfz1b 13538	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻))
8		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ)
9		2nn 12245	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
11	8, 10	nnmulcld 12221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
12	11	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
13	12	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
14		gausslemma2d.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
15	14	eleq1i 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
16	15	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
17	16	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
18	17	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
19		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
20		nnoddn2prm 16773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
21		nnz 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
22	21	anim1i 621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
23	20, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
24		nnz 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
25		2z 12550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
27	24, 26	zmulcld 12630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
28	27	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
29	23, 28	anim12i 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
30		df-3an 1094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) ↔ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
31	29, 30	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
32	31	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ)))
33	19, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ)))
34	33	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
35		ltoddhalfle 16321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
37	36	biimp3a 1477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
38	13, 18, 37	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
39	38	3exp 1125	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝜑 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))))
40	7, 39	sylbi 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝜑 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))))
41	40	impcom 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
42	41	impcom 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
43	14	oveq2i 7367	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝐻) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
44	43	eleq2i 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 · 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
45		elfz1b 13538	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
46	44, 45	bitri 276	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
47	42, 46	sylibr 235	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻))
48		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 2) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻)))
49	47, 48	syl5ibrcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = (𝑥 · 2) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
50	6, 49	sylbid 241	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
51		iffalse 4463	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑥 · 2)))
52	51	eqeq2d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2))))
53	52	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2))))
54		eldifi 4061	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
55		prmz 16635	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
56	19, 54, 55	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
57	56	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 𝑃 ∈ ℤ)
58		elfzelz 13469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 𝑥 ∈ ℤ)
59	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
60	58, 59	zmulcld 12630	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
61	60	ad2antll 735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
62	57, 61	zsubcld 12629	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ)
63	55	zred 12624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
64	14	breq2i 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ≤ 𝐻 ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
65		nnre 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
67		peano2rem 11452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
68	67	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
69		2re 12246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
70		2pos 12275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 0 < 2
71	69, 70	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
73		lemuldiv 12027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
74	66, 68, 72, 73	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
75	64, 74	bitr4id 291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐻 ↔ (𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
76	11	nnred 12180	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
77	76	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
78		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℝ)
79	77, 68, 78	lesub2d 11749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
80		recn 11119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℂ)
81		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
82	80, 81	nncand 11501	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 − 1)) = 1)
83	82	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − (𝑃 − 1)) = 1)
84	83	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ↔ 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
85	84	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
86	79, 85	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
87	75, 86	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐻 → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
88	87	impancom 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
89	88	3adant2 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
90	7, 89	sylbi 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
91	90	com12 32	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
92	19, 54, 63, 91	4syl 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
93	92	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)))
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)))
95		elnnz1 12544	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
96	62, 94, 95	sylanbrc 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ)
97	7	simp2bi 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 𝐻 ∈ ℕ)
98	97	ad2antll 735	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 𝐻 ∈ ℕ)
99		nnre 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
100	99	rehalfcld 12415	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
101	100	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
102	60	zred 12624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
103		lenlt 11215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ ¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)))
104	101, 102, 103	syl2an 602	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ ¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)))
105	22, 60	anim12i 619	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
106	105, 30	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
107		halfleoddlt 16322	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
109	108	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2))
110		nncn 12173	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
111		subhalfhalf 12402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
113	112	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
114	113	ad3antrrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
115	109, 114	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2))
116	99	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℝ)
117	100	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
118	102	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
119	116, 117, 118	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ))
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ))
121		ltsub23 11621	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2)))
122	120, 121	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2)))
123	115, 122	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2))
124	21	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
125		simplr 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
126	60	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
127	124, 126	zsubcld 12629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ)
128	124, 125, 127	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ))
129	128	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ))
130		ltoddhalfle 16321	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ) → ((𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
131	129, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
132	123, 131	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
133	132	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
134	14	breq2i 5080	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻 ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
135	133, 134	imbitrrdi 253	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
136	104, 135	sylbird 261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
137	136	ex 413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)))
138	19, 20, 137	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)))
139	138	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
140	139	impcom 408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)
141		elfz1b 13538	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
142	96, 98, 140, 141	syl3anbrc 1350	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻))
143		eleq1 2827	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2)) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻)))
144	142, 143	syl5ibrcom 248	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2)) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
145	53, 144	sylbid 241	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
146	50, 145	pm2.61ian 817	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
147	146	rexlimdva 3140	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
148		elfz1b 13538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻))
149		simp1 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℕ)
150		simpl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 2 ∥ 𝑦)
151		nnehalf 16339	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
152	149, 150, 151	syl2anr 603	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
153		simpr2 1202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝐻 ∈ ℕ)
154		nnre 12172	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
155	154	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
156		nnrp 12945	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ → 𝐻 ∈ ℝ+)
157	156	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → 𝐻 ∈ ℝ+)
158	157	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → 𝐻 ∈ ℝ+)
159		2rp 12938	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
160		1le2 12376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 2
161	159, 160	pm3.2i 471	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2)
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2))
163		ledivge1le 13006	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐻 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2)) → (𝑦 ≤ 𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
164	155, 158, 162, 163	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → (𝑦 ≤ 𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
165	164	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ≤ 𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
166	165	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
167	166	3impia 1123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
168	167	impcom 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)
169	152, 153, 168	3jca 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
170	169	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
171	148, 170	biimtrid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
172	171	3impia 1123	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
173		elfz1b 13538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
174	172, 173	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑦 / 2) ∈ (1...𝐻))
175		oveq1 7363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑥 · 2) = ((𝑦 / 2) · 2))
176	175	breq1d 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ ((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2)))
177	175	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))
178	176, 175, 177	ifbieq12d 4483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))))
179	178	eqeq2d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))))
180	179	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = (𝑦 / 2)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))))
181		elfzelz 13469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 ∈ ℤ)
182	181	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 ∈ ℂ)
183	182	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 ∈ ℂ)
184		2cnd 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
185		2ne0 12276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
186	185	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ≠ 0)
187	183, 184, 186	divcan1d 11923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) · 2) = 𝑦)
188	14	breq2i 5080	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ≤ 𝐻 ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
189		nnz 12536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
190	19, 20, 22	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
191	190	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
192	189, 191	anim12ci 620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
193		df-3an 1094	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ↔ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
194	192, 193	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
195		ltoddhalfle 16321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
196	194, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → (𝑦 < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
197	196	exbiri 816	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
198	197	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
199	188, 198	biimtrid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
200	199	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐻 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))))
201	200	3imp 1116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
202	148, 201	sylbi 218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
203	202	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
204	203	3impia 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 < (𝑃 / 2))
205	187, 204	eqbrtrd 5094	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2))
206	205	iftrued 4462	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))) = ((𝑦 / 2) · 2))
207	206, 187	eqtr2d 2775	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))))
208	174, 180, 207	rspcedvd 3562	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
209	208	3exp 1125	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝑦 → (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))))
210	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
211	210	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
212	189	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℤ)
213	212	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℤ)
214	211, 213	zsubcld 12629	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℤ)
215	154	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
216	67	rehalfcld 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
217	216	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
218		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℝ)
219	215, 217, 218	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
220	219	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
221	54, 63, 220	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
222	221	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
223	222	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
224		lesub2 11636	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦)))
225	223, 224	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦)))
226	55	zcnd 12625	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
227		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
228		2cnne0 12377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
229	228	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
230		divsubdir 11839	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
231	227, 229, 230	mpd3an23 1471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
232	231	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − ((𝑃 / 2) − (1 / 2))))
233		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → 𝑃 ∈ ℂ)
234		halfcl 12394	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
235		halfcn 12382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
236	235	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
237	233, 234, 236	subsubd 11524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 / 2) − (1 / 2))) = ((𝑃 − (𝑃 / 2)) + (1 / 2)))
238	111	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
239	232, 237, 238	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
240	54, 226, 239	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
241	240	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
242	241	breq1d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦) ↔ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦)))
243		prmnn 16634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
244		halfre 12381	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
245	244	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
246		nngt0 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < 𝑃)
247	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
248		divgt0 12015	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑃 / 2))
249	99, 246, 247, 248	syl21anc 843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < (𝑃 / 2))
250		halfgt0 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 < (1 / 2)
251	250	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < (1 / 2))
252	100, 245, 249, 251	addgt0d 11716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
253	54, 243, 252	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
254	253	ad2antrl 734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
255		0red 11138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
256		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℝ)
257	256	rehalfcld 12415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
258	244	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
259	257, 258	readdcld 11165	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
260		resubcl 11449	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)
261	260	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)
262	255, 259, 261	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ))
263	262	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
264	154, 263	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
265	264	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
266	265	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
267	54, 63, 266	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
268	267	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
269	268	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ))
270		ltletr 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ) → ((0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦)) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
271	269, 270	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦)) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
272	254, 271	mpand 701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
273	242, 272	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
274	225, 273	sylbid 241	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
275	274	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 0 < (𝑃 − 𝑦))))
276	275	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃 − 𝑦))))
277	188, 276	biimtrid 243	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃 − 𝑦))))
278	277	3impia 1123	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
279	278	impcom 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 0 < (𝑃 − 𝑦))
280		elnnz 12525	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 − 𝑦) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − 𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃 − 𝑦)))
281	214, 279, 280	sylanbrc 589	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℕ)
282	23	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
283		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ¬ 2 ∥ 𝑦)
284	283, 212	anim12ci 620	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦))
285		omoe 16324	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → 2 ∥ (𝑃 − 𝑦))
286	282, 284, 285	syl2an2r 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 2 ∥ (𝑃 − 𝑦))
287		nnehalf 16339	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 − 𝑦) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑃 − 𝑦)) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ ℕ)
288	281, 286, 287	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ ℕ)
289		simpr2 1202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝐻 ∈ ℕ)
290		1red 11136	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 1 ∈ ℝ)
291	154	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ)
292	291	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ)
293	54, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
294	293	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝑃 ∈ ℝ)
295		nnge1 12196	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
296	295	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → 1 ≤ 𝑦)
297	296	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 1 ≤ 𝑦)
298	290, 292, 294, 297	lesub2dd 11758	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑃 − 𝑦) ≤ (𝑃 − 1))
299	294, 292	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)
300	54, 63, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
301	300	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
302	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
303		lediv1 12012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 − 𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
304	299, 301, 302, 303	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → ((𝑃 − 𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
305	298, 304	mpbid 233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
306	14	breq2i 5080	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ 𝐻 ↔ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
307	305, 306	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ 𝐻)
308	288, 289, 307	3jca 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ 𝐻))
309	308	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → (((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ 𝐻)))
310		elfz1b 13538	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻) ↔ (((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ 𝐻))
311	309, 148, 310	3imtr4g 297	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻)))
312	311	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))))
313	19, 312	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))))
314	313	3imp21 1119	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))
315		oveq1 7363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2) → (𝑥 · 2) = (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2))
316	315	breq1d 5082	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2)))
317	315	oveq2d 7372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2)))
318	316, 315, 317	ifbieq12d 4483	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2))))
319	318	eqeq2d 2750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if((((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2)))))
320	319	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if((((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2)))))
321	19, 54, 226	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
322	321	3ad2ant2 1140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℂ)
323	182	3ad2ant3 1141	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 ∈ ℂ)
324	322, 323	subcld 11496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℂ)
325		2cnd 12250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
326	185	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ≠ 0)
327	324, 325, 326	divcan1d 11923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) = (𝑃 − 𝑦))
328		zre 12519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
329		halfge0 12384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
330		rehalfcl 12395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
331	330	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
332	331, 258	subge02d 11733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 / 2) ↔ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)))
333	329, 332	mpbii 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2))
334		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
335	244	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
336	330, 335	resubcld 11569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
337	336	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
338		letr 11231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
339	334, 337, 331, 338	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
340	333, 339	mpan2d 700	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
341	80	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℂ)
342		1cnd 11130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
343	228	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
344	341, 342, 343, 230	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
345	344	breq2d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2))))
346		lesub 11620	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2))))
347	331, 256, 334, 346	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2))))
348	257, 261	lenltd 11283	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃 − 𝑦) ↔ ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))
349		2cnd 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
350	185	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
351	80, 349, 350	divcan1d 11923	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) · 2) = 𝑃)
352	351	eqcomd 2745	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 = ((𝑃 / 2) · 2))
353	352	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (((𝑃 / 2) · 2) − (𝑃 / 2)))
354	330	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
355	354, 349	mulcomd 11157	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) · 2) = (2 · (𝑃 / 2)))
356	355	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (((𝑃 / 2) · 2) − (𝑃 / 2)) = ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)))
357	349, 354	mulsubfacd 11602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)) = ((2 − 1) · (𝑃 / 2)))
358		2m1e1 12293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (2 − 1) = 1
359	358	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (2 − 1) = 1)
360	359	oveq1d 7371	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((2 − 1) · (𝑃 / 2)) = (1 · (𝑃 / 2)))
361	354	mullidd 11154	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (1 · (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
362	357, 360, 361	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
363	353, 356, 362	3eqtrd 2778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
364	363	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
365	364	breq2d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2)) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
366	347, 348, 365	3bitr3d 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
367	340, 345, 366	3imtr4d 295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))
368	367	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
369	154, 368	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
370	369	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
371	328, 370	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
372	19, 54, 55, 371	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
373	372	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
374	373	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
375	188, 374	biimtrid 243	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
376	375	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐻 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))))
377	376	3imp 1116	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))
378	377	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))
379	148, 378	biimtrid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))
380	379	3impia 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))
381	327, 380	eqnbrtrd 5090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ¬ (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2))
382	381	iffalsed 4465	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → if((((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2))) = (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2)))
383	327	oveq2d 7372	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2)) = (𝑃 − (𝑃 − 𝑦)))
384	321, 182	anim12i 619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
385	384	3adant1 1136	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
386		nncan 11414	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑃 − (𝑃 − 𝑦)) = 𝑦)
387	385, 386	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑃 − 𝑦)) = 𝑦)
388	382, 383, 387	3eqtrrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 = if((((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2))))
389	314, 320, 388	rspcedvd 3562	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
390	389	3exp 1125	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))))
391	209, 390	pm2.61i 183	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
392	147, 391	impbid 213	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
393	3, 392	bitrid 284	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
394	393	eqrdv 2737	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∃wrex 3063  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  ifcif 4454  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ran crn 5619  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℤcz 12515  ℝ⁺crp 12933  ...cfz 13452   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ioo 13293  df-fz 13453  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-prm 16632

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1  27347