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Theorem gausslemma2dlem1a 26713
Description: Lemma for gausslemma2dlem1 26714. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem1a (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1a
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . . . 5 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
21elrnmpt 5911 . . . 4 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
32elv 3451 . . 3 (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 iftrue 4492 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑥 · 2))
54eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑥 · 2)))
65adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑥 · 2)))
7 elfz1b 13510 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻))
8 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ)
9 2nn 12226 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
118, 10nnmulcld 12206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
12113ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
13123ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
14 gausslemma2d.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
1514eleq1i 2828 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1615biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
17163ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
18173ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
19 gausslemma2d.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
20 nnoddn2prm 16683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
21 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
2221anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
24 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
25 2z 12535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℤ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
2724, 26zmulcld 12613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
28273ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
2923, 28anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
30 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) ↔ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
3129, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
3231ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ)))
3319, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ)))
3433impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
35 ltoddhalfle 16243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
3736biimp3a 1469 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
3813, 18, 373jca 1128 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
39383exp 1119 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝜑 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))))
407, 39sylbi 216 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝜑 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))))
4140impcom 408 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
4241impcom 408 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
4314oveq2i 7368 . . . . . . . . . . 11 (1...𝐻) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
4443eleq2i 2829 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 · 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
45 elfz1b 13510 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
4644, 45bitri 274 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
4742, 46sylibr 233 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻))
48 eleq1 2825 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥 · 2) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻)))
4947, 48syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = (𝑥 · 2) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
506, 49sylbid 239 . . . . . 6 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
51 iffalse 4495 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑥 · 2)))
5251eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2))))
5352adantr 481 . . . . . . 7 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2))))
54 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
55 prmz 16551 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5619, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
5756ad2antrl 726 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 𝑃 ∈ ℤ)
58 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 𝑥 ∈ ℤ)
5925a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
6058, 59zmulcld 12613 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
6160ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
6257, 61zsubcld 12612 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ)
6355zred 12607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
6414breq2i 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐻𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
65 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
67 peano2rem 11468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
6867adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
69 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2 ∈ ℝ
70 2pos 12256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 0 < 2
7169, 70pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
73 lemuldiv 12035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
7466, 68, 72, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
7564, 74bitr4id 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥𝐻 ↔ (𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
7611nnred 12168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
7776adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
78 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℝ)
7977, 68, 78lesub2d 11763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
80 recn 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℂ)
81 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
8280, 81nncand 11517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 − 1)) = 1)
8382adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − (𝑃 − 1)) = 1)
8483breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ↔ 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8584biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8679, 85sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8775, 86sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥𝐻 → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8887impancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
89883adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
907, 89sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9190com12 32 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9263, 91syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9319, 54, 923syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9493imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)))
9594adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)))
96 elnnz1 12529 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9762, 95, 96sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ)
987simp2bi 1146 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 𝐻 ∈ ℕ)
9998ad2antll 727 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 𝐻 ∈ ℕ)
100 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
101100rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
102101adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
10360zred 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
104 lenlt 11233 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ ¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)))
105102, 103, 104syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ ¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)))
10622, 60anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
107106, 30sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
108 halfleoddlt 16244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
109107, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
110109biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2))
111 nncn 12161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
112 subhalfhalf 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
113111, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
114113breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
115114ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
116110, 115mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2))
117100ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℝ)
118101ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
119103adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
120117, 118, 1193jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ))
121120adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ))
122 ltsub23 11635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2)))
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2)))
124116, 123mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2))
12521ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
126 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
12760adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
128125, 127zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ)
129125, 126, 1283jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ))
130129adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ))
131 ltoddhalfle 16243 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ) → ((𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
133124, 132mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
134133ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
13514breq2i 5113 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻 ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
136134, 135syl6ibr 251 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
137105, 136sylbird 259 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
138137ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)))
13919, 20, 1383syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)))
140139imp 407 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
141140impcom 408 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)
142 elfz1b 13510 . . . . . . . . 9 ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
14397, 99, 141, 142syl3anbrc 1343 . . . . . . . 8 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻))
144 eleq1 2825 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2)) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻)))
145143, 144syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2)) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
14653, 145sylbid 239 . . . . . 6 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
14750, 146pm2.61ian 810 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
148147rexlimdva 3152 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
149 elfz1b 13510 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻))
150 simp1 1136 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℕ)
151 simpl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 2 ∥ 𝑦)
152 nnehalf 16261 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
153150, 151, 152syl2anr 597 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
154 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝐻 ∈ ℕ)
155 nnre 12160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
156155ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
157 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐻 ∈ ℕ → 𝐻 ∈ ℝ+)
158157adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → 𝐻 ∈ ℝ+)
159158adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → 𝐻 ∈ ℝ+)
160 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
161 1le2 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ≤ 2
162160, 161pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2)
163162a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2))
164 ledivge1le 12986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐻 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2)) → (𝑦𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
165156, 159, 163, 164syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (𝑦𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
166165ex 413 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
167166com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦𝐻 → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
1681673impia 1117 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
169168impcom 408 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)
170153, 154, 1693jca 1128 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
171170ex 413 . . . . . . . . . 10 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
172149, 171biimtrid 241 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
1731723impia 1117 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
174 elfz1b 13510 . . . . . . . 8 ((𝑦 / 2) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
175173, 174sylibr 233 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑦 / 2) ∈ (1...𝐻))
176 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑥 · 2) = ((𝑦 / 2) · 2))
177176breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ ((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2)))
178176oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))
179177, 176, 178ifbieq12d 4514 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))))
180179eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))))
181180adantl 482 . . . . . . 7 (((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = (𝑦 / 2)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))))
182 elfzelz 13441 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 ∈ ℤ)
183182zcnd 12608 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 ∈ ℂ)
1841833ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 ∈ ℂ)
185 2cnd 12231 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
186 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
187186a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ≠ 0)
188184, 185, 187divcan1d 11932 . . . . . . . . . 10 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) · 2) = 𝑦)
18914breq2i 5113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐻𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
190 nnz 12520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
19119, 20, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
192191adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
193190, 192anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
194 df-3an 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃𝑦 ∈ ℤ) ↔ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
195193, 194sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃𝑦 ∈ ℤ))
196 ltoddhalfle 16243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
197195, 196syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (𝑦 < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
198197exbiri 809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
199198com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
200189, 199biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
201200a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐻 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))))
2022013imp 1111 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
203149, 202sylbi 216 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
204203com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
2052043impia 1117 . . . . . . . . . 10 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 < (𝑃 / 2))
206188, 205eqbrtrd 5127 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2))
207206iftrued 4494 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))) = ((𝑦 / 2) · 2))
208207, 188eqtr2d 2777 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))))
209175, 181, 208rspcedvd 3583 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2102093exp 1119 . . . . 5 (2 ∥ 𝑦 → (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))))
21154, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
212211ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
2131903ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℤ)
214213adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑦 ∈ ℤ)
215212, 214zsubcld 12612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℤ)
216155ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
21767rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
218217adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
219 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℝ)
220216, 218, 2193jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
221220ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
22254, 63, 2213syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
223222adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
224223impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
225 lesub2 11650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦)))
226224, 225syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦)))
22755zcnd 12608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
228 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
229 2cnne0 12363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
230229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
231 divsubdir 11849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
232228, 230, 231mpd3an23 1463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
233232oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − ((𝑃 / 2) − (1 / 2))))
234 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → 𝑃 ∈ ℂ)
235 halfcl 12378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
236 halfcn 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (1 / 2) ∈ ℂ
237236a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
238234, 235, 237subsubd 11540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 / 2) − (1 / 2))) = ((𝑃 − (𝑃 / 2)) + (1 / 2)))
239112oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℂ → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
240233, 238, 2393eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
24154, 227, 2403syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
242241ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
243242breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦) ↔ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦)))
244 prmnn 16550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
245 halfre 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 / 2) ∈ ℝ
246245a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
247 nngt0 12184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < 𝑃)
24871a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
249 divgt0 12023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑃 / 2))
250100, 247, 248, 249syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < (𝑃 / 2))
251 halfgt0 12369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 < (1 / 2)
252251a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < (1 / 2))
253101, 246, 250, 252addgt0d 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
25454, 244, 2533syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
255254ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
256 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
257 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℝ)
258257rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
259245a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
260258, 259readdcld 11184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
261 resubcl 11465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
262261ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
263256, 260, 2623jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ))
264263ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
265155, 264syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
266265adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
267266com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
26854, 63, 2673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
269268adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
270269impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ))
271 ltletr 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ) → ((0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦)) → 0 < (𝑃𝑦)))
272270, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦)) → 0 < (𝑃𝑦)))
273255, 272mpand 693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦) → 0 < (𝑃𝑦)))
274243, 273sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦) → 0 < (𝑃𝑦)))
275226, 274sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 0 < (𝑃𝑦)))
276275ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 0 < (𝑃𝑦))))
277276com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃𝑦))))
278189, 277biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦𝐻 → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃𝑦))))
2792783impia 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃𝑦)))
280279impcom 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 0 < (𝑃𝑦))
281 elnnz 12509 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑦) ∈ ℕ ↔ ((𝑃𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃𝑦)))
282215, 280, 281sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℕ)
28323adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
284 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ¬ 2 ∥ 𝑦)
285284, 213anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦))
286 omoe 16246 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → 2 ∥ (𝑃𝑦))
287283, 285, 286syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 2 ∥ (𝑃𝑦))
288 nnehalf 16261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑦) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑃𝑦)) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ)
289282, 287, 288syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ)
290 simpr2 1195 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝐻 ∈ ℕ)
291 1red 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 1 ∈ ℝ)
2921553ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ)
293292adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ)
29454, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
295294ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑃 ∈ ℝ)
296 nnge1 12181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
2972963ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 1 ≤ 𝑦)
298297adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 1 ≤ 𝑦)
299291, 293, 295, 298lesub2dd 11772 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ≤ (𝑃 − 1))
300295, 293resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
30154, 63, 673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
302301ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
30371a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
304 lediv1 12020 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
305300, 302, 303, 304syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
306299, 305mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
30714breq2i 5113 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻 ↔ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
308306, 307sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻)
309289, 290, 3083jca 1128 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻))
310309ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → (((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻)))
311 elfz1b 13510 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻) ↔ (((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻))
312310, 149, 3113imtr4g 295 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻)))
313312ex 413 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))))
31419, 313syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))))
3153143imp21 1114 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))
316 oveq1 7364 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → (𝑥 · 2) = (((𝑃𝑦) / 2) · 2))
317316breq1d 5115 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2)))
318316oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))
319317, 316, 318ifbieq12d 4514 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2))))
320319eqeq2d 2747 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))))
321320adantl 482 . . . . . . 7 (((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))))
32219, 54, 2273syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3233223ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℂ)
3241833ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 ∈ ℂ)
325323, 324subcld 11512 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℂ)
326 2cnd 12231 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
327186a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ≠ 0)
328325, 326, 327divcan1d 11932 . . . . . . . . . 10 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (((𝑃𝑦) / 2) · 2) = (𝑃𝑦))
329 zre 12503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
330 halfge0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 ≤ (1 / 2)
331 rehalfcl 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
332331adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
333332, 259subge02d 11747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 / 2) ↔ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)))
334330, 333mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2))
335 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
336245a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
337331, 336resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
338337adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
339 letr 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
340335, 338, 332, 339syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
341334, 340mpan2d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
34280adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℂ)
343 1cnd 11150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
344229a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
345342, 343, 344, 231syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
346345breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2))))
347 lesub 11634 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2))))
348332, 257, 335, 347syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2))))
349258, 262lenltd 11301 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
350 2cnd 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
351186a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑃 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
35280, 350, 351divcan1d 11932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) · 2) = 𝑃)
353352eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 = ((𝑃 / 2) · 2))
354353oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (((𝑃 / 2) · 2) − (𝑃 / 2)))
355331recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
356355, 350mulcomd 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) · 2) = (2 · (𝑃 / 2)))
357356oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → (((𝑃 / 2) · 2) − (𝑃 / 2)) = ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)))
358350, 355mulsubfacd 11616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℝ → ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)) = ((2 − 1) · (𝑃 / 2)))
359 2m1e1 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (2 − 1) = 1
360359a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ ℝ → (2 − 1) = 1)
361360oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℝ → ((2 − 1) · (𝑃 / 2)) = (1 · (𝑃 / 2)))
362355mulid2d 11173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℝ → (1 · (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
363358, 361, 3623eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
364354, 357, 3633eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
365364adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
366365breq2d 5117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2)) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
367348, 349, 3663bitr3d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
368341, 346, 3673imtr4d 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
369368ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
370155, 369syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
371370com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
372329, 371syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
37354, 55, 3723syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
37419, 373syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
375374adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
376375com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
377189, 376biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
378377a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐻 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))))
3793783imp 1111 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
380379com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
381149, 380biimtrid 241 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
3823813impia 1117 . . . . . . . . . 10 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))
383328, 382eqnbrtrd 5123 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ¬ (((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2))
384383iffalsed 4497 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2))) = (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))
385328oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)) = (𝑃 − (𝑃𝑦)))
386322, 183anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
3873863adant1 1130 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
388 nncan 11430 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑃 − (𝑃𝑦)) = 𝑦)
389387, 388syl 17 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑃𝑦)) = 𝑦)
390384, 385, 3893eqtrrd 2781 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2))))
391315, 321, 390rspcedvd 3583 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
3923913exp 1119 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))))
393210, 392pm2.61i 182 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
394148, 393impbid 211 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
3953, 394bitrid 282 . 2 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝑅𝑦 ∈ (1...𝐻)))
396395eqrdv 2734 1 (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  ran crn 5634  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  cz 12499  +crp 12915  ...cfz 13424  cdvds 16136  cprime 16547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ioo 13268  df-fz 13425  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-prm 16548
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1  26714
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