Theorem onsle 28247

Description: Less-than or equal is the same as non-strict birthday comparison over surreal ordinals. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
onsle	⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵)))

Proof of Theorem onsle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onslt 28246	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ Ons ∧ 𝐴 ∈ Ons) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
2	1	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐵 <s 𝐴 ↔ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
3	2	notbid 318	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (¬ 𝐵 <s 𝐴 ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
4		onsno 28234	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → 𝐴 ∈ No )
5		onsno 28234	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ Ons → 𝐵 ∈ No )
6		slenlt 27722	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
7	4, 5, 6	syl2an 597	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 <s 𝐴))
8		bdayelon 27750	. . . 4 ⊢ ( bday ‘𝐴) ∈ On
9		bdayelon 27750	. . . 4 ⊢ ( bday ‘𝐵) ∈ On
10		ontri1 6350	. . . 4 ⊢ ((( bday ‘𝐴) ∈ On ∧ ( bday ‘𝐵) ∈ On) → (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
11	8, 9, 10	mp2an 693	. . 3 ⊢ (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴))
12	11	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵) ↔ ¬ ( bday ‘𝐵) ∈ ( bday ‘𝐴)))
13	3, 7, 12	3bitr4d 311	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 𝐵 ∈ Ons) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ⊆ ( bday ‘𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5097  Oncon0 6316  ‘cfv 6491   No csur 27609   <s cslt 27610   bday cbday 27611   ≤s csle 27714  On_scons 28230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4902  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27612  df-slt 27613  df-bday 27614  df-sle 27715  df-sslt 27756  df-scut 27758  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827  df-ons 28231

This theorem is referenced by:  onsled  28249