Theorem oion 8595

Description: The order type of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oion	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)

Proof of Theorem oion

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	oicl 8588	. 2 ⊢ Ord dom 𝐹
3	1	oiexg 8594	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
4		dmexg 7242	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
5		elong 5872	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∈ V → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
6	3, 4, 5	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
7	2, 6	mpbiri 248	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  Vcvv 3351  dom cdm 5249  Ord word 5863  Oncon0 5864  OrdIsocoi 8568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7094

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5821  df-ord 5867  df-on 5868  df-lim 5869  df-suc 5870  df-iota 5992  df-fun 6031  df-fn 6032  df-f 6033  df-f1 6034  df-fo 6035  df-f1o 6036  df-fv 6037  df-isom 6038  df-riota 6752  df-wrecs 7557  df-recs 7619  df-oi 8569

This theorem is referenced by:  hartogslem1  8601  wofib  8604  cantnfcl  8726  cantnflt2  8732  cantnflem1  8748  wemapwe  8756  cnfcom2  8761  cnfcom3lem  8762  cnfcom3  8763  finnisoeu  9134  dfac12lem2  9166  cofsmo  9291  pwfseqlem5  9685  fz1isolem  13440