Theorem oion 9225

Description: The order type of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oion	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)

Proof of Theorem oion

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	oicl 9218	. 2 ⊢ Ord dom 𝐹
3	1	oiexg 9224	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
4		dmexg 7724	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
5		elong 6259	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∈ V → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
6	3, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
7	2, 6	mpbiri 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  dom cdm 5580  Ord word 6250  Oncon0 6251  OrdIsocoi 9198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-oi 9199

This theorem is referenced by:  hartogslem1  9231  wofib  9234  cantnfcl  9355  cantnflt2  9361  cantnflem1  9377  wemapwe  9385  cnfcom2  9390  cnfcom3lem  9391  cnfcom3  9392  finnisoeu  9800  dfac12lem2  9831  cofsmo  9956  pwfseqlem5  10350  fz1isolem  14103