Theorem dih1rn 38863

Description: The full vector space belongs to the range of isomorphism H. (Contributed by NM, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dih1rn.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dih1rn.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dih1rn.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dih1rn.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dih1rn	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran 𝐼)

Proof of Theorem dih1rn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2758	. . 3 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
2		dih1rn.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		dih1rn.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
4		dih1rn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		dih1rn.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6	1, 2, 3, 4, 5	dih1 38862	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
7		hlop 36938	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
8	7	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐾 ∈ OP)
9		eqid 2758	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
10	9, 1	op1cl 36761	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
11	8, 10	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾))
12	9, 2, 3	dihcl 38846	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (1.‘𝐾) ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
13	11, 12	mpdan 686	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) ∈ ran 𝐼)
14	6, 13	eqeltrrd 2853	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝑉 ∈ ran 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ran crn 5525  ‘cfv 6335  Basecbs 16541  1.cp1 17714  OPcops 36748  HLchlt 36926  LHypclh 37560  DVecHcdvh 38654  DIsoHcdih 38804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-riotaBAD 36529

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-iin 4886  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-undef 7949  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-4 11739  df-5 11740  df-6 11741  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940  df-struct 16543  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-sca 16639  df-vsca 16640  df-0g 16773  df-proset 17604  df-poset 17622  df-plt 17634  df-lub 17650  df-glb 17651  df-join 17652  df-meet 17653  df-p0 17715  df-p1 17716  df-lat 17722  df-clat 17784  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-submnd 18023  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-sbg 18174  df-subg 18343  df-cntz 18514  df-lsm 18828  df-cmn 18975  df-abl 18976  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-drng 19572  df-lmod 19704  df-lss 19772  df-lsp 19812  df-lvec 19943  df-oposet 36752  df-ol 36754  df-oml 36755  df-covers 36842  df-ats 36843  df-atl 36874  df-cvlat 36898  df-hlat 36927  df-llines 37074  df-lplanes 37075  df-lvols 37076  df-lines 37077  df-psubsp 37079  df-pmap 37080  df-padd 37372  df-lhyp 37564  df-laut 37565  df-ldil 37680  df-ltrn 37681  df-trl 37735  df-tendo 38331  df-edring 38333  df-disoa 38605  df-dvech 38655  df-dib 38715  df-dic 38749  df-dih 38805

This theorem is referenced by:  doch1  38935  doch2val2  38940  dochn0nv  38951  djhexmid  38987