Theorem nqerrel 10855

Description: Any member of (N × N) relates to the representative of its equivalence class. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerrel	⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))

Proof of Theorem nqerrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴)
2		nqerf 10853	. . . . 5 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
3		ffn 6668	. . . . 5 ⊢ ([Q]:(N × N)⟶Q → [Q] Fn (N × N))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ [Q] Fn (N × N)
5		fnbrfvb 6890	. . . 4 ⊢ (([Q] Fn (N × N) ∧ 𝐴 ∈ (N × N)) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴) ↔ 𝐴[Q]([Q]‘𝐴)))
6	4, 5	mpan 691	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴) ↔ 𝐴[Q]([Q]‘𝐴)))
7	1, 6	mpbii 233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴[Q]([Q]‘𝐴))
8		df-erq 10836	. . . 4 ⊢ [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
9		inss1 4177	. . . 4 ⊢ ( ~Q ∩ ((N × N) × Q)) ⊆ ~Q
10	8, 9	eqsstri 3968	. . 3 ⊢ [Q] ⊆ ~Q
11	10	ssbri 5130	. 2 ⊢ (𝐴[Q]([Q]‘𝐴) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
12	7, 11	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3888   class class class wbr 5085   × cxp 5629   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  Ncnpi 10767   ~_Q ceq 10774  Qcnq 10775  [Q]cerq 10777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-ni 10795  df-mi 10797  df-lti 10798  df-enq 10834  df-nq 10835  df-erq 10836  df-1nq 10839

This theorem is referenced by:  nqereq  10858  adderpq  10879  mulerpq  10880  lterpq  10893