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Theorem neibastop2lem 36362
Description: Lemma for neibastop2 36363. (Contributed by Jeff Hankins, 12-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
neibastop1.1 (𝜑𝑋𝑉)
neibastop1.2 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
neibastop1.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑤 ∈ (𝐹𝑥))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 (𝑣𝑤)) ≠ ∅)
neibastop1.4 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
neibastop1.5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
neibastop1.6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
neibastop2.p (𝜑𝑃𝑋)
neibastop2.n (𝜑𝑁𝑋)
neibastop2.f (𝜑𝑈 ∈ (𝐹𝑃))
neibastop2.u (𝜑𝑈𝑁)
neibastop2.g 𝐺 = (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω)
neibastop2.s 𝑆 = {𝑦𝑋 ∣ ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅}
Assertion
Ref Expression
neibastop2lem (𝜑 → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))
Distinct variable groups:   𝑡,𝑓,𝑣,𝑦,𝑧,𝐺   𝑣,𝑢,𝑥,𝑦,𝑧,𝐽   𝑓,𝑜,𝑢,𝑤,𝑥,𝑃,𝑡,𝑣,𝑦,𝑧   𝑓,𝑁,𝑜,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑓,𝑜,𝑡,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑈,𝑓,𝑥,𝑦,𝑧   𝑓,𝑎,𝑜,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧,𝐹   𝜑,𝑓,𝑜,𝑡,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧   𝑋,𝑎,𝑓,𝑜,𝑡,𝑢,𝑣,𝑤,𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑢,𝑎)   𝑃(𝑎)   𝑆(𝑧,𝑤,𝑎)   𝑈(𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑜,𝑎)   𝐺(𝑥,𝑤,𝑢,𝑜,𝑎)   𝐽(𝑤,𝑡,𝑓,𝑜,𝑎)   𝑁(𝑎)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢,𝑡,𝑓,𝑜,𝑎)

Proof of Theorem neibastop2lem
Dummy variables 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 neibastop2.s . . . . 5 𝑆 = {𝑦𝑋 ∣ ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅}
2 ssrab2 4079 . . . . 5 {𝑦𝑋 ∣ ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅} ⊆ 𝑋
31, 2eqsstri 4029 . . . 4 𝑆𝑋
4 neibastop1.1 . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
5 elpw2g 5332 . . . . 5 (𝑋𝑉 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋𝑆𝑋))
64, 5syl 17 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋𝑆𝑋))
73, 6mpbiri 258 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ 𝒫 𝑋)
8 fveq2 6905 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑥 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑥))
98ineq1d 4218 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))
109neeq1d 2999 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑥 → (((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
1110rexbidv 3178 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑥 → (∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
1211, 1elrab2 3694 . . . . 5 (𝑥𝑆 ↔ (𝑥𝑋 ∧ ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
13 frfnom 8476 . . . . . . . . . 10 (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω) Fn ω
14 neibastop2.g . . . . . . . . . . 11 𝐺 = (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω)
1514fneq1i 6664 . . . . . . . . . 10 (𝐺 Fn ω ↔ (rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω) Fn ω)
1613, 15mpbir 231 . . . . . . . . 9 𝐺 Fn ω
17 fnunirn 7275 . . . . . . . . 9 (𝐺 Fn ω → (𝑓 ran 𝐺 ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)))
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑓 ran 𝐺 ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺𝑘))
19 n0 4352 . . . . . . . . . 10 (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))
20 inss1 4236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ⊆ (𝐹𝑥)
2120sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑥))
22 neibastop1.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
2322anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑣 ∈ (𝐹𝑥)) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
2421, 23sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
2524adantrl 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ∃𝑡 ∈ (𝐹𝑥)∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
26 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑡 ∈ (𝐹𝑥))
27 fvssunirn 6938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐹𝑥) ⊆ ran 𝐹
28 neibastop1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐹:𝑋⟶(𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
2928frnd 6743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ (𝒫 𝒫 𝑋 ∖ {∅}))
3029difss2d 4138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋)
31 sspwuni 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑋 ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
3230, 31sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
3332ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ran 𝐹 ⊆ 𝒫 𝑋)
3427, 33sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → (𝐹𝑥) ⊆ 𝒫 𝑋)
3534sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝑋)
3635elpwid 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑥)) → 𝑡𝑋)
3736sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑡) → 𝑦𝑋)
3837adantrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑦𝑡 ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑦𝑋)
39 simprlr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝑓 ∈ (𝐺𝑘))
40 rspe 3248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑥𝑋𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)) → ∃𝑥𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))
4140ad2ant2l 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ∃𝑥𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))
42 eliun 4994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑣 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
43 pweq 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑧 = 𝑓 → 𝒫 𝑧 = 𝒫 𝑓)
4443ineq2d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑧 = 𝑓 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))
4544eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝑧 = 𝑓 → (𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)))
4645rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑧 = 𝑓 → (∃𝑥𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)))
4742, 46bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑧 = 𝑓 → (𝑣 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ ∃𝑥𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)))
4847rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ ∃𝑥𝑋 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓)) → ∃𝑧 ∈ (𝐺𝑘)𝑣 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
4939, 41, 48syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ∃𝑧 ∈ (𝐺𝑘)𝑣 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
50 eliun 4994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑣 𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ↔ ∃𝑧 ∈ (𝐺𝑘)𝑣 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
5149, 50sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝑣 𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
52 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝜑)
53 simprll 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝑘 ∈ ω)
54 fvssunirn 6938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝐺𝑘) ⊆ ran 𝐺
55 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑛 = ∅ → (𝐺𝑛) = (𝐺‘∅))
5614fveq1i 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝐺‘∅) = ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω)‘∅)
57 snex 5435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 {𝑈} ∈ V
58 fr0g 8477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ({𝑈} ∈ V → ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω)‘∅) = {𝑈})
5957, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((rec((𝑎 ∈ V ↦ 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧)), {𝑈}) ↾ ω)‘∅) = {𝑈}
6056, 59eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝐺‘∅) = {𝑈}
6155, 60eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑛 = ∅ → (𝐺𝑛) = {𝑈})
6261sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑛 = ∅ → ((𝐺𝑛) ⊆ 𝒫 𝑈 ↔ {𝑈} ⊆ 𝒫 𝑈))
63 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑛 = 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺𝑘))
6463sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑛 = 𝑘 → ((𝐺𝑛) ⊆ 𝒫 𝑈 ↔ (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈))
65 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑛 = suc 𝑘 → (𝐺𝑛) = (𝐺‘suc 𝑘))
6665sseq1d 4014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑛 = suc 𝑘 → ((𝐺𝑛) ⊆ 𝒫 𝑈 ↔ (𝐺‘suc 𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈))
67 neibastop2.f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝜑𝑈 ∈ (𝐹𝑃))
68 pwidg 4619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑈 ∈ (𝐹𝑃) → 𝑈 ∈ 𝒫 𝑈)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝜑𝑈 ∈ 𝒫 𝑈)
7069snssd 4808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝜑 → {𝑈} ⊆ 𝒫 𝑈)
71 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → 𝑘 ∈ ω)
7267adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → 𝑈 ∈ (𝐹𝑃))
7372pwexd 5378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → 𝒫 𝑈 ∈ V)
74 inss2 4237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑧
75 elpwi 4606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 (𝑧 ∈ 𝒫 𝑈𝑧𝑈)
7675adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 𝑈) → 𝑧𝑈)
7776sspwd 4612 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 𝑈) → 𝒫 𝑧 ⊆ 𝒫 𝑈)
7874, 77sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈)
7978ralrimivw 3149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 𝑈) → ∀𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈)
80 iunss 5044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 ( 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈 ↔ ∀𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈)
8179, 80sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝜑𝑧 ∈ 𝒫 𝑈) → 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈)
8281ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑈 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈)
83 ssralv 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 ((𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈 → (∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑈 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈 → ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈))
8483adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 ((𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈) → (∀𝑧 ∈ 𝒫 𝑈 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈 → ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈))
8582, 84mpan9 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈)
86 iunss 5044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 ( 𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈)
8785, 86sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ⊆ 𝒫 𝑈)
8873, 87ssexd 5323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → 𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ∈ V)
89 iuneq1 5007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑦 = 𝑎 𝑧𝑦 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) = 𝑧𝑎 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
90 iuneq1 5007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (𝑦 = (𝐺𝑘) → 𝑧𝑦 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) = 𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
9114, 89, 90frsucmpt2 8481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧) ∈ V) → (𝐺‘suc 𝑘) = 𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
9271, 88, 91syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → (𝐺‘suc 𝑘) = 𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
9392, 87eqsstrd 4017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝜑 ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)) → (𝐺‘suc 𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)
9493expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝜑𝑘 ∈ ω) → ((𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈 → (𝐺‘suc 𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈))
9594expcom 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑘 ∈ ω → (𝜑 → ((𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈 → (𝐺‘suc 𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)))
9662, 64, 66, 70, 95finds2 7921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺𝑛) ⊆ 𝒫 𝑈))
97 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝐺𝑛) ∈ V
9897elpw 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐺𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈 ↔ (𝐺𝑛) ⊆ 𝒫 𝑈)
9996, 98imbitrrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 ∈ ω → (𝜑 → (𝐺𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈))
10099com12 32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝜑 → (𝑛 ∈ ω → (𝐺𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈))
101100ralrimiv 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ω (𝐺𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈)
102 ffnfv 7138 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝐺:ω⟶𝒫 𝒫 𝑈 ↔ (𝐺 Fn ω ∧ ∀𝑛 ∈ ω (𝐺𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈))
10316, 102mpbiran 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝐺:ω⟶𝒫 𝒫 𝑈 ↔ ∀𝑛 ∈ ω (𝐺𝑛) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈)
104101, 103sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜑𝐺:ω⟶𝒫 𝒫 𝑈)
105104frnd 6743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜑 → ran 𝐺 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑈)
106 sspwuni 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (ran 𝐺 ⊆ 𝒫 𝒫 𝑈 ran 𝐺 ⊆ 𝒫 𝑈)
107105, 106sylib 218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 ran 𝐺 ⊆ 𝒫 𝑈)
108107ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ran 𝐺 ⊆ 𝒫 𝑈)
10954, 108sstrid 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)
11052, 53, 109, 92syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → (𝐺‘suc 𝑘) = 𝑧 ∈ (𝐺𝑘) 𝑥𝑋 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑧))
11151, 110eleqtrrd 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝑣 ∈ (𝐺‘suc 𝑘))
112 peano2 7913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑘 ∈ ω → suc 𝑘 ∈ ω)
11353, 112syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → suc 𝑘 ∈ ω)
114 fnfvelrn 7099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐺 Fn ω ∧ suc 𝑘 ∈ ω) → (𝐺‘suc 𝑘) ∈ ran 𝐺)
11516, 113, 114sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → (𝐺‘suc 𝑘) ∈ ran 𝐺)
116 elunii 4911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑣 ∈ (𝐺‘suc 𝑘) ∧ (𝐺‘suc 𝑘) ∈ ran 𝐺) → 𝑣 ran 𝐺)
117111, 115, 116syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → 𝑣 ran 𝐺)
118117ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑦𝑡 ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑣 ran 𝐺)
119 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑦𝑡 ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)
120 pweq 4613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑓 = 𝑣 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝑣)
121120ineq2d 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑓 = 𝑣 → ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣))
122121neeq1d 2999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 = 𝑣 → (((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅))
123122rspcev 3621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑣 ran 𝐺 ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅) → ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)
124118, 119, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑦𝑡 ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)
1251reqabi 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝑆 ↔ (𝑦𝑋 ∧ ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
12638, 124, 125sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑥)) ∧ (𝑦𝑡 ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑦𝑆)
127126expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑥)) ∧ 𝑦𝑡) → (((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅ → 𝑦𝑆))
128127ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ 𝑡 ∈ (𝐹𝑥)) → (∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅ → ∀𝑦𝑡 𝑦𝑆))
129128impr 454 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → ∀𝑦𝑡 𝑦𝑆)
130 dfss3 3971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡𝑆 ↔ ∀𝑦𝑡 𝑦𝑆)
131129, 130sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑡𝑆)
132 velpw 4604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ 𝒫 𝑆𝑡𝑆)
133131, 132sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → 𝑡 ∈ 𝒫 𝑆)
134 inelcm 4464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑡 ∈ (𝐹𝑥) ∧ 𝑡 ∈ 𝒫 𝑆) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)
13526, 133, 134syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) ∧ (𝑡 ∈ (𝐹𝑥) ∧ ∀𝑦𝑡 ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑣) ≠ ∅)) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)
13625, 135rexlimddv 3160 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ ((𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) ∧ 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓))) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)
137136expr 456 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘))) → (𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅))
138137exlimdv 1932 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘))) → (∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅))
13919, 138biimtrid 242 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝑋) ∧ (𝑘 ∈ ω ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘))) → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅))
140139rexlimdvaa 3155 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥𝑋) → (∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺𝑘) → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)))
14118, 140biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑓 ran 𝐺 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)))
142141rexlimdv 3152 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → (∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅))
143142expimpd 453 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥𝑋 ∧ ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅) → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅))
14412, 143biimtrid 242 . . . 4 (𝜑 → (𝑥𝑆 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅))
145144ralrimiv 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅)
146 pweq 4613 . . . . . . 7 (𝑜 = 𝑆 → 𝒫 𝑜 = 𝒫 𝑆)
147146ineq2d 4219 . . . . . 6 (𝑜 = 𝑆 → ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) = ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆))
148147neeq1d 2999 . . . . 5 (𝑜 = 𝑆 → (((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅))
149148raleqbi1dv 3337 . . . 4 (𝑜 = 𝑆 → (∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅ ↔ ∀𝑥𝑆 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅))
150 neibastop1.4 . . . 4 𝐽 = {𝑜 ∈ 𝒫 𝑋 ∣ ∀𝑥𝑜 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑜) ≠ ∅}
151149, 150elrab2 3694 . . 3 (𝑆𝐽 ↔ (𝑆 ∈ 𝒫 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑆 ((𝐹𝑥) ∩ 𝒫 𝑆) ≠ ∅))
1527, 145, 151sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝑆𝐽)
153 neibastop2.p . . 3 (𝜑𝑃𝑋)
154 snidg 4659 . . . . . 6 (𝑈 ∈ (𝐹𝑃) → 𝑈 ∈ {𝑈})
15567, 154syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ {𝑈})
156 peano1 7911 . . . . . . 7 ∅ ∈ ω
157 fnfvelrn 7099 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺)
15816, 156, 157mp2an 692 . . . . . 6 (𝐺‘∅) ∈ ran 𝐺
15960, 158eqeltrri 2837 . . . . 5 {𝑈} ∈ ran 𝐺
160 elunii 4911 . . . . 5 ((𝑈 ∈ {𝑈} ∧ {𝑈} ∈ ran 𝐺) → 𝑈 ran 𝐺)
161155, 159, 160sylancl 586 . . . 4 (𝜑𝑈 ran 𝐺)
162 inelcm 4464 . . . . 5 ((𝑈 ∈ (𝐹𝑃) ∧ 𝑈 ∈ 𝒫 𝑈) → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑈) ≠ ∅)
16367, 69, 162syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑈) ≠ ∅)
164 pweq 4613 . . . . . . 7 (𝑓 = 𝑈 → 𝒫 𝑓 = 𝒫 𝑈)
165164ineq2d 4219 . . . . . 6 (𝑓 = 𝑈 → ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑈))
166165neeq1d 2999 . . . . 5 (𝑓 = 𝑈 → (((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑈) ≠ ∅))
167166rspcev 3621 . . . 4 ((𝑈 ran 𝐺 ∧ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑈) ≠ ∅) → ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)
168161, 163, 167syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)
169 fveq2 6905 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑃 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝑃))
170169ineq1d 4218 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑃 → ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) = ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑓))
171170neeq1d 2999 . . . . 5 (𝑦 = 𝑃 → (((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
172171rexbidv 3178 . . . 4 (𝑦 = 𝑃 → (∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
173172, 1elrab2 3694 . . 3 (𝑃𝑆 ↔ (𝑃𝑋 ∧ ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑃) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅))
174153, 168, 173sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝑃𝑆)
175 eluni2 4910 . . . . . . 7 (𝑓 ran 𝐺 ↔ ∃𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑓𝑧)
176 eleq2 2829 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (𝐺𝑘) → (𝑓𝑧𝑓 ∈ (𝐺𝑘)))
177176rexrn 7106 . . . . . . . . 9 (𝐺 Fn ω → (∃𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑓𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)))
17816, 177ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∃𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑓𝑧 ↔ ∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺𝑘))
179104adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑦𝑋) → 𝐺:ω⟶𝒫 𝒫 𝑈)
180179ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝐺𝑘) ∈ 𝒫 𝒫 𝑈)
181180elpwid 4608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝐺𝑘) ⊆ 𝒫 𝑈)
182181sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑈)
183182adantrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑓 ∈ 𝒫 𝑈)
184183elpwid 4608 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑓𝑈)
185 neibastop2.u . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝑁)
186185ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑈𝑁)
187184, 186sstrd 3993 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑓𝑁)
188 n0 4352 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ ↔ ∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓))
189 elin 3966 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ↔ (𝑣 ∈ (𝐹𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))
190 simprrr 781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓)
191190elpwid 4608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑣𝑓)
192 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑦𝑋)
193 neibastop1.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑋𝑣 ∈ (𝐹𝑥))) → 𝑥𝑣)
194193expr 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝑣 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑥𝑣))
195194ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝑣 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑥𝑣))
196195ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → ∀𝑥𝑋 (𝑣 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑥𝑣))
197 simprrl 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑣 ∈ (𝐹𝑦))
198 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑦))
199198eleq2d 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝑣 ∈ (𝐹𝑥) ↔ 𝑣 ∈ (𝐹𝑦)))
200 elequ1 2114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑣𝑦𝑣))
201199, 200imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑣 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑥𝑣) ↔ (𝑣 ∈ (𝐹𝑦) → 𝑦𝑣)))
202201rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝑋 → (∀𝑥𝑋 (𝑣 ∈ (𝐹𝑥) → 𝑥𝑣) → (𝑣 ∈ (𝐹𝑦) → 𝑦𝑣)))
203192, 196, 197, 202syl3c 66 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑦𝑣)
204191, 203sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ (𝑣 ∈ (𝐹𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓))) → 𝑦𝑓)
205204expr 456 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) → ((𝑣 ∈ (𝐹𝑦) ∧ 𝑣 ∈ 𝒫 𝑓) → 𝑦𝑓))
206189, 205biimtrid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) → (𝑣 ∈ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) → 𝑦𝑓))
207206exlimdv 1932 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) → (∃𝑣 𝑣 ∈ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) → 𝑦𝑓))
208188, 207biimtrid 242 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ 𝑓 ∈ (𝐺𝑘)) → (((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦𝑓))
209208impr 454 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑦𝑓)
210187, 209sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) ∧ (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) ∧ ((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅)) → 𝑦𝑁)
211210exp32 420 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑦𝑋) ∧ 𝑘 ∈ ω) → (𝑓 ∈ (𝐺𝑘) → (((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦𝑁)))
212211rexlimdva 3154 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦𝑋) → (∃𝑘 ∈ ω 𝑓 ∈ (𝐺𝑘) → (((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦𝑁)))
213178, 212biimtrid 242 . . . . . . 7 ((𝜑𝑦𝑋) → (∃𝑧 ∈ ran 𝐺 𝑓𝑧 → (((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦𝑁)))
214175, 213biimtrid 242 . . . . . 6 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑓 ran 𝐺 → (((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦𝑁)))
215214rexlimdv 3152 . . . . 5 ((𝜑𝑦𝑋) → (∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅ → 𝑦𝑁))
2162153impia 1117 . . . 4 ((𝜑𝑦𝑋 ∧ ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅) → 𝑦𝑁)
217216rabssdv 4074 . . 3 (𝜑 → {𝑦𝑋 ∣ ∃𝑓 ran 𝐺((𝐹𝑦) ∩ 𝒫 𝑓) ≠ ∅} ⊆ 𝑁)
2181, 217eqsstrid 4021 . 2 (𝜑𝑆𝑁)
219 eleq2 2829 . . . 4 (𝑢 = 𝑆 → (𝑃𝑢𝑃𝑆))
220 sseq1 4008 . . . 4 (𝑢 = 𝑆 → (𝑢𝑁𝑆𝑁))
221219, 220anbi12d 632 . . 3 (𝑢 = 𝑆 → ((𝑃𝑢𝑢𝑁) ↔ (𝑃𝑆𝑆𝑁)))
222221rspcev 3621 . 2 ((𝑆𝐽 ∧ (𝑃𝑆𝑆𝑁)) → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))
223152, 174, 218, 222syl12anc 836 1 (𝜑 → ∃𝑢𝐽 (𝑃𝑢𝑢𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  {crab 3435  Vcvv 3479  cdif 3947  cin 3949  wss 3950  c0 4332  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   cuni 4906   ciun 4990  cmpt 5224  ran crn 5685  cres 5686  suc csuc 6385   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  ωcom 7888  reccrdg 8450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451
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