Theorem oaordnrex 43913

Description: When omega is added on the right to ordinals zero and one, ordering of the sums is not equivalent to the ordering of the ordinals on the left. Remark 3.9 of [Schloeder] p. 8. (Contributed by RP, 29-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
oaordnrex	⊢ ¬ (∅ ∈ 1o ↔ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))

Proof of Theorem oaordnrex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0lt1o 8488	. . 3 ⊢ ∅ ∈ 1o
2		ordom 7871	. . . 4 ⊢ Ord ω
3		ordirr 6379	. . . . 5 ⊢ (Ord ω → ¬ ω ∈ ω)
4		omelon 9614	. . . . . . 7 ⊢ ω ∈ On
5		oa0r 8522	. . . . . . 7 ⊢ (ω ∈ On → (∅ +o ω) = ω)
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∅ +o ω) = ω
7		1oaomeqom 43911	. . . . . 6 ⊢ (1o +o ω) = ω
8	6, 7	eleq12i 2862	. . . . 5 ⊢ ((∅ +o ω) ∈ (1o +o ω) ↔ ω ∈ ω)
9	3, 8	sylnibr 332	. . . 4 ⊢ (Ord ω → ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))
10	2, 9	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω)
11	1, 10	2th 267	. 2 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))
12		xor3 385	. 2 ⊢ (¬ (∅ ∈ 1o ↔ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω)) ↔ (∅ ∈ 1o ↔ ¬ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω)))
13	11, 12	mpbir 234	1 ⊢ ¬ (∅ ∈ 1o ↔ (∅ +o ω) ∈ (1o +o ω))

Syntax hints:  ¬ wn 3   ↔ wb 209   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∅c0 4294  Ord word 6360  Oncon0 6361  (class class class)co 7411  ωcom 7861  1_oc1o 8445   +_o coa 8449

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-inf2 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456

This theorem is referenced by:  oaordnr  43914