Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oppglem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oppglem 18470
 Description: Lemma for oppgbas 18471. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oppgbas.1 𝑂 = (oppg𝑅)
oppglem.2 𝐸 = Slot 𝑁
oppglem.3 𝑁 ∈ ℕ
oppglem.4 𝑁 ≠ 2
Assertion
Ref Expression
oppglem (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)

Proof of Theorem oppglem
StepHypRef Expression
1 oppglem.2 . . . 4 𝐸 = Slot 𝑁
2 oppglem.3 . . . 4 𝑁 ∈ ℕ
31, 2ndxid 16501 . . 3 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4 oppglem.4 . . . 4 𝑁 ≠ 2
51, 2ndxarg 16500 . . . . 5 (𝐸‘ndx) = 𝑁
6 plusgndx 16587 . . . . 5 (+g‘ndx) = 2
75, 6neeq12i 3080 . . . 4 ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
84, 7mpbir 233 . . 3 (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
93, 8setsnid 16531 . 2 (𝐸𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g𝑅)⟩))
10 eqid 2819 . . . 4 (+g𝑅) = (+g𝑅)
11 oppgbas.1 . . . 4 𝑂 = (oppg𝑅)
1210, 11oppgval 18467 . . 3 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g𝑅)⟩)
1312fveq2i 6666 . 2 (𝐸𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g𝑅)⟩))
149, 13eqtr4i 2845 1 (𝐸𝑅) = (𝐸𝑂)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3014  ⟨cop 4565  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  tpos ctpos 7883  ℕcn 11630  2c2 11684  ndxcnx 16472   sSet csts 16473  Slot cslot 16474  +gcplusg 16557  oppgcoppg 18465 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-1cn 10587  ax-addcl 10589 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-nn 11631  df-2 11692  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-oppg 18466 This theorem is referenced by:  oppgbas  18471  oppgtset  18472  oppgle  30633
 Copyright terms: Public domain W3C validator