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Theorem gausslemma2dlem1a 27424
Description: Lemma for gausslemma2dlem1 27425. (Contributed by AV, 1-Jul-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
gausslemma2d.p (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
gausslemma2d.h 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
gausslemma2d.r 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
Assertion
Ref Expression
gausslemma2dlem1a (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐻   𝑥,𝑃   𝜑,𝑥
Allowed substitution hint:   𝑅(𝑥)

Proof of Theorem gausslemma2dlem1a
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gausslemma2d.r . . . . 5 𝑅 = (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↦ if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
21elrnmpt 5972 . . . 4 (𝑦 ∈ V → (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
32elv 3483 . . 3 (𝑦 ∈ ran 𝑅 ↔ ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
4 iftrue 4537 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑥 · 2))
54eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑥 · 2)))
65adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑥 · 2)))
7 elfz1b 13630 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻))
8 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℕ)
9 2nn 12337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 ∈ ℕ
109a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℕ)
118, 10nnmulcld 12317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
12113ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
13123ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑥 · 2) ∈ ℕ)
14 gausslemma2d.h . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝐻 = ((𝑃 − 1) / 2)
1514eleq1i 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐻 ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
1615biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐻 ∈ ℕ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
17163ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
18173ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
19 gausslemma2d.p . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
20 nnoddn2prm 16845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
21 nnz 12632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℤ)
2221anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
2320, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
24 nnz 12632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℤ)
25 2z 12647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2 ∈ ℤ
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 ∈ ℕ → 2 ∈ ℤ)
2724, 26zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
28273ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
2923, 28anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
30 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) ↔ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
3129, 30sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ (𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
3231ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ)))
3319, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ)))
3433impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
35 ltoddhalfle 16395 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
3736biimp3a 1468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
3813, 18, 373jca 1127 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) ∧ 𝜑 ∧ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
39383exp 1118 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝜑 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))))
407, 39sylbi 217 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝜑 → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))))
4140impcom 407 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))))
4241impcom 407 . . . . . . . . 9 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
4314oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 (1...𝐻) = (1...((𝑃 − 1) / 2))
4443eleq2i 2831 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 · 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
45 elfz1b 13630 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 · 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
4644, 45bitri 275 . . . . . . . . 9 ((𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑥 · 2) ∈ ℕ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ ∧ (𝑥 · 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
4742, 46sylibr 234 . . . . . . . 8 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻))
48 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑥 · 2) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑥 · 2) ∈ (1...𝐻)))
4947, 48syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = (𝑥 · 2) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
506, 49sylbid 240 . . . . . 6 (((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
51 iffalse 4540 . . . . . . . . 9 (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = (𝑃 − (𝑥 · 2)))
5251eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2))))
5352adantr 480 . . . . . . 7 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2))))
54 eldifi 4141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℙ)
55 prmz 16709 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
5619, 54, 553syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑃 ∈ ℤ)
5756ad2antrl 728 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 𝑃 ∈ ℤ)
58 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 𝑥 ∈ ℤ)
5925a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 2 ∈ ℤ)
6058, 59zmulcld 12726 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
6160ad2antll 729 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
6257, 61zsubcld 12725 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ)
6355zred 12720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℝ)
6414breq2i 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐻𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
65 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ)
6665adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
67 peano2rem 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
6867adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
69 2re 12338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
70 2pos 12367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 0 < 2
7169, 70pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
73 lemuldiv 12146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
7466, 68, 72, 73syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
7564, 74bitr4id 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥𝐻 ↔ (𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1)))
7611nnred 12279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 ∈ ℕ → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
7776adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
78 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℝ)
7977, 68, 78lesub2d 11869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) ↔ (𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
80 recn 11243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 ∈ ℂ)
81 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑃 ∈ ℝ → 1 ∈ ℂ)
8280, 81nncand 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 − 1)) = 1)
8382adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − (𝑃 − 1)) = 1)
8483breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ↔ 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8584biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 − 1)) ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8679, 85sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑥 · 2) ≤ (𝑃 − 1) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8775, 86sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑥𝐻 → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
8887impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
89883adant2 1130 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑥𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
907, 89sylbi 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑃 ∈ ℝ → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9190com12 32 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9219, 54, 63, 914syl 19 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9392imp 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)))
9493adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2)))
95 elnnz1 12641 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ ↔ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ ∧ 1 ≤ (𝑃 − (𝑥 · 2))))
9662, 94, 95sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ)
977simp2bi 1145 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → 𝐻 ∈ ℕ)
9897ad2antll 729 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → 𝐻 ∈ ℕ)
99 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℝ)
10099rehalfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
10260zred 12720 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
103 lenlt 11337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ ¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)))
104101, 102, 103syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ ¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2)))
10522, 60anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
106105, 30sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ))
107 halfleoddlt 16396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℤ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
109108biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2))
110 nncn 12272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℕ → 𝑃 ∈ ℂ)
111 subhalfhalf 12498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑃 ∈ ℕ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
113112breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℕ → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
114113ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 / 2) < (𝑥 · 2)))
115109, 114mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2))
11699ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℝ)
117100ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
118102adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑥 · 2) ∈ ℝ)
119116, 117, 1183jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ))
120119adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ))
121 ltsub23 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ (𝑥 · 2) ∈ ℝ) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2)))
122120, 121syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) < (𝑥 · 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2)))
123115, 122mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2))
12421ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
125 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ¬ 2 ∥ 𝑃)
12660adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑥 · 2) ∈ ℤ)
127124, 126zsubcld 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ)
128124, 125, 1273jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ))
129128adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ))
130 ltoddhalfle 16395 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃 ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℤ) → ((𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
131129, 130syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → ((𝑃 − (𝑥 · 2)) < (𝑃 / 2) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
132123, 131mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) ∧ (𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2)) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
133132ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
13414breq2i 5156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻 ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
135133, 134imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑥 · 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
136104, 135sylbird 260 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
137136ex 412 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)))
13819, 20, 1373syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...𝐻) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)))
139138imp 406 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
140139impcom 407 . . . . . . . . 9 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻)
141 elfz1b 13630 . . . . . . . . 9 ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ≤ 𝐻))
14296, 98, 140, 141syl3anbrc 1342 . . . . . . . 8 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻))
143 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2)) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑃 − (𝑥 · 2)) ∈ (1...𝐻)))
144142, 143syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = (𝑃 − (𝑥 · 2)) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
14553, 144sylbid 240 . . . . . 6 ((¬ (𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ∧ (𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻))) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
14650, 145pm2.61ian 812 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...𝐻)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
147146rexlimdva 3153 . . . 4 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) → 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
148 elfz1b 13630 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (1...𝐻) ↔ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻))
149 simp1 1135 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℕ)
150 simpl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 2 ∥ 𝑦)
151 nnehalf 16413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
152149, 150, 151syl2anr 597 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑦 / 2) ∈ ℕ)
153 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝐻 ∈ ℕ)
154 nnre 12271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
155154ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → 𝑦 ∈ ℝ)
156 nnrp 13044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐻 ∈ ℕ → 𝐻 ∈ ℝ+)
157156adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → 𝐻 ∈ ℝ+)
158157adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → 𝐻 ∈ ℝ+)
159 2rp 13037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 ∈ ℝ+
160 1le2 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1 ≤ 2
161159, 160pm3.2i 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2)
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2))
163 ledivge1le 13104 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐻 ∈ ℝ+ ∧ (2 ∈ ℝ+ ∧ 1 ≤ 2)) → (𝑦𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
164155, 158, 162, 163syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (𝑦𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
165164ex 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦𝐻 → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
166165com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦𝐻 → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
1671663impia 1116 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
168167impcom 407 . . . . . . . . . . . 12 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)
169152, 153, 1683jca 1127 . . . . . . . . . . 11 (((2 ∥ 𝑦𝜑) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
170169ex 412 . . . . . . . . . 10 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
171148, 170biimtrid 242 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻)))
1721713impia 1116 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
173 elfz1b 13630 . . . . . . . 8 ((𝑦 / 2) ∈ (1...𝐻) ↔ ((𝑦 / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ (𝑦 / 2) ≤ 𝐻))
174172, 173sylibr 234 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑦 / 2) ∈ (1...𝐻))
175 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑥 · 2) = ((𝑦 / 2) · 2))
176175breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 / 2) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ ((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2)))
177175oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))
178176, 175, 177ifbieq12d 4559 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑦 / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))))
179178eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑦 / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))))
180179adantl 481 . . . . . . 7 (((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = (𝑦 / 2)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2)))))
181 elfzelz 13561 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 ∈ ℤ)
182181zcnd 12721 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 ∈ ℂ)
1831823ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 ∈ ℂ)
184 2cnd 12342 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
185 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
186185a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ≠ 0)
187183, 184, 186divcan1d 12042 . . . . . . . . . 10 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) · 2) = 𝑦)
18814breq2i 5156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐻𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
189 nnz 12632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℤ)
19019, 20, 223syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
191190adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
192189, 191anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
193 df-3an 1088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃𝑦 ∈ ℤ) ↔ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ 𝑦 ∈ ℤ))
194192, 193sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃𝑦 ∈ ℤ))
195 ltoddhalfle 16395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃𝑦 ∈ ℤ) → (𝑦 < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
196194, 195syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ (2 ∥ 𝑦𝜑)) → (𝑦 < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
197196exbiri 811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℕ → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
198197com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
199188, 198biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2))))
200199a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐻 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))))
2012003imp 1110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
202148, 201sylbi 217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((2 ∥ 𝑦𝜑) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
203202com12 32 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → 𝑦 < (𝑃 / 2)))
2042033impia 1116 . . . . . . . . . 10 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 < (𝑃 / 2))
205187, 204eqbrtrd 5170 . . . . . . . . 9 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2))
206205iftrued 4539 . . . . . . . 8 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))) = ((𝑦 / 2) · 2))
207206, 187eqtr2d 2776 . . . . . . 7 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 = if(((𝑦 / 2) · 2) < (𝑃 / 2), ((𝑦 / 2) · 2), (𝑃 − ((𝑦 / 2) · 2))))
208174, 180, 207rspcedvd 3624 . . . . . 6 ((2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
2092083exp 1118 . . . . 5 (2 ∥ 𝑦 → (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))))
21054, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℤ)
211210ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑃 ∈ ℤ)
2121893ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℤ)
213212adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑦 ∈ ℤ)
214211, 213zsubcld 12725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℤ)
215154ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
21667rehalfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
217216adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ)
218 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → 𝑃 ∈ ℝ)
219215, 217, 2183jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
220219ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
22154, 63, 2203syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
222221adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ)))
223222impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ))
224 lesub2 11756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦)))
225223, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦)))
22655zcnd 12721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
227 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℂ → 1 ∈ ℂ)
228 2cnne0 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℂ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
230 divsubdir 11959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
231227, 229, 230mpd3an23 1462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
232231oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = (𝑃 − ((𝑃 / 2) − (1 / 2))))
233 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → 𝑃 ∈ ℂ)
234 halfcl 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
235 halfcn 12479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (1 / 2) ∈ ℂ
236235a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℂ)
237233, 234, 236subsubd 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 / 2) − (1 / 2))) = ((𝑃 − (𝑃 / 2)) + (1 / 2)))
238111oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℂ → ((𝑃 − (𝑃 / 2)) + (1 / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
239232, 237, 2383eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℂ → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
24054, 226, 2393syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
241240ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
242241breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦) ↔ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦)))
243 prmnn 16708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
244 halfre 12478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (1 / 2) ∈ ℝ
245244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
246 nngt0 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < 𝑃)
24771a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℕ → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
248 divgt0 12134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑃 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑃) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < (𝑃 / 2))
24999, 246, 247, 248syl21anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < (𝑃 / 2))
250 halfgt0 12480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 0 < (1 / 2)
251250a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < (1 / 2))
252100, 245, 249, 251addgt0d 11836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑃 ∈ ℕ → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
25354, 243, 2523syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
254253ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → 0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)))
255 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 0 ∈ ℝ)
256 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℝ)
257256rehalfcld 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
258244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (1 / 2) ∈ ℝ)
259257, 258readdcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ)
260 resubcl 11571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
261260ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
262255, 259, 2613jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ))
263262ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
264154, 263syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
265264adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑃 ∈ ℝ → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
266265com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
26754, 63, 2663syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
268267adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ)))
269268impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ))
270 ltletr 11351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃𝑦) ∈ ℝ) → ((0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦)) → 0 < (𝑃𝑦)))
271269, 270syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((0 < ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦)) → 0 < (𝑃𝑦)))
272254, 271mpand 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (((𝑃 / 2) + (1 / 2)) ≤ (𝑃𝑦) → 0 < (𝑃𝑦)))
273242, 272sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → ((𝑃 − ((𝑃 − 1) / 2)) ≤ (𝑃𝑦) → 0 < (𝑃𝑦)))
274225, 273sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) ∧ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 0 < (𝑃𝑦)))
275274ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → 0 < (𝑃𝑦))))
276275com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃𝑦))))
277188, 276biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ) → (𝑦𝐻 → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃𝑦))))
2782773impia 1116 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → 0 < (𝑃𝑦)))
279278impcom 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 0 < (𝑃𝑦))
280 elnnz 12621 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃𝑦) ∈ ℕ ↔ ((𝑃𝑦) ∈ ℤ ∧ 0 < (𝑃𝑦)))
281214, 279, 280sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℕ)
28223adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃))
283 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ¬ 2 ∥ 𝑦)
284283, 212anim12ci 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦))
285 omoe 16398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑃) ∧ (𝑦 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦)) → 2 ∥ (𝑃𝑦))
286282, 284, 285syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 2 ∥ (𝑃𝑦))
287 nnehalf 16413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑦) ∈ ℕ ∧ 2 ∥ (𝑃𝑦)) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ)
288281, 286, 287syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ)
289 simpr2 1194 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝐻 ∈ ℕ)
290 1red 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 1 ∈ ℝ)
2911543ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 𝑦 ∈ ℝ)
292291adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑦 ∈ ℝ)
29354, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 𝑃 ∈ ℝ)
294293ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 𝑃 ∈ ℝ)
295 nnge1 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝑦)
2962953ad2ant1 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → 1 ≤ 𝑦)
297296adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → 1 ≤ 𝑦)
298290, 292, 294, 297lesub2dd 11878 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ≤ (𝑃 − 1))
299294, 292resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℝ)
30054, 63, 673syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
301300ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
30271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
303 lediv1 12131 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑃𝑦) ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝑃𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
304299, 301, 302, 303syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) ≤ (𝑃 − 1) ↔ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
305298, 304mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
30614breq2i 5156 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻 ↔ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
307305, 306sylibr 234 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻)
308288, 289, 3073jca 1127 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) ∧ (𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻)) → (((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻))
309308ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → (((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻)))
310 elfz1b 13630 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻) ↔ (((𝑃𝑦) / 2) ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ ((𝑃𝑦) / 2) ≤ 𝐻))
311309, 148, 3103imtr4g 296 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ∧ ¬ 2 ∥ 𝑦) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻)))
312311ex 412 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))))
31319, 312syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))))
3143133imp21 1113 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ((𝑃𝑦) / 2) ∈ (1...𝐻))
315 oveq1 7438 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → (𝑥 · 2) = (((𝑃𝑦) / 2) · 2))
316315breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → ((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2) ↔ (((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2)))
317315oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → (𝑃 − (𝑥 · 2)) = (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))
318316, 315, 317ifbieq12d 4559 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2))))
319318eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))))
320319adantl 481 . . . . . . 7 (((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) ∧ 𝑥 = ((𝑃𝑦) / 2)) → (𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))))
32119, 54, 2263syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℂ)
3223213ad2ant2 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑃 ∈ ℂ)
3231823ad2ant3 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 ∈ ℂ)
324322, 323subcld 11618 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃𝑦) ∈ ℂ)
325 2cnd 12342 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ∈ ℂ)
326185a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 2 ≠ 0)
327324, 325, 326divcan1d 12042 . . . . . . . . . 10 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (((𝑃𝑦) / 2) · 2) = (𝑃𝑦))
328 zre 12615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
329 halfge0 12481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 0 ≤ (1 / 2)
330 rehalfcl 12490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
331330adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 / 2) ∈ ℝ)
332331, 258subge02d 11853 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (0 ≤ (1 / 2) ↔ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)))
333329, 332mpbii 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2))
334 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
335244a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → (1 / 2) ∈ ℝ)
336330, 335resubcld 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
337336adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ)
338 letr 11353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑃 / 2) ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
339334, 337, 331, 338syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ∧ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) ≤ (𝑃 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
340333, 339mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2)) → 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
34180adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 𝑃 ∈ ℂ)
342 1cnd 11254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
343228a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
344341, 342, 343, 230syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 − 1) / 2) = ((𝑃 / 2) − (1 / 2)))
345344breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) ↔ 𝑦 ≤ ((𝑃 / 2) − (1 / 2))))
346 lesub 11740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝑃 / 2) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2))))
347331, 256, 334, 346syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃𝑦) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2))))
348257, 261lenltd 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → ((𝑃 / 2) ≤ (𝑃𝑦) ↔ ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
349 2cnd 12342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ ℝ → 2 ∈ ℂ)
350185a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑃 ∈ ℝ → 2 ≠ 0)
35180, 349, 350divcan1d 12042 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) · 2) = 𝑃)
352351eqcomd 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → 𝑃 = ((𝑃 / 2) · 2))
353352oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (((𝑃 / 2) · 2) − (𝑃 / 2)))
354330recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 / 2) ∈ ℂ)
355354, 349mulcomd 11280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → ((𝑃 / 2) · 2) = (2 · (𝑃 / 2)))
356355oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → (((𝑃 / 2) · 2) − (𝑃 / 2)) = ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)))
357349, 354mulsubfacd 11722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)) = ((2 − 1) · (𝑃 / 2)))
358 2m1e1 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (2 − 1) = 1
359358a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑃 ∈ ℝ → (2 − 1) = 1)
360359oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → ((2 − 1) · (𝑃 / 2)) = (1 · (𝑃 / 2)))
361354mullidd 11277 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑃 ∈ ℝ → (1 · (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
362357, 360, 3613eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑃 ∈ ℝ → ((2 · (𝑃 / 2)) − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
363353, 356, 3623eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
364363adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑃 − (𝑃 / 2)) = (𝑃 / 2))
365364breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ (𝑃 − (𝑃 / 2)) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
366347, 348, 3653bitr3d 309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2) ↔ 𝑦 ≤ (𝑃 / 2)))
367340, 345, 3663imtr4d 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
368367ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
369154, 368syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
370369com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑃 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
371328, 370syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
37219, 54, 55, 3714syl 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
373372adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → (𝑦 ∈ ℕ → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
374373com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦 ≤ ((𝑃 − 1) / 2) → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
375188, 374biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))))
376375a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℕ → (𝐻 ∈ ℕ → (𝑦𝐻 → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))))
3773763imp 1110 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
378377com12 32 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐻 ∈ ℕ ∧ 𝑦𝐻) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
379148, 378biimtrid 242 . . . . . . . . . . 11 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑) → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2)))
3803793impia 1116 . . . . . . . . . 10 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ¬ (𝑃𝑦) < (𝑃 / 2))
381327, 380eqnbrtrd 5166 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ¬ (((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2))
382381iffalsed 4542 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2))) = (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)))
383327oveq2d 7447 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2)) = (𝑃 − (𝑃𝑦)))
384321, 182anim12i 613 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
3853843adant1 1129 . . . . . . . . 9 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
386 nncan 11536 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑃 − (𝑃𝑦)) = 𝑦)
387385, 386syl 17 . . . . . . . 8 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → (𝑃 − (𝑃𝑦)) = 𝑦)
388382, 383, 3873eqtrrd 2780 . . . . . . 7 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → 𝑦 = if((((𝑃𝑦) / 2) · 2) < (𝑃 / 2), (((𝑃𝑦) / 2) · 2), (𝑃 − (((𝑃𝑦) / 2) · 2))))
389314, 320, 388rspcedvd 3624 . . . . . 6 ((¬ 2 ∥ 𝑦𝜑𝑦 ∈ (1...𝐻)) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))
3903893exp 1118 . . . . 5 (¬ 2 ∥ 𝑦 → (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))))))
391209, 390pm2.61i 182 . . . 4 (𝜑 → (𝑦 ∈ (1...𝐻) → ∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2)))))
392147, 391impbid 212 . . 3 (𝜑 → (∃𝑥 ∈ (1...𝐻)𝑦 = if((𝑥 · 2) < (𝑃 / 2), (𝑥 · 2), (𝑃 − (𝑥 · 2))) ↔ 𝑦 ∈ (1...𝐻)))
3933, 392bitrid 283 . 2 (𝜑 → (𝑦 ∈ ran 𝑅𝑦 ∈ (1...𝐻)))
394393eqrdv 2733 1 (𝜑 → ran 𝑅 = (1...𝐻))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ran crn 5690  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  cz 12611  +crp 13032  ...cfz 13544  cdvds 16287  cprime 16705
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-fz 13545  df-seq 14040  df-exp 14100  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-prm 16706
This theorem is referenced by:  gausslemma2dlem1  27425
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