MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oien Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oien 9520
Description: The order type of a well-ordered set is equinumerous to the set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oien ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → dom 𝐹𝐴)

Proof of Theorem oien
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . 3 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
21oiexg 9517 . 2 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
31oiiso 9519 . . 3 ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4 isof1o 7307 . . 3 (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴)
53, 4syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴)
6 f1oen3g 8950 . 2 ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:dom 𝐹1-1-onto𝐴) → dom 𝐹𝐴)
72, 5, 6syl2an2r 684 1 ((𝐴𝑉𝑅 We 𝐴) → dom 𝐹𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475   class class class wbr 5144   E cep 5575   We wwe 5626  dom cdm 5672  1-1-ontowf1o 6534   Isom wiso 6536  cen 8924  OrdIsocoi 9491
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pr 5423  ax-un 7712
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6292  df-ord 6359  df-on 6360  df-lim 6361  df-suc 6362  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-isom 6544  df-riota 7352  df-ov 7399  df-2nd 7963  df-frecs 8253  df-wrecs 8284  df-recs 8358  df-en 8928  df-oi 9492
This theorem is referenced by:  hartogslem1  9524  wofib  9527  cantnfcl  9649  cantnff  9656  cantnf0  9657  cantnfp1lem2  9661  cantnflem1  9671  cantnf  9675  cnfcom2lem  9683  finnisoeu  10095  dfac12lem2  10126  pwfseqlem5  10645  fz1isolem  14409
  Copyright terms: Public domain W3C validator