Theorem oaordnrex 43869

Description: When omega is added on the right to ordinals zero and one, ordering of the sums is not equivalent to the ordering of the ordinals on the left. Remark 3.9 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oaordnrex	⊢ ¬ (∅ ∈ 1o ↔ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))

Proof of Theorem oaordnrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 8473	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 1o
2		ordom 7856	. . . 4 ⊢ Ord ω
3		ordirr 6364	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
4		omelon 9601	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ On
5		oa0r 8507	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ On → (∅ +o ω) = ω)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ +o ω) = ω
7		1oaomeqom 43867	. . . . . 6 ⊢ (1o +o ω) = ω
8	6, 7	eleq12i 2855	. . . . 5 ⊢ ((∅ +o ω) ∈ (1o +o ω) ↔ ω ∈ ω)
9	3, 8	sylnibr 331	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω)
11	1, 10	2th 266	. 2 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))
12		xor3 384	. 2 ⊢ (¬ (∅ ∈ 1o ↔ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω)) ↔ (∅ ∈ 1o ↔ ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω)))
13	11, 12	mpbir 233	1 ⊢ ¬ (∅ ∈ 1o ↔ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 208   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∅c0 4285  Ord word 6345  Oncon0 6346  (class class class)co 7396  ωcom 7846  1_oc1o 8430   +_o coa 8434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441

This theorem is referenced by:  oaordnr  43870