Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglb2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dihglb2 40213
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglb.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglb.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglb.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglb2.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglb2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dihglb2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆,𝑦   𝑦,𝐡   𝑦,𝐻   𝑦,𝐼   𝑦,𝐾   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,π‘Š
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)
Proof of Theorem dihglb2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 ssrab2 4078 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡
32a1i 11 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡)
4 hlop 38232 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
54ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ OP)
6 dihglb.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 eqid 2733 . . . . . . 7 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
86, 7op1cl 38055 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
95, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
10 simpr 486 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑉)
11 dihglb.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 dihglb.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 dihglb2.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dihglb2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
157, 11, 12, 13, 14dih1 40157 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)) = 𝑉)
1615adantr 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)) = 𝑉)
1710, 16sseqtrrd 4024 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)))
18 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘₯ = (1.β€˜πΎ) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)))
1918sseq2d 4015 . . . . . 6 (π‘₯ = (1.β€˜πΎ) β†’ (𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯) ↔ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ))))
2019elrab 3684 . . . . 5 ((1.β€˜πΎ) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ↔ ((1.β€˜πΎ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ))))
219, 17, 20sylanbrc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})
2221ne0d 4336 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)
23 dihglb.g . . . 4 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
246, 23, 11, 12dihglb 40212 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡 ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§))
251, 3, 22, 24syl12anc 836 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§))
26 fvex 6905 . . . 4 (πΌβ€˜π‘§) ∈ V
2726dfiin2 5038 . . 3 ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§) = ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)}
286, 11, 12dihfn 40139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
30 fvelrnb 6953 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 Fn 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦))
32 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . 12 ((πΌβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))
3332rexbii 3095 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))
34 df-rex 3072 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
3533, 34bitri 275 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
3631, 35bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))))
3736ex 414 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑦 β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))))
3837pm5.32rd 579 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ((𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)))
39 df-rex 3072 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
40 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘§))
4140sseq2d 4015 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯) ↔ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
4241elrab 3684 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
4342anbi1i 625 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
44 sseq2 4009 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑦 ↔ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
4544anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§))))
4645pm5.32ri 577 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
47 an32 645 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
4843, 46, 473bitr2i 299 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
4948exbii 1851 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ βˆƒπ‘§((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
50 19.41v 1954 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
5139, 49, 503bitrri 298 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))
5238, 51bitr2di 288 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)))
5352abbidv 2802 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)})
54 df-rab 3434 . . . . 5 {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)}
5553, 54eqtr4di 2791 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)} = {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
5655inteqd 4956 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)} = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
5727, 56eqtrid 2785 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
5825, 57eqtrd 2773 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2710   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  βˆ© cint 4951  βˆ© ciin 4999  ran crn 5678   Fn wfn 6539  β€˜cfv 6544  Basecbs 17144  glbcglb 18263  1.cp1 18377  OPcops 38042  HLchlt 38220  LHypclh 38855  DVecHcdvh 39949  DIsoHcdih 40099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37846  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tendo 39626  df-edring 39628  df-disoa 39900  df-dvech 39950  df-dib 40010  df-dic 40044  df-dih 40100
This theorem is referenced by:  dochval2  40223
  Copyright terms: Public domain W3C validator