Theorem nqerrel 10926

Description: Any member of (N × N) relates to the representative of its equivalence class. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerrel	⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))

Proof of Theorem nqerrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . 3 ⊢ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴)
2		nqerf 10924	. . . . 5 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
3		ffn 6717	. . . . 5 ⊢ ([Q]:(N × N)⟶Q → [Q] Fn (N × N))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ [Q] Fn (N × N)
5		fnbrfvb 6944	. . . 4 ⊢ (([Q] Fn (N × N) ∧ 𝐴 ∈ (N × N)) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴) ↔ 𝐴[Q]([Q]‘𝐴)))
6	4, 5	mpan 688	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴) ↔ 𝐴[Q]([Q]‘𝐴)))
7	1, 6	mpbii 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴[Q]([Q]‘𝐴))
8		df-erq 10907	. . . 4 ⊢ [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
9		inss1 4228	. . . 4 ⊢ ( ~Q ∩ ((N × N) × Q)) ⊆ ~Q
10	8, 9	eqsstri 4016	. . 3 ⊢ [Q] ⊆ ~Q
11	10	ssbri 5193	. 2 ⊢ (𝐴[Q]([Q]‘𝐴) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
12	7, 11	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3947   class class class wbr 5148   × cxp 5674   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  Ncnpi 10838   ~_Q ceq 10845  Qcnq 10846  [Q]cerq 10848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7724

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-ni 10866  df-mi 10868  df-lti 10869  df-enq 10905  df-nq 10906  df-erq 10907  df-1nq 10910

This theorem is referenced by:  nqereq  10929  adderpq  10950  mulerpq  10951  lterpq  10964