Theorem oien 9542

Description: The order type of a well-ordered set is equinumerous to the set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oien	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom 𝐹 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem oien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	oiexg 9539	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
3	1	oiiso 9541	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4		isof1o 7338	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴)
6		f1oen3g 9004	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴) → dom 𝐹 ≈ 𝐴)
7	2, 5, 6	syl2an2r 698	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom 𝐹 ≈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   class class class wbr 5105   E cep 5553   We wwe 5606  dom cdm 5654  –1-1-onto→wf1o 6545   Isom wiso 6547   ≈ cen 8981  OrdIsocoi 9513

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-en 8985  df-oi 9514

This theorem is used by:  hartogslem1  9546  wofib  9549  cantnfcl  9678  cantnff  9685  cantnf0  9686  cantnfp1lem2  9690  cantnflem1  9700  cantnf  9704  cnfcom2lem  9712  finnisoeu  10202  dfac12lem2  10233  pwfseqlem5  10758  fz1isolem  14616