MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmval 21624
Description: Value of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dsmmval.b 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
dsmmval (𝑅𝑉 → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem dsmmval
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3487 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 oveq12 7413 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (𝑠Xs𝑟) = (𝑆Xs𝑅))
3 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (𝑠Xs𝑟) = (𝑠Xs𝑟)
4 vex 3472 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → 𝑠 ∈ V)
6 vex 3472 . . . . . . . . . 10 𝑟 ∈ V
76a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → 𝑟 ∈ V)
8 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = (Base‘(𝑠Xs𝑟))
9 eqidd 2727 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → dom 𝑟 = dom 𝑟)
103, 5, 7, 8, 9prdsbas 17409 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)))
112fveq2d 6888 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
1210, 11eqtr3d 2768 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
1413dmeqd 5898 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → dom 𝑟 = dom 𝑅)
1513fveq1d 6886 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (𝑟𝑥) = (𝑅𝑥))
1615fveq2d 6888 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (0g‘(𝑟𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
1716neeq2d 2995 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → ((𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥)) ↔ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))))
1814, 17rabeqbidv 3443 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
1918eleq1d 2812 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → ({𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin))
2012, 19rabeqbidv 3443 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})
21 dsmmval.b . . . . . 6 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
2220, 21eqtr4di 2784 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin} = 𝐵)
232, 22oveq12d 7422 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → ((𝑠Xs𝑟) ↾s {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
24 df-dsmm 21622 . . . 4 m = (𝑠 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ((𝑠Xs𝑟) ↾s {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin}))
25 ovex 7437 . . . 4 ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) ∈ V
2623, 24, 25ovmpoa 7558 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
27 reldmdsmm 21623 . . . . . . 7 Rel dom ⊕m
2827ovprc1 7443 . . . . . 6 𝑆 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ∅)
29 ress0 17194 . . . . . 6 (∅ ↾s 𝐵) = ∅
3028, 29eqtr4di 2784 . . . . 5 𝑆 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = (∅ ↾s 𝐵))
31 reldmprds 17400 . . . . . . 7 Rel dom Xs
3231ovprc1 7443 . . . . . 6 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
3332oveq1d 7419 . . . . 5 𝑆 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = (∅ ↾s 𝐵))
3430, 33eqtr4d 2769 . . . 4 𝑆 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
3534adantr 480 . . 3 ((¬ 𝑆 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
3626, 35pm2.61ian 809 . 2 (𝑅 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
371, 36syl 17 1 (𝑅𝑉 → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  {crab 3426  Vcvv 3468  c0 4317  dom cdm 5669  cfv 6536  (class class class)co 7404  Xcixp 8890  Fincfn 8938  Basecbs 17150  s cress 17179  0gc0g 17391  Xscprds 17397  m cdsmm 21621
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-prds 17399  df-dsmm 21622
This theorem is referenced by:  dsmmbase  21625  dsmmval2  21626
  Copyright terms: Public domain W3C validator