MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negelrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negelrp 12062
Description: Elementhood of a negation in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
negelrp (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 0))

Proof of Theorem negelrp
StepHypRef Expression
1 elrp 12030 . 2 (-𝐴 ∈ ℝ+ ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
2 lt0neg1 10788 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
3 renegcl 10598 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
43biantrurd 528 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
52, 4bitr2d 271 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ↔ 𝐴 < 0))
61, 5syl5bb 274 1 (𝐴 ∈ ℝ → (-𝐴 ∈ ℝ+𝐴 < 0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wcel 2155   class class class wbr 4809  cr 10188  0cc0 10189   < clt 10328  -cneg 10521  +crp 12028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-rp 12029
This theorem is referenced by:  mul2lt0rlt0  12130  signsply0  31011  negelrpd  40180
  Copyright terms: Public domain W3C validator