Theorem dihglb2 42176

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglb2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihglb2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihglb2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)})) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐻   𝑦,𝐼   𝑦,𝐾   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥, 𝑦)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dihglb2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 488	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		ssrab2 4035	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ⊆ 𝐵
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ⊆ 𝐵)
4		hlop 40196	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5	4	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
6		dihglb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8	6, 7	op1cl 40019	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ 𝐵)
10		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
11		dihglb.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12		dihglb.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13		dihglb2.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14		dihglb2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
15	7, 11, 12, 13, 14	dih1 42120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
16	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
17	10, 16	sseqtrrd 3975	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐼‘(1.‘𝐾)))
18		fveq2 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (1.‘𝐾) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(1.‘𝐾)))
19	18	sseq2d 3970	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1.‘𝐾) → (𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐼‘(1.‘𝐾))))
20	19	elrab 3652	. . . . 5 ⊢ ((1.‘𝐾) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ↔ ((1.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐼‘(1.‘𝐾))))
21	9, 17, 20	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)})
22	21	ne0d 4295	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ≠ ∅)
23		dihglb.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
24	6, 23, 11, 12	dihglb 42175	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)})) = ∩ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} (𝐼‘𝑧))
25	1, 3, 22, 24	syl12anc 850	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)})) = ∩ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} (𝐼‘𝑧))
26		fvex 6898	. . . 4 ⊢ (𝐼‘𝑧) ∈ V
27	26	dfiin2 4999	. . 3 ⊢ ∩ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} (𝐼‘𝑧) = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧)}
28	6, 11, 12	dihfn 42102	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
29	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) → 𝐼 Fn 𝐵)
30		fvelrnb 6945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 Fn 𝐵 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑧) = 𝑦))
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑧) = 𝑦))
32		eqcom 2772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐼‘𝑧))
33	32	rexbii 3114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑧) = 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝐼‘𝑧))
34		df-rex 3092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝐼‘𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))
35	33, 34	bitri 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑧) = 𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))
36	31, 35	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧))))
37	36	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))))
38	37	pm5.32rd 589	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ↔ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦)))
39		df-rex 3092	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))
40		fveq2 6885	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑧))
41	40	sseq2d 3970	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
42	41	elrab 3652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
43	42	anbi1i 636	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))
44		sseq2 3964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐼‘𝑧) → (𝑆 ⊆ 𝑦 ↔ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
45	44	anbi2d 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐼‘𝑧) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧))))
46	45	pm5.32ri 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))
47		an32 659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦))
48	43, 46, 47	3bitr2i 302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦))
49	48	exbii 1881	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ↔ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦))
50		19.41v 1982	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ↔ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦))
51	39, 49, 50	3bitrri 301	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧))
52	38, 51	bitr2di 291	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦)))
53	52	abbidv 2831	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦)})
54		df-rab 3419	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦)}
55	53, 54	eqtr4di 2818	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧)} = {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦})
56	55	inteqd 4919	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧)} = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦})
57	27, 56	eqtrid 2812	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} (𝐼‘𝑧) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦})
58	25, 57	eqtrd 2800	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)})) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  {cab 2743   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  {crab 3418   ⊆ wss 3906  ∅c0 4286  ∩ cint 4914  ∩ ciin 4959  ran crn 5664   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  Basecbs 17293  glbcglb 18390  1.cp1 18502  OPcops 40006  HLchlt 40184  LHypclh 40818  DVecHcdvh 41912  DIsoHcdih 42062

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-riotaBAD 39787

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-0g 17518  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-p1 18504  df-lat 18512  df-clat 18579  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-lsm 19752  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lvec 21276  df-lsatoms 39810  df-oposet 40010  df-ol 40012  df-oml 40013  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185  df-llines 40332  df-lplanes 40333  df-lvols 40334  df-lines 40335  df-psubsp 40337  df-pmap 40338  df-padd 40630  df-lhyp 40822  df-laut 40823  df-ldil 40938  df-ltrn 40939  df-trl 40993  df-tendo 41589  df-edring 41591  df-disoa 41863  df-dvech 41913  df-dib 41973  df-dic 42007  df-dih 42063

This theorem is used by:  dochval2  42186