Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglb2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihglb2 40516
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglb.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglb.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglb.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglb2.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglb2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dihglb2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆,𝑦   𝑦,𝐡   𝑦,𝐻   𝑦,𝐼   𝑦,𝐾   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,π‘Š
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)
Proof of Theorem dihglb2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 ssrab2 4076 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡
32a1i 11 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡)
4 hlop 38535 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
54ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ OP)
6 dihglb.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 eqid 2730 . . . . . . 7 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
86, 7op1cl 38358 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
95, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
10 simpr 483 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑉)
11 dihglb.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 dihglb.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 dihglb2.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dihglb2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
157, 11, 12, 13, 14dih1 40460 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)) = 𝑉)
1615adantr 479 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)) = 𝑉)
1710, 16sseqtrrd 4022 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)))
18 fveq2 6890 . . . . . . 7 (π‘₯ = (1.β€˜πΎ) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)))
1918sseq2d 4013 . . . . . 6 (π‘₯ = (1.β€˜πΎ) β†’ (𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯) ↔ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ))))
2019elrab 3682 . . . . 5 ((1.β€˜πΎ) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ↔ ((1.β€˜πΎ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ))))
219, 17, 20sylanbrc 581 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})
2221ne0d 4334 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)
23 dihglb.g . . . 4 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
246, 23, 11, 12dihglb 40515 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡 ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§))
251, 3, 22, 24syl12anc 833 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§))
26 fvex 6903 . . . 4 (πΌβ€˜π‘§) ∈ V
2726dfiin2 5036 . . 3 ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§) = ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)}
286, 11, 12dihfn 40442 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
2928ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
30 fvelrnb 6951 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 Fn 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦))
32 eqcom 2737 . . . . . . . . . . . 12 ((πΌβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))
3332rexbii 3092 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))
34 df-rex 3069 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
3533, 34bitri 274 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
3631, 35bitrdi 286 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))))
3736ex 411 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑦 β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))))
3837pm5.32rd 576 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ((𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)))
39 df-rex 3069 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
40 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘§))
4140sseq2d 4013 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯) ↔ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
4241elrab 3682 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
4342anbi1i 622 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
44 sseq2 4007 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑦 ↔ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
4544anbi2d 627 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§))))
4645pm5.32ri 574 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
47 an32 642 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
4843, 46, 473bitr2i 298 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
4948exbii 1848 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ βˆƒπ‘§((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
50 19.41v 1951 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
5139, 49, 503bitrri 297 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))
5238, 51bitr2di 287 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)))
5352abbidv 2799 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)})
54 df-rab 3431 . . . . 5 {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)}
5553, 54eqtr4di 2788 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)} = {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
5655inteqd 4954 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)} = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
5727, 56eqtrid 2782 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
5825, 57eqtrd 2770 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  {cab 2707   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆ© cint 4949  βˆ© ciin 4997  ran crn 5676   Fn wfn 6537  β€˜cfv 6542  Basecbs 17148  glbcglb 18267  1.cp1 18381  OPcops 38345  HLchlt 38523  LHypclh 39158  DVecHcdvh 40252  DIsoHcdih 40402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 38126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-0g 17391  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-lvec 20858  df-lsatoms 38149  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-lplanes 38673  df-lvols 38674  df-lines 38675  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333  df-tendo 39929  df-edring 39931  df-disoa 40203  df-dvech 40253  df-dib 40313  df-dic 40347  df-dih 40403
This theorem is referenced by:  dochval2  40526
  Copyright terms: Public domain W3C validator