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Theorem gausslemma2dlem1a 27409
Description: Lemma for gausslemma2dlem1 27410. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem1a (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1a
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . . . 5 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
21elrnmpt 5969 . . . 4 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
32elv 3485 . . 3 (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 iftrue 4531 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑥 · 2))
54eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑥 · 2)))
65adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑥 · 2)))
7 elfz1b 13633 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻))
8 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ)
9 2nn 12339 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
118, 10nnmulcld 12319 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
12113ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
13123ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
14 gausslemma2d.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
1514eleq1i 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1615biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
17163ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
18173ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
19 gausslemma2d.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
20 nnoddn2prm 16849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
21 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
2221anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
24 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
25 2z 12649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℤ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
2724, 26zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
28273ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
2923, 28anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
30 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) ↔ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
3129, 30sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
3231ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ)))
3319, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ)))
3433impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
35 ltoddhalfle 16398 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
3736biimp3a 1471 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
3813, 18, 373jca 1129 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
39383exp 1120 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝜑 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))))
407, 39sylbi 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝜑 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))))
4140impcom 407 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
4241impcom 407 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
4314oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 (1...𝐻) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
4443eleq2i 2833 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 · 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
45 elfz1b 13633 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
4644, 45bitri 275 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
4742, 46sylibr 234 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻))
48 eleq1 2829 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥 · 2) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻)))
4947, 48syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = (𝑥 · 2) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
506, 49sylbid 240 . . . . . 6 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
51 iffalse 4534 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑥 · 2)))
5251eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2))))
5352adantr 480 . . . . . . 7 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2))))
54 eldifi 4131 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
55 prmz 16712 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5619, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
5756ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 𝑃 ∈ ℤ)
58 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 𝑥 ∈ ℤ)
5925a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
6058, 59zmulcld 12728 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
6160ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
6257, 61zsubcld 12727 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ)
6355zred 12722 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
6414breq2i 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐻𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
65 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
67 peano2rem 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
69 2re 12340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
70 2pos 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < 2
7169, 70pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
73 lemuldiv 12148 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
7466, 68, 72, 73syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
7564, 74bitr4id 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥𝐻 ↔ (𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
7611nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℝ)
7977, 68, 78lesub2d 11871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
80 recn 11245 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℂ)
81 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
8280, 81nncand 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 − 1)) = 1)
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − (𝑃 − 1)) = 1)
8483breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ↔ 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8584biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8679, 85sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8775, 86sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥𝐻 → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8887impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
89883adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
907, 89sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9190com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9219, 54, 63, 914syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9392imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)))
9493adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)))
95 elnnz1 12643 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9662, 94, 95sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ)
977simp2bi 1147 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 𝐻 ∈ ℕ)
9897ad2antll 729 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 𝐻 ∈ ℕ)
99 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
10099rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
10260zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
103 lenlt 11339 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ ¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)))
104101, 102, 103syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ ¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)))
10522, 60anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
106105, 30sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
107 halfleoddlt 16399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
109108biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2))
110 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
111 subhalfhalf 12500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
113112breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
114113ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
115109, 114mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2))
11699ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℝ)
117100ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
118102adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
119116, 117, 1183jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ))
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ))
121 ltsub23 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2)))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2)))
123115, 122mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2))
12421ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
125 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
12660adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
127124, 126zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ)
128124, 125, 1273jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ))
129128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ))
130 ltoddhalfle 16398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ) → ((𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
132123, 131mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
133132ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
13414breq2i 5151 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻 ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
135133, 134imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
136104, 135sylbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
137136ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)))
13819, 20, 1373syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)))
139138imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
140139impcom 407 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)
141 elfz1b 13633 . . . . . . . . 9 ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
14296, 98, 140, 141syl3anbrc 1344 . . . . . . . 8 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻))
143 eleq1 2829 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2)) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻)))
144142, 143syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2)) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
14553, 144sylbid 240 . . . . . 6 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
14650, 145pm2.61ian 812 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
147146rexlimdva 3155 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
148 elfz1b 13633 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻))
149 simp1 1137 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℕ)
150 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 2 ∥ 𝑦)
151 nnehalf 16416 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
152149, 150, 151syl2anr 597 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
153 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝐻 ∈ ℕ)
154 nnre 12273 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
155154ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
156 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐻 ∈ ℕ → 𝐻 ∈ ℝ+)
157156adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → 𝐻 ∈ ℝ+)
158157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → 𝐻 ∈ ℝ+)
159 2rp 13039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
160 1le2 12475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ≤ 2
161159, 160pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2)
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2))
163 ledivge1le 13106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐻 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2)) → (𝑦𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
164155, 158, 162, 163syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (𝑦𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
165164ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
166165com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦𝐻 → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
1671663impia 1118 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
168167impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)
169152, 153, 1683jca 1129 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
170169ex 412 . . . . . . . . . 10 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
171148, 170biimtrid 242 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
1721713impia 1118 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
173 elfz1b 13633 . . . . . . . 8 ((𝑦 / 2) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
174172, 173sylibr 234 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑦 / 2) ∈ (1...𝐻))
175 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑥 · 2) = ((𝑦 / 2) · 2))
176175breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ ((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2)))
177175oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))
178176, 175, 177ifbieq12d 4554 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))))
179178eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))))
180179adantl 481 . . . . . . 7 (((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = (𝑦 / 2)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))))
181 elfzelz 13564 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 ∈ ℤ)
182181zcnd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 ∈ ℂ)
1831823ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 ∈ ℂ)
184 2cnd 12344 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
185 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
186185a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ≠ 0)
187183, 184, 186divcan1d 12044 . . . . . . . . . 10 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) · 2) = 𝑦)
18814breq2i 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐻𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
189 nnz 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
19019, 20, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
191190adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
192189, 191anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
193 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃𝑦 ∈ ℤ) ↔ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
194192, 193sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃𝑦 ∈ ℤ))
195 ltoddhalfle 16398 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
196194, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (𝑦 < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
197196exbiri 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
198197com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
199188, 198biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
200199a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐻 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))))
2012003imp 1111 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
202148, 201sylbi 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
203202com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
2042033impia 1118 . . . . . . . . . 10 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 < (𝑃 / 2))
205187, 204eqbrtrd 5165 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2))
206205iftrued 4533 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))) = ((𝑦 / 2) · 2))
207206, 187eqtr2d 2778 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))))
208174, 180, 207rspcedvd 3624 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2092083exp 1120 . . . . 5 (2 ∥ 𝑦 → (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))))
21054, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
211210ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
2121893ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℤ)
213212adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑦 ∈ ℤ)
214211, 213zsubcld 12727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℤ)
215154ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
21667rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
217216adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
218 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℝ)
219215, 217, 2183jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
220219ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
22154, 63, 2203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
222221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
223222impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
224 lesub2 11758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦)))
225223, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦)))
22655zcnd 12723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
227 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
228 2cnne0 12476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
230 divsubdir 11961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
231227, 229, 230mpd3an23 1465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
232231oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − ((𝑃 / 2) − (1 / 2))))
233 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → 𝑃 ∈ ℂ)
234 halfcl 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
235 halfcn 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (1 / 2) ∈ ℂ
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
237233, 234, 236subsubd 11648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 / 2) − (1 / 2))) = ((𝑃 − (𝑃 / 2)) + (1 / 2)))
238111oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℂ → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
239232, 237, 2383eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
24054, 226, 2393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
241240ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
242241breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦) ↔ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦)))
243 prmnn 16711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
244 halfre 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 / 2) ∈ ℝ
245244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
246 nngt0 12297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < 𝑃)
24771a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
248 divgt0 12136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑃 / 2))
24999, 246, 247, 248syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < (𝑃 / 2))
250 halfgt0 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 < (1 / 2)
251250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < (1 / 2))
252100, 245, 249, 251addgt0d 11838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
25354, 243, 2523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
254253ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
255 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
256 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℝ)
257256rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
258244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
259257, 258readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
260 resubcl 11573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
261260ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
262255, 259, 2613jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ))
263262ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
264154, 263syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
265264adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
266265com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
26754, 63, 2663syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
268267adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
269268impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ))
270 ltletr 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ) → ((0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦)) → 0 < (𝑃𝑦)))
271269, 270syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦)) → 0 < (𝑃𝑦)))
272254, 271mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦) → 0 < (𝑃𝑦)))
273242, 272sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦) → 0 < (𝑃𝑦)))
274225, 273sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 0 < (𝑃𝑦)))
275274ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 0 < (𝑃𝑦))))
276275com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃𝑦))))
277188, 276biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦𝐻 → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃𝑦))))
2782773impia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃𝑦)))
279278impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 0 < (𝑃𝑦))
280 elnnz 12623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑦) ∈ ℕ ↔ ((𝑃𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃𝑦)))
281214, 279, 280sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℕ)
28223adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
283 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ¬ 2 ∥ 𝑦)
284283, 212anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦))
285 omoe 16401 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → 2 ∥ (𝑃𝑦))
286282, 284, 285syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 2 ∥ (𝑃𝑦))
287 nnehalf 16416 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑦) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑃𝑦)) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ)
288281, 286, 287syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ)
289 simpr2 1196 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝐻 ∈ ℕ)
290 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 1 ∈ ℝ)
2911543ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ)
292291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ)
29354, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
294293ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑃 ∈ ℝ)
295 nnge1 12294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
2962953ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 1 ≤ 𝑦)
297296adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 1 ≤ 𝑦)
298290, 292, 294, 297lesub2dd 11880 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ≤ (𝑃 − 1))
299294, 292resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
30054, 63, 673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
301300ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
30271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
303 lediv1 12133 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
304299, 301, 302, 303syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
305298, 304mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
30614breq2i 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻 ↔ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
307305, 306sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻)
308288, 289, 3073jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻))
309308ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → (((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻)))
310 elfz1b 13633 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻) ↔ (((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻))
311309, 148, 3103imtr4g 296 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻)))
312311ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))))
31319, 312syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))))
3143133imp21 1114 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))
315 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → (𝑥 · 2) = (((𝑃𝑦) / 2) · 2))
316315breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2)))
317315oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))
318316, 315, 317ifbieq12d 4554 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2))))
319318eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))))
320319adantl 481 . . . . . . 7 (((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))))
32119, 54, 2263syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3223213ad2ant2 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℂ)
3231823ad2ant3 1136 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 ∈ ℂ)
324322, 323subcld 11620 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℂ)
325 2cnd 12344 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
326185a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ≠ 0)
327324, 325, 326divcan1d 12044 . . . . . . . . . 10 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (((𝑃𝑦) / 2) · 2) = (𝑃𝑦))
328 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
329 halfge0 12483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≤ (1 / 2)
330 rehalfcl 12492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
331330adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
332331, 258subge02d 11855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 / 2) ↔ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)))
333329, 332mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2))
334 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
335244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
336330, 335resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
337336adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
338 letr 11355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
339334, 337, 331, 338syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
340333, 339mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
34180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℂ)
342 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
343228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
344341, 342, 343, 230syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
345344breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2))))
346 lesub 11742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2))))
347331, 256, 334, 346syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2))))
348257, 261lenltd 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
349 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
350185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
35180, 349, 350divcan1d 12044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) · 2) = 𝑃)
352351eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 = ((𝑃 / 2) · 2))
353352oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (((𝑃 / 2) · 2) − (𝑃 / 2)))
354330recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
355354, 349mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) · 2) = (2 · (𝑃 / 2)))
356355oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → (((𝑃 / 2) · 2) − (𝑃 / 2)) = ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)))
357349, 354mulsubfacd 11724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)) = ((2 − 1) · (𝑃 / 2)))
358 2m1e1 12392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (2 − 1) = 1
359358a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℝ → (2 − 1) = 1)
360359oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → ((2 − 1) · (𝑃 / 2)) = (1 · (𝑃 / 2)))
361354mullidd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → (1 · (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
362357, 360, 3613eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
363353, 356, 3623eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
364363adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
365364breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2)) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
366347, 348, 3653bitr3d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
367340, 345, 3663imtr4d 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
368367ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
369154, 368syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
370369com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
371328, 370syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
37219, 54, 55, 3714syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
373372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
374373com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
375188, 374biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
376375a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐻 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))))
3773763imp 1111 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
378377com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
379148, 378biimtrid 242 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
3803793impia 1118 . . . . . . . . . 10 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))
381327, 380eqnbrtrd 5161 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ¬ (((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2))
382381iffalsed 4536 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2))) = (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))
383327oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)) = (𝑃 − (𝑃𝑦)))
384321, 182anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
3853843adant1 1131 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
386 nncan 11538 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑃 − (𝑃𝑦)) = 𝑦)
387385, 386syl 17 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑃𝑦)) = 𝑦)
388382, 383, 3873eqtrrd 2782 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2))))
389314, 320, 388rspcedvd 3624 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
3903893exp 1120 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))))
391209, 390pm2.61i 182 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
392147, 391impbid 212 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
3933, 392bitrid 283 . 2 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝑅𝑦 ∈ (1...𝐻)))
394393eqrdv 2735 1 (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  Vcvv 3480  cdif 3948  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143  cmpt 5225  ran crn 5686  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  cz 12613  +crp 13034  ...cfz 13547  cdvds 16290  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ioo 13391  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1  27410
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