Theorem nqerrel 10972

Description: Any member of (N × N) relates to the representative of its equivalence class. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nqerrel	⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))

Proof of Theorem nqerrel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴)
2		nqerf 10970	. . . . 5 ⊢ [Q]:(N × N)⟶Q
3		ffn 6736	. . . . 5 ⊢ ([Q]:(N × N)⟶Q → [Q] Fn (N × N))
4	2, 3	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ [Q] Fn (N × N)
5		fnbrfvb 6959	. . . 4 ⊢ (([Q] Fn (N × N) ∧ 𝐴 ∈ (N × N)) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴) ↔ 𝐴[Q]([Q]‘𝐴)))
6	4, 5	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴) ↔ 𝐴[Q]([Q]‘𝐴)))
7	1, 6	mpbii 233	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴[Q]([Q]‘𝐴))
8		df-erq 10953	. . . 4 ⊢ [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
9		inss1 4237	. . . 4 ⊢ ( ~Q ∩ ((N × N) × Q)) ⊆ ~Q
10	8, 9	eqsstri 4030	. . 3 ⊢ [Q] ⊆ ~Q
11	10	ssbri 5188	. 2 ⊢ (𝐴[Q]([Q]‘𝐴) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
12	7, 11	syl 17	1 ⊢ (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ∩ cin 3950   class class class wbr 5143   × cxp 5683   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  Ncnpi 10884   ~_Q ceq 10891  Qcnq 10892  [Q]cerq 10894

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ni 10912  df-mi 10914  df-lti 10915  df-enq 10951  df-nq 10952  df-erq 10953  df-1nq 10956

This theorem is referenced by:  nqereq  10975  adderpq  10996  mulerpq  10997  lterpq  11010