Theorem oion 9537

Description: The order type of the well-order 𝑅 on 𝐴 is an ordinal. (Contributed by Stefan O'Rear, 11-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
oicl.1	⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
oion	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)

Proof of Theorem oion

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oicl.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = OrdIso(𝑅, 𝐴)
2	1	oicl 9530	. 2 ⊢ Ord dom 𝐹
3	1	oiexg 9536	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝐹 ∈ V)
4		dmexg 7917	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ V → dom 𝐹 ∈ V)
5		elong 6373	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∈ V → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
6	3, 4, 5	3syl 19	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (dom 𝐹 ∈ On ↔ Ord dom 𝐹))
7	2, 6	mpbiri 261	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → dom 𝐹 ∈ On)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  dom cdm 5651  Ord word 6364  Oncon0 6365  OrdIsocoi 9510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-oi 9511

This theorem is used by:  hartogslem1  9543  wofib  9546  cantnfcl  9675  cantnflt2  9681  cantnflem1  9697  wemapwe  9705  cnfcom2  9710  cnfcom3lem  9711  cnfcom3  9712  finnisoeu  10199  dfac12lem2  10230  cofsmo  10354  pwfseqlem5  10755  fz1isolem  14613