Theorem gausslemma2dlem1a 26418

Description: Lemma for gausslemma2dlem1 26419. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
gausslemma2d.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h	⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r	⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))

Assertion

Ref	Expression
gausslemma2dlem1a	⊢ (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥

Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1a

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gausslemma2d.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2	1	elrnmpt 5854	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
3	2	elv 3428	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4		iftrue 4462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑥 · 2))
5	4	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑥 · 2)))
6	5	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑥 · 2)))
7		elfz1b 13254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻))
8		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ)
9		2nn 11976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 2 ∈ ℕ
10	9	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
11	8, 10	nnmulcld 11956	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
12	11	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
13	12	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
14		gausslemma2d.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
15	14	eleq1i 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
16	15	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
17	16	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
18	17	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
19		gausslemma2d.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
20		nnoddn2prm 16440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
21		nnz 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
22	21	anim1i 614	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
23	20, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
24		nnz 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
25		2z 12282	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 2 ∈ ℤ
26	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
27	24, 26	zmulcld 12361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
28	27	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
29	23, 28	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
30		df-3an 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) ↔ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
31	29, 30	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
32	31	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ)))
33	19, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ)))
34	33	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
35		ltoddhalfle 15998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
36	34, 35	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
37	36	biimp3a 1467	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
38	13, 18, 37	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
39	38	3exp 1117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝜑 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))))
40	7, 39	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝜑 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))))
41	40	impcom 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
42	41	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
43	14	oveq2i 7266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1...𝐻) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
44	43	eleq2i 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 · 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
45		elfz1b 13254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 · 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
46	44, 45	bitri 274	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
47	42, 46	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻))
48		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑥 · 2) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻)))
49	47, 48	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = (𝑥 · 2) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
50	6, 49	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
51		iffalse 4465	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑥 · 2)))
52	51	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2))))
53	52	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2))))
54		eldifi 4057	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
55		prmz 16308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
56	19, 54, 55	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℤ)
57	56	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 𝑃 ∈ ℤ)
58		elfzelz 13185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 𝑥 ∈ ℤ)
59	25	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
60	58, 59	zmulcld 12361	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
61	60	ad2antll 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
62	57, 61	zsubcld 12360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ)
63	55	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
64	14	breq2i 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ≤ 𝐻 ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
65		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
66	65	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
67		peano2rem 11218	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
68	67	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
69		2re 11977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 2 ∈ ℝ
70		2pos 12006	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 0 < 2
71	69, 70	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
73		lemuldiv 11785	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
74	66, 68, 72, 73	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
75	64, 74	bitr4id 289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐻 ↔ (𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
76	11	nnred 11918	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
77	76	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
78		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℝ)
79	77, 68, 78	lesub2d 11513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
80		recn 10892	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℂ)
81		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
82	80, 81	nncand 11267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 − 1)) = 1)
83	82	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − (𝑃 − 1)) = 1)
84	83	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ↔ 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
85	84	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
86	79, 85	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
87	75, 86	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐻 → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
88	87	impancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
89	88	3adant2 1129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ≤ 𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
90	7, 89	sylbi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
91	90	com12 32	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
92	63, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
93	19, 54, 92	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
94	93	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)))
95	94	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)))
96		elnnz1 12276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
97	62, 95, 96	sylanbrc 582	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ)
98	7	simp2bi 1144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 𝐻 ∈ ℕ)
99	98	ad2antll 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 𝐻 ∈ ℕ)
100		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
101	100	rehalfcld 12150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
102	101	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
103	60	zred 12355	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
104		lenlt 10984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ ¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)))
105	102, 103, 104	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ ¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)))
106	22, 60	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
107	106, 30	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
108		halfleoddlt 15999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
109	107, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
110	109	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2))
111		nncn 11911	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
112		subhalfhalf 12137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
113	111, 112	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
114	113	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
115	114	ad3antrrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
116	110, 115	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2))
117	100	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℝ)
118	101	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
119	103	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
120	117, 118, 119	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ))
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ))
122		ltsub23 11385	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2)))
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2)))
124	116, 123	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2))
125	21	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
126		simplr 765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
127	60	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
128	125, 127	zsubcld 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ)
129	125, 126, 128	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ))
130	129	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ))
131		ltoddhalfle 15998	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ) → ((𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
132	130, 131	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
133	124, 132	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
134	133	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
135	14	breq2i 5078	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻 ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
136	134, 135	syl6ibr 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
137	105, 136	sylbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
138	137	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)))
139	19, 20, 138	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)))
140	139	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
141	140	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)
142		elfz1b 13254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
143	97, 99, 141, 142	syl3anbrc 1341	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻))
144		eleq1 2826	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2)) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻)))
145	143, 144	syl5ibrcom 246	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2)) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
146	53, 145	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
147	50, 146	pm2.61ian 808	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
148	147	rexlimdva 3212	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
149		elfz1b 13254	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻))
150		simp1 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℕ)
151		simpl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 2 ∥ 𝑦)
152		nnehalf 16016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
153	150, 151, 152	syl2anr 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
154		simpr2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝐻 ∈ ℕ)
155		nnre 11910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
156	155	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
157		nnrp 12670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐻 ∈ ℕ → 𝐻 ∈ ℝ+)
158	157	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → 𝐻 ∈ ℝ+)
159	158	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → 𝐻 ∈ ℝ+)
160		2rp 12664	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 2 ∈ ℝ+
161		1le2 12112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 1 ≤ 2
162	160, 161	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2)
163	162	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2))
164		ledivge1le 12730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐻 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2)) → (𝑦 ≤ 𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
165	156, 159, 163, 164	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → (𝑦 ≤ 𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
166	165	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ≤ 𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
167	166	com23 86	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
168	167	3impia 1115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
169	168	impcom 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)
170	153, 154, 169	3jca 1126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
171	170	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
172	149, 171	syl5bi 241	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
173	172	3impia 1115	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
174		elfz1b 13254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 / 2) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
175	173, 174	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑦 / 2) ∈ (1...𝐻))
176		oveq1 7262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑥 · 2) = ((𝑦 / 2) · 2))
177	176	breq1d 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ ((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2)))
178	176	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))
179	177, 176, 178	ifbieq12d 4484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))))
180	179	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))))
181	180	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = (𝑦 / 2)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))))
182		elfzelz 13185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 ∈ ℤ)
183	182	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 ∈ ℂ)
184	183	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 ∈ ℂ)
185		2cnd 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
186		2ne0 12007	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ≠ 0
187	186	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ≠ 0)
188	184, 185, 187	divcan1d 11682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) · 2) = 𝑦)
189	14	breq2i 5078	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ≤ 𝐻 ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
190		nnz 12272	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
191	19, 20, 22	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
192	191	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
193	190, 192	anim12ci 613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
194		df-3an 1087	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) ↔ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
195	193, 194	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
196		ltoddhalfle 15998	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
197	195, 196	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑)) → (𝑦 < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
198	197	exbiri 807	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
199	198	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
200	189, 199	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
201	200	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐻 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))))
202	201	3imp 1109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
203	149, 202	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
204	203	com12 32	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
205	204	3impia 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 < (𝑃 / 2))
206	188, 205	eqbrtrd 5092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2))
207	206	iftrued 4464	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))) = ((𝑦 / 2) · 2))
208	207, 188	eqtr2d 2779	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))))
209	175, 181, 208	rspcedvd 3555	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
210	209	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ (2 ∥ 𝑦 → (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))))
211	54, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
212	211	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
213	190	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℤ)
214	213	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℤ)
215	212, 214	zsubcld 12360	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℤ)
216	155	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
217	67	rehalfcld 12150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
218	217	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
219		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℝ)
220	216, 218, 219	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
221	220	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
222	54, 63, 221	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
223	222	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
224	223	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
225		lesub2 11400	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦)))
226	224, 225	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦)))
227	55	zcnd 12356	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
228		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
229		2cnne0 12113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
230	229	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
231		divsubdir 11599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
232	228, 230, 231	mpd3an23 1461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
233	232	oveq2d 7271	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − ((𝑃 / 2) − (1 / 2))))
234		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → 𝑃 ∈ ℂ)
235		halfcl 12128	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
236		halfcn 12118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
237	236	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
238	234, 235, 237	subsubd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 / 2) − (1 / 2))) = ((𝑃 − (𝑃 / 2)) + (1 / 2)))
239	112	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
240	233, 238, 239	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
241	54, 227, 240	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
242	241	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
243	242	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦) ↔ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦)))
244		prmnn 16307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
245		halfre 12117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
246	245	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
247		nngt0 11934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < 𝑃)
248	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
249		divgt0 11773	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑃 / 2))
250	100, 247, 248, 249	syl21anc 834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < (𝑃 / 2))
251		halfgt0 12119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 < (1 / 2)
252	251	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < (1 / 2))
253	101, 246, 250, 252	addgt0d 11480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑃 ∈ ℕ → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
254	54, 244, 253	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
255	254	ad2antrl 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
256		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
257		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℝ)
258	257	rehalfcld 12150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
259	245	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
260	258, 259	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
261		resubcl 11215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)
262	261	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)
263	256, 260, 262	3jca 1126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ))
264	263	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
265	155, 264	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
266	265	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
267	266	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
268	54, 63, 267	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
269	268	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)))
270	269	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ))
271		ltletr 10997	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ) → ((0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦)) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
272	270, 271	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦)) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
273	255, 272	mpand 691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
274	243, 273	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃 − 𝑦) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
275	226, 274	sylbid 239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
276	275	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 0 < (𝑃 − 𝑦))))
277	276	com23 86	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃 − 𝑦))))
278	189, 277	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃 − 𝑦))))
279	278	3impia 1115	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃 − 𝑦)))
280	279	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 0 < (𝑃 − 𝑦))
281		elnnz 12259	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 − 𝑦) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − 𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃 − 𝑦)))
282	215, 280, 281	sylanbrc 582	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℕ)
283	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
284		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ¬ 2 ∥ 𝑦)
285	284, 213	anim12ci 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦))
286		omoe 16001	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → 2 ∥ (𝑃 − 𝑦))
287	283, 285, 286	syl2an2r 681	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 2 ∥ (𝑃 − 𝑦))
288		nnehalf 16016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 − 𝑦) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑃 − 𝑦)) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ ℕ)
289	282, 287, 288	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ ℕ)
290		simpr2 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝐻 ∈ ℕ)
291		1red 10907	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 1 ∈ ℝ)
292	155	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ)
293	292	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ)
294	54, 63	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
295	294	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 𝑃 ∈ ℝ)
296		nnge1 11931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
297	296	3ad2ant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → 1 ≤ 𝑦)
298	297	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → 1 ≤ 𝑦)
299	291, 293, 295, 298	lesub2dd 11522	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑃 − 𝑦) ≤ (𝑃 − 1))
300	295, 293	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ)
301	54, 63, 67	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
302	301	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
303	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
304		lediv1 11770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 − 𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃 − 𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
305	300, 302, 303, 304	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → ((𝑃 − 𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
306	299, 305	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
307	14	breq2i 5078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ 𝐻 ↔ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
308	306, 307	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ 𝐻)
309	289, 290, 308	3jca 1126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻)) → (((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ 𝐻))
310	309	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → (((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ 𝐻)))
311		elfz1b 13254	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻) ↔ (((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 𝑦) / 2) ≤ 𝐻))
312	310, 149, 311	3imtr4g 295	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻)))
313	312	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))))
314	19, 313	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))))
315	314	3imp21 1112	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 − 𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))
316		oveq1 7262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2) → (𝑥 · 2) = (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2))
317	316	breq1d 5080	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2)))
318	316	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2)))
319	317, 316, 318	ifbieq12d 4484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2))))
320	319	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if((((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2)))))
321	320	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = ((𝑃 − 𝑦) / 2)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if((((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2)))))
322	19, 54, 227	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ ℂ)
323	322	3ad2ant2 1132	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℂ)
324	183	3ad2ant3 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 ∈ ℂ)
325	323, 324	subcld 11262	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − 𝑦) ∈ ℂ)
326		2cnd 11981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
327	186	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ≠ 0)
328	325, 326, 327	divcan1d 11682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) = (𝑃 − 𝑦))
329		zre 12253	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
330		halfge0 12120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ 0 ≤ (1 / 2)
331		rehalfcl 12129	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
332	331	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
333	332, 259	subge02d 11497	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 / 2) ↔ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)))
334	330, 333	mpbii 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2))
335		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
336	245	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
337	331, 336	resubcld 11333	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
338	337	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
339		letr 10999	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
340	335, 338, 332, 339	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
341	334, 340	mpan2d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
342	80	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℂ)
343		1cnd 10901	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
344	229	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
345	342, 343, 344, 231	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
346	345	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2))))
347		lesub 11384	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2))))
348	332, 257, 335, 347	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃 − 𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2))))
349	258, 262	lenltd 11051	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃 − 𝑦) ↔ ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))
350		2cnd 11981	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
351	186	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
352	80, 350, 351	divcan1d 11682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) · 2) = 𝑃)
353	352	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 = ((𝑃 / 2) · 2))
354	353	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (((𝑃 / 2) · 2) − (𝑃 / 2)))
355	331	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
356	355, 350	mulcomd 10927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) · 2) = (2 · (𝑃 / 2)))
357	356	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (((𝑃 / 2) · 2) − (𝑃 / 2)) = ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)))
358	350, 355	mulsubfacd 11366	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)) = ((2 − 1) · (𝑃 / 2)))
359		2m1e1 12029	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (2 − 1) = 1
360	359	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (2 − 1) = 1)
361	360	oveq1d 7270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((2 − 1) · (𝑃 / 2)) = (1 · (𝑃 / 2)))
362	355	mulid2d 10924	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (1 · (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
363	358, 361, 362	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
364	354, 357, 363	3eqtrd 2782	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
365	364	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
366	365	breq2d 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2)) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
367	348, 349, 366	3bitr3d 308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
368	341, 346, 367	3imtr4d 293	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))
369	368	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
370	155, 369	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
371	370	com3l 89	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
372	329, 371	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
373	54, 55, 372	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
374	19, 373	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
375	374	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
376	375	com13 88	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
377	189, 376	syl5bi 241	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))))
378	377	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (𝐻 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ 𝐻 → ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))))
379	378	3imp 1109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))
380	379	com12 32	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦 ≤ 𝐻) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))
381	149, 380	syl5bi 241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2)))
382	381	3impia 1115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ¬ (𝑃 − 𝑦) < (𝑃 / 2))
383	328, 382	eqnbrtrd 5088	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ¬ (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2))
384	383	iffalsed 4467	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → if((((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2))) = (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2)))
385	328	oveq2d 7271	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2)) = (𝑃 − (𝑃 − 𝑦)))
386	322, 183	anim12i 612	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
387	386	3adant1 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
388		nncan 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑃 − (𝑃 − 𝑦)) = 𝑦)
389	387, 388	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑃 − 𝑦)) = 𝑦)
390	384, 385, 389	3eqtrrd 2783	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 = if((((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃 − 𝑦) / 2) · 2))))
391	315, 321, 390	rspcedvd 3555	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 2 ∥ 𝑦 ∧ 𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
392	391	3exp 1117	. . . . 5 ⊢ (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))))
393	210, 392	pm2.61i 182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
394	148, 393	impbid 211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
395	3, 394	syl5bb 282	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
396	395	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880  ifcif 4456  {csn 4558   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  ℤcz 12249  ℝ⁺crp 12659  ...cfz 13168   ∥ cdvds 15891  ℙcprime 16304

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-fz 13169  df-seq 13650  df-exp 13711  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-dvds 15892  df-prm 16305

This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1  26419