Theorem dihglb2 41299

Description: Isomorphism H of a lattice glb. (Contributed by NM, 11-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
dihglb.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
dihglb.g	⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
dihglb.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dihglb.i	⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
dihglb2.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dihglb2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
dihglb2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)})) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐼   𝑥,𝐾   𝑥,𝑆,𝑦   𝑦,𝐵   𝑦,𝐻   𝑦,𝐼   𝑦,𝐾   𝑦,𝑆   𝑦,𝑉   𝑦,𝑊

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥,𝑦)   𝐻(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem dihglb2

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		ssrab2 4103	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ⊆ 𝐵
3	2	a1i 11	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ⊆ 𝐵)
4		hlop 39318	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
5	4	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝐾 ∈ OP)
6		dihglb.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
7		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (1.‘𝐾) = (1.‘𝐾)
8	6, 7	op1cl 39141	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ OP → (1.‘𝐾) ∈ 𝐵)
9	5, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ 𝐵)
10		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ 𝑉)
11		dihglb.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12		dihglb.i	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐼 = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
13		dihglb2.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
14		dihglb2.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
15	7, 11, 12, 13, 14	dih1 41243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
16	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐼‘(1.‘𝐾)) = 𝑉)
17	10, 16	sseqtrrd 4050	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → 𝑆 ⊆ (𝐼‘(1.‘𝐾)))
18		fveq2 6920	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (1.‘𝐾) → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘(1.‘𝐾)))
19	18	sseq2d 4041	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (1.‘𝐾) → (𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐼‘(1.‘𝐾))))
20	19	elrab 3708	. . . . 5 ⊢ ((1.‘𝐾) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ↔ ((1.‘𝐾) ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐼‘(1.‘𝐾))))
21	9, 17, 20	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (1.‘𝐾) ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)})
22	21	ne0d 4365	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ≠ ∅)
23		dihglb.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (glb‘𝐾)
24	6, 23, 11, 12	dihglb 41298	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ({𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ⊆ 𝐵 ∧ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ≠ ∅)) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)})) = ∩ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} (𝐼‘𝑧))
25	1, 3, 22, 24	syl12anc 836	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)})) = ∩ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} (𝐼‘𝑧))
26		fvex 6933	. . . 4 ⊢ (𝐼‘𝑧) ∈ V
27	26	dfiin2 5057	. . 3 ⊢ ∩ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} (𝐼‘𝑧) = ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧)}
28	6, 11, 12	dihfn 41225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) → 𝐼 Fn 𝐵)
29	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) → 𝐼 Fn 𝐵)
30		fvelrnb 6982	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 Fn 𝐵 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑧) = 𝑦))
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑧) = 𝑦))
32		eqcom 2747	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼‘𝑧) = 𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐼‘𝑧))
33	32	rexbii 3100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑧) = 𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝐼‘𝑧))
34		df-rex 3077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦 = (𝐼‘𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))
35	33, 34	bitri 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 (𝐼‘𝑧) = 𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))
36	31, 35	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧))))
37	36	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝑆 ⊆ 𝑦 → (𝑦 ∈ ran 𝐼 ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))))
38	37	pm5.32rd 577	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ((𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ↔ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦)))
39		df-rex 3077	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧) ↔ ∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))
40		fveq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝐼‘𝑥) = (𝐼‘𝑧))
41	40	sseq2d 4041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥) ↔ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
42	41	elrab 3708	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
43	42	anbi1i 623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))
44		sseq2 4035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝐼‘𝑧) → (𝑆 ⊆ 𝑦 ↔ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧)))
45	44	anbi2d 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝐼‘𝑧) → ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ↔ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧))))
46	45	pm5.32ri 575	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)))
47		an32 645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦))
48	43, 46, 47	3bitr2i 299	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ↔ ((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦))
49	48	exbii 1846	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧(𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ↔ ∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦))
50		19.41v 1949	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑧((𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ↔ (∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦))
51	39, 49, 50	3bitrri 298	. . . . . . 7 ⊢ ((∃𝑧(𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 = (𝐼‘𝑧)) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦) ↔ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧))
52	38, 51	bitr2di 288	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧) ↔ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦)))
53	52	abbidv 2811	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧)} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦)})
54		df-rab 3444	. . . . 5 ⊢ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦} = {𝑦 ∣ (𝑦 ∈ ran 𝐼 ∧ 𝑆 ⊆ 𝑦)}
55	53, 54	eqtr4di 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧)} = {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦})
56	55	inteqd 4975	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ {𝑦 ∣ ∃𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)}𝑦 = (𝐼‘𝑧)} = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦})
57	27, 56	eqtrid 2792	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → ∩ 𝑧 ∈ {𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)} (𝐼‘𝑧) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦})
58	25, 57	eqtrd 2780	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑆 ⊆ 𝑉) → (𝐼‘(𝐺‘{𝑥 ∈ 𝐵 ∣ 𝑆 ⊆ (𝐼‘𝑥)})) = ∩ {𝑦 ∈ ran 𝐼 ∣ 𝑆 ⊆ 𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108  {cab 2717   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  {crab 3443   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  ∩ cint 4970  ∩ ciin 5016  ran crn 5701   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  glbcglb 18380  1.cp1 18494  OPcops 39128  HLchlt 39306  LHypclh 39941  DVecHcdvh 41035  DIsoHcdih 41185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-riotaBAD 38909

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-undef 8314  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17501  df-proset 18365  df-poset 18383  df-plt 18400  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-p0 18495  df-p1 18496  df-lat 18502  df-clat 18569  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lsatoms 38932  df-oposet 39132  df-ol 39134  df-oml 39135  df-covers 39222  df-ats 39223  df-atl 39254  df-cvlat 39278  df-hlat 39307  df-llines 39455  df-lplanes 39456  df-lvols 39457  df-lines 39458  df-psubsp 39460  df-pmap 39461  df-padd 39753  df-lhyp 39945  df-laut 39946  df-ldil 40061  df-ltrn 40062  df-trl 40116  df-tendo 40712  df-edring 40714  df-disoa 40986  df-dvech 41036  df-dib 41096  df-dic 41130  df-dih 41186

This theorem is referenced by:  dochval2  41309