Theorem oaordnrex 43452

Description: When omega is added on the right to ordinals zero and one, ordering of the sums is not equivalent to the ordering of the ordinals on the left. Remark 3.9 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oaordnrex	⊢ ¬ (∅ ∈ 1o ↔ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))

Proof of Theorem oaordnrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 8428	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 1o
2		ordom 7815	. . . 4 ⊢ Ord ω
3		ordirr 6332	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
4		omelon 9547	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ On
5		oa0r 8462	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ On → (∅ +o ω) = ω)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ +o ω) = ω
7		1oaomeqom 43450	. . . . . 6 ⊢ (1o +o ω) = ω
8	6, 7	eleq12i 2826	. . . . 5 ⊢ ((∅ +o ω) ∈ (1o +o ω) ↔ ω ∈ ω)
9	3, 8	sylnibr 329	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω)
11	1, 10	2th 264	. 2 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))
12		xor3 382	. 2 ⊢ (¬ (∅ ∈ 1o ↔ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω)) ↔ (∅ ∈ 1o ↔ ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω)))
13	11, 12	mpbir 231	1 ⊢ ¬ (∅ ∈ 1o ↔ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4282  Ord word 6313  Oncon0 6314  (class class class)co 7355  ωcom 7805  1_oc1o 8387   +_o coa 8391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-oadd 8398

This theorem is referenced by:  oaordnr  43453