Theorem negelrp 13185

Description: Elementhood of a negation in the positive real numbers. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
negelrp	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ( -𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 𝐴 < 0))

Proof of Theorem negelrp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrp 13152	. 2 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ+ ↔ ( -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴))
2		lt0neg1 11852	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
3		renegcl 11651	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
4	3	biantrurd 542	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < -𝐴 ↔ ( -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)))
5	2, 4	bitr2d 283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (( -𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴) ↔ 𝐴 < 0))
6	1, 5	bitrid 286	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ( -𝐴 ∈ ℝ+ ↔ 𝐴 < 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ℝcr 11229  0cc0 11230   < clt 11373   -cneg 11572  ℝ⁺crp 13150

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-rp 13151

This theorem is used by:  negelrpd  13186  mul2lt0rlt0  13254  constrsqrtcl  34494  signsply0  35263