Theorem oien 9496

Description: The order type of a well-ordered set is equinumerous to the set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oien	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom 𝐹 ≈ 𝐴)

Proof of Theorem oien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	oiexg 9493	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
3	1	oiiso 9495	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴))
4		isof1o 7321	. . 3 ⊢ (𝐹 Isom E , 𝑅 (dom 𝐹, 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴)
5	3, 4	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴)
6		f1oen3g 8959	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝐹:dom 𝐹–1-1-onto→𝐴) → dom 𝐹 ≈ 𝐴)
7	2, 5, 6	syl2an2r 697	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 We 𝐴) → dom 𝐹 ≈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455   class class class wbr 5109   E cep 5560   We wwe 5613  dom cdm 5661  –1-1-onto→wf1o 6535   Isom wiso 6537   ≈ cen 8936  OrdIsocoi 9467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-en 8940  df-oi 9468

This theorem is referenced by:  hartogslem1  9500  wofib  9503  cantnfcl  9632  cantnff  9639  cantnf0  9640  cantnfp1lem2  9644  cantnflem1  9654  cantnf  9658  cnfcom2lem  9666  finnisoeu  10093  dfac12lem2  10124  pwfseqlem5  10643  fz1isolem  14494