MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmval 21675
Description: Value of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dsmmval.b 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
dsmmval (𝑅𝑉 → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem dsmmval
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3492 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 oveq12 7435 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (𝑠Xs𝑟) = (𝑆Xs𝑅))
3 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (𝑠Xs𝑟) = (𝑠Xs𝑟)
4 vex 3477 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → 𝑠 ∈ V)
6 vex 3477 . . . . . . . . . 10 𝑟 ∈ V
76a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → 𝑟 ∈ V)
8 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = (Base‘(𝑠Xs𝑟))
9 eqidd 2729 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → dom 𝑟 = dom 𝑟)
103, 5, 7, 8, 9prdsbas 17446 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)))
112fveq2d 6906 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
1210, 11eqtr3d 2770 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
1413dmeqd 5912 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → dom 𝑟 = dom 𝑅)
1513fveq1d 6904 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (𝑟𝑥) = (𝑅𝑥))
1615fveq2d 6906 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (0g‘(𝑟𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
1716neeq2d 2998 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → ((𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥)) ↔ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))))
1814, 17rabeqbidv 3448 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
1918eleq1d 2814 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → ({𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin))
2012, 19rabeqbidv 3448 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})
21 dsmmval.b . . . . . 6 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
2220, 21eqtr4di 2786 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin} = 𝐵)
232, 22oveq12d 7444 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → ((𝑠Xs𝑟) ↾s {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
24 df-dsmm 21673 . . . 4 m = (𝑠 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ((𝑠Xs𝑟) ↾s {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin}))
25 ovex 7459 . . . 4 ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) ∈ V
2623, 24, 25ovmpoa 7582 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
27 reldmdsmm 21674 . . . . . . 7 Rel dom ⊕m
2827ovprc1 7465 . . . . . 6 𝑆 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ∅)
29 ress0 17231 . . . . . 6 (∅ ↾s 𝐵) = ∅
3028, 29eqtr4di 2786 . . . . 5 𝑆 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = (∅ ↾s 𝐵))
31 reldmprds 17437 . . . . . . 7 Rel dom Xs
3231ovprc1 7465 . . . . . 6 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
3332oveq1d 7441 . . . . 5 𝑆 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = (∅ ↾s 𝐵))
3430, 33eqtr4d 2771 . . . 4 𝑆 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
3534adantr 479 . . 3 ((¬ 𝑆 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
3626, 35pm2.61ian 810 . 2 (𝑅 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
371, 36syl 17 1 (𝑅𝑉 → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2937  {crab 3430  Vcvv 3473  c0 4326  dom cdm 5682  cfv 6553  (class class class)co 7426  Xcixp 8922  Fincfn 8970  Basecbs 17187  s cress 17216  0gc0g 17428  Xscprds 17434  m cdsmm 21672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-prds 17436  df-dsmm 21673
This theorem is referenced by:  dsmmbase  21676  dsmmval2  21677
  Copyright terms: Public domain W3C validator