MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nqerrel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nqerrel 10975
Description: Any member of (N × N) relates to the representative of its equivalence class. (Contributed by Mario Carneiro, 6-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
nqerrel (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))

Proof of Theorem nqerrel
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 ([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴)
2 nqerf 10973 . . . . 5 [Q]:(N × N)⟶Q
3 ffn 6728 . . . . 5 ([Q]:(N × N)⟶Q → [Q] Fn (N × N))
42, 3ax-mp 5 . . . 4 [Q] Fn (N × N)
5 fnbrfvb 6954 . . . 4 (([Q] Fn (N × N) ∧ 𝐴 ∈ (N × N)) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴) ↔ 𝐴[Q]([Q]‘𝐴)))
64, 5mpan 688 . . 3 (𝐴 ∈ (N × N) → (([Q]‘𝐴) = ([Q]‘𝐴) ↔ 𝐴[Q]([Q]‘𝐴)))
71, 6mpbii 232 . 2 (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴[Q]([Q]‘𝐴))
8 df-erq 10956 . . . 4 [Q] = ( ~Q ∩ ((N × N) × Q))
9 inss1 4230 . . . 4 ( ~Q ∩ ((N × N) × Q)) ⊆ ~Q
108, 9eqsstri 4014 . . 3 [Q] ⊆ ~Q
1110ssbri 5198 . 2 (𝐴[Q]([Q]‘𝐴) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
127, 11syl 17 1 (𝐴 ∈ (N × N) → 𝐴 ~Q ([Q]‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  cin 3946   class class class wbr 5153   × cxp 5680   Fn wfn 6549  wf 6550  cfv 6554  Ncnpi 10887   ~Q ceq 10894  Qcnq 10895  [Q]cerq 10897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-ni 10915  df-mi 10917  df-lti 10918  df-enq 10954  df-nq 10955  df-erq 10956  df-1nq 10959
This theorem is referenced by:  nqereq  10978  adderpq  10999  mulerpq  11000  lterpq  11013
  Copyright terms: Public domain W3C validator