MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oion Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oion 8730
Description: The order type of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
oicl.1 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
Assertion
Ref Expression
oion (𝐴𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)

Proof of Theorem oion
StepHypRef Expression
1 oicl.1 . . 3 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
21oicl 8723 . 2 Ord dom 𝐹
31oiexg 8729 . . 3 (𝐴𝑉𝐹 ∈ V)
4 dmexg 7375 . . 3 (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
5 elong 5984 . . 3 (dom 𝐹 ∈ V → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
63, 4, 53syl 18 . 2 (𝐴𝑉 → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
72, 6mpbiri 250 1 (𝐴𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1601  wcel 2106  Vcvv 3397  dom cdm 5355  Ord word 5975  Oncon0 5976  OrdIsocoi 8703
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-oi 8704
This theorem is referenced by:  hartogslem1  8736  wofib  8739  cantnfcl  8861  cantnflt2  8867  cantnflem1  8883  wemapwe  8891  cnfcom2  8896  cnfcom3lem  8897  cnfcom3  8898  finnisoeu  9269  dfac12lem2  9301  cofsmo  9426  pwfseqlem5  9820  fz1isolem  13559
  Copyright terms: Public domain W3C validator