Theorem dih1rn 41667

Description: The full vector space belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1rn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1rn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1rn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1rn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih1rn	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dih1rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2		dih1rn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dih1rn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dih1rn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dih1rn.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dih1 41666	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
7		hlop 39742	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	9, 1	op1cl 39565	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12	9, 2, 3	dihcl 41650	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
13	11, 12	mpdan 688	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
14	6, 13	eqeltrrd 2838	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ran crn 5633  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  1.cp1 18357  OPcops 39552  HLchlt 39730  LHypclh 40364  DVecHcdvh 41458  DIsoHcdih 41608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39333

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18881  df-minusg 18882  df-sbg 18883  df-subg 19068  df-cntz 19261  df-lsm 19580  df-cmn 19726  df-abl 19727  df-mgp 20091  df-rng 20103  df-ur 20132  df-ring 20185  df-oppr 20288  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20679  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-lvec 21070  df-oposet 39556  df-ol 39558  df-oml 39559  df-covers 39646  df-ats 39647  df-atl 39678  df-cvlat 39702  df-hlat 39731  df-llines 39878  df-lplanes 39879  df-lvols 39880  df-lines 39881  df-psubsp 39883  df-pmap 39884  df-padd 40176  df-lhyp 40368  df-laut 40369  df-ldil 40484  df-ltrn 40485  df-trl 40539  df-tendo 41135  df-edring 41137  df-disoa 41409  df-dvech 41459  df-dib 41519  df-dic 41553  df-dih 41609

This theorem is referenced by:  doch1  41739  doch2val2  41744  dochn0nv  41755  djhexmid  41791