Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  dihglb2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dihglb2 39834
Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
dihglb.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
dihglb.g 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
dihglb.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
dihglb.i 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglb2.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
dihglb2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
dihglb2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐼   π‘₯,𝐾   π‘₯,𝑆,𝑦   𝑦,𝐡   𝑦,𝐻   𝑦,𝐼   𝑦,𝐾   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,π‘Š
Allowed substitution hints:   π‘ˆ(π‘₯,𝑦)   𝐺(π‘₯,𝑦)   𝐻(π‘₯)   𝑉(π‘₯)   π‘Š(π‘₯)

Proof of Theorem dihglb2
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 ssrab2 4042 . . . 4 {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡
32a1i 11 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡)
4 hlop 37853 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ OP)
54ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝐾 ∈ OP)
6 dihglb.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 eqid 2737 . . . . . . 7 (1.β€˜πΎ) = (1.β€˜πΎ)
86, 7op1cl 37676 . . . . . 6 (𝐾 ∈ OP β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
95, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ 𝐡)
10 simpr 486 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† 𝑉)
11 dihglb.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 dihglb.i . . . . . . . 8 𝐼 = ((DIsoHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
13 dihglb2.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
14 dihglb2.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
157, 11, 12, 13, 14dih1 39778 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)) = 𝑉)
1615adantr 482 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)) = 𝑉)
1710, 16sseqtrrd 3990 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)))
18 fveq2 6847 . . . . . . 7 (π‘₯ = (1.β€˜πΎ) β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ)))
1918sseq2d 3981 . . . . . 6 (π‘₯ = (1.β€˜πΎ) β†’ (𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯) ↔ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ))))
2019elrab 3650 . . . . 5 ((1.β€˜πΎ) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ↔ ((1.β€˜πΎ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜(1.β€˜πΎ))))
219, 17, 20sylanbrc 584 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (1.β€˜πΎ) ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})
2221ne0d 4300 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)
23 dihglb.g . . . 4 𝐺 = (glbβ€˜πΎ)
246, 23, 11, 12dihglb 39833 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ ({π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} βŠ† 𝐡 ∧ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} β‰  βˆ…)) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§))
251, 3, 22, 24syl12anc 836 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§))
26 fvex 6860 . . . 4 (πΌβ€˜π‘§) ∈ V
2726dfiin2 4999 . . 3 ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§) = ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)}
286, 11, 12dihfn 39760 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) β†’ 𝐼 Fn 𝐡)
30 fvelrnb 6908 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 Fn 𝐡 β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦))
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦))
32 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . 12 ((πΌβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))
3332rexbii 3098 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))
34 df-rex 3075 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
3533, 34bitri 275 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝐡 (πΌβ€˜π‘§) = 𝑦 ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
3631, 35bitrdi 287 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))))
3736ex 414 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑦 β†’ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))))
3837pm5.32rd 579 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ((𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)))
39 df-rex 3075 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) ↔ βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
40 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΌβ€˜π‘₯) = (πΌβ€˜π‘§))
4140sseq2d 3981 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯) ↔ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
4241elrab 3650 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
4342anbi1i 625 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
44 sseq2 3975 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) β†’ (𝑆 βŠ† 𝑦 ↔ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)))
4544anbi2d 630 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) β†’ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§))))
4645pm5.32ri 577 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)))
47 an32 645 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
4843, 46, 473bitr2i 299 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
4948exbii 1851 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ↔ βˆƒπ‘§((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
50 19.41v 1954 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘§((𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ (βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦))
5139, 49, 503bitrri 298 . . . . . . 7 ((βˆƒπ‘§(𝑧 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦) ↔ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§))
5238, 51bitr2di 288 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§) ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)))
5352abbidv 2806 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)})
54 df-rab 3411 . . . . 5 {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 βŠ† 𝑦)}
5553, 54eqtr4di 2795 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)} = {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
5655inteqd 4917 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ∩ {𝑦 ∣ βˆƒπ‘§ ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)}𝑦 = (πΌβ€˜π‘§)} = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
5727, 56eqtrid 2789 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ ∩ 𝑧 ∈ {π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)} (πΌβ€˜π‘§) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
5825, 57eqtrd 2777 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 βŠ† 𝑉) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜{π‘₯ ∈ 𝐡 ∣ 𝑆 βŠ† (πΌβ€˜π‘₯)})) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 βŠ† 𝑦})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2714   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  βˆ© cint 4912  βˆ© ciin 4960  ran crn 5639   Fn wfn 6496  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  glbcglb 18206  1.cp1 18320  OPcops 37663  HLchlt 37841  LHypclh 38476  DVecHcdvh 39570  DIsoHcdih 39720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-riotaBAD 37444
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-0g 17330  df-proset 18191  df-poset 18209  df-plt 18226  df-lub 18242  df-glb 18243  df-join 18244  df-meet 18245  df-p0 18321  df-p1 18322  df-lat 18328  df-clat 18395  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-lsm 19425  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-oppr 20056  df-dvdsr 20077  df-unit 20078  df-invr 20108  df-dvr 20119  df-drng 20201  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lvec 20580  df-lsatoms 37467  df-oposet 37667  df-ol 37669  df-oml 37670  df-covers 37757  df-ats 37758  df-atl 37789  df-cvlat 37813  df-hlat 37842  df-llines 37990  df-lplanes 37991  df-lvols 37992  df-lines 37993  df-psubsp 37995  df-pmap 37996  df-padd 38288  df-lhyp 38480  df-laut 38481  df-ldil 38596  df-ltrn 38597  df-trl 38651  df-tendo 39247  df-edring 39249  df-disoa 39521  df-dvech 39571  df-dib 39631  df-dic 39665  df-dih 39721
This theorem is referenced by:  dochval2  39844
  Copyright terms: Public domain W3C validator