Theorem oppglem 18480

Description: Lemma for oppgbas 18481. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oppgbas.1	⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
oppglem.2	⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
oppglem.3	⊢ 𝑁 ∈ ℕ
oppglem.4	⊢ 𝑁 ≠ 2

Assertion

Ref	Expression
oppglem	⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Proof of Theorem oppglem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oppglem.2	. . . 4 ⊢ 𝐸 = Slot 𝑁
2		oppglem.3	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ
3	1, 2	ndxid 16511	. . 3 ⊢ 𝐸 = Slot (𝐸‘ndx)
4		oppglem.4	. . . 4 ⊢ 𝑁 ≠ 2
5	1, 2	ndxarg 16510	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) = 𝑁
6		plusgndx 16597	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) = 2
7	5, 6	neeq12i 3084	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx) ↔ 𝑁 ≠ 2)
8	4, 7	mpbir 233	. . 3 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
9	3, 8	setsnid 16541	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩))
10		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
11		oppgbas.1	. . . 4 ⊢ 𝑂 = (oppg‘𝑅)
12	10, 11	oppgval 18477	. . 3 ⊢ 𝑂 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩)
13	12	fveq2i 6675	. 2 ⊢ (𝐸‘𝑂) = (𝐸‘(𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), tpos (+g‘𝑅)⟩))
14	9, 13	eqtr4i 2849	1 ⊢ (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑂)

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ⟨cop 4575  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  tpos ctpos 7893  ℕcn 11640  2c2 11695  ndxcnx 16482   sSet csts 16483  Slot cslot 16484  +_gcplusg 16567  opp_gcoppg 18475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-1cn 10597  ax-addcl 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-tpos 7894  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-nn 11641  df-2 11703  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-sets 16492  df-plusg 16580  df-oppg 18476

This theorem is referenced by:  oppgbas  18481  oppgtset  18482  oppgle  30642