MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmval 20295
Description: Value of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dsmmval.b 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
Assertion
Ref Expression
dsmmval (𝑅𝑉 → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑆,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem dsmmval
Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3364 . 2 (𝑅𝑉𝑅 ∈ V)
2 oveq12 6802 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (𝑠Xs𝑟) = (𝑆Xs𝑅))
3 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (𝑠Xs𝑟) = (𝑠Xs𝑟)
4 vex 3354 . . . . . . . . . 10 𝑠 ∈ V
54a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → 𝑠 ∈ V)
6 vex 3354 . . . . . . . . . 10 𝑟 ∈ V
76a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → 𝑟 ∈ V)
8 eqid 2771 . . . . . . . . 9 (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = (Base‘(𝑠Xs𝑟))
9 eqidd 2772 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → dom 𝑟 = dom 𝑟)
103, 5, 7, 8, 9prdsbas 16325 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)))
112fveq2d 6336 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
1210, 11eqtr3d 2807 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13 simpr 471 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
1413dmeqd 5464 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → dom 𝑟 = dom 𝑅)
1513fveq1d 6334 . . . . . . . . . . 11 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (𝑟𝑥) = (𝑅𝑥))
1615fveq2d 6336 . . . . . . . . . 10 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → (0g‘(𝑟𝑥)) = (0g‘(𝑅𝑥)))
1716neeq2d 3003 . . . . . . . . 9 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → ((𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥)) ↔ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))))
1814, 17rabeqbidv 3345 . . . . . . . 8 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))})
1918eleq1d 2835 . . . . . . 7 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → ({𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin))
2012, 19rabeqbidv 3345 . . . . . 6 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin})
21 dsmmval.b . . . . . 6 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑅𝑥))} ∈ Fin}
2220, 21syl6eqr 2823 . . . . 5 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin} = 𝐵)
232, 22oveq12d 6811 . . . 4 ((𝑠 = 𝑆𝑟 = 𝑅) → ((𝑠Xs𝑟) ↾s {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
24 df-dsmm 20293 . . . 4 m = (𝑠 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ((𝑠Xs𝑟) ↾s {𝑓X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓𝑥) ≠ (0g‘(𝑟𝑥))} ∈ Fin}))
25 ovex 6823 . . . 4 ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) ∈ V
2623, 24, 25ovmpt2a 6938 . . 3 ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
27 reldmdsmm 20294 . . . . . . 7 Rel dom ⊕m
2827ovprc1 6829 . . . . . 6 𝑆 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ∅)
29 ress0 16141 . . . . . 6 (∅ ↾s 𝐵) = ∅
3028, 29syl6eqr 2823 . . . . 5 𝑆 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = (∅ ↾s 𝐵))
31 reldmprds 16317 . . . . . . 7 Rel dom Xs
3231ovprc1 6829 . . . . . 6 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
3332oveq1d 6808 . . . . 5 𝑆 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = (∅ ↾s 𝐵))
3430, 33eqtr4d 2808 . . . 4 𝑆 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
3534adantr 466 . . 3 ((¬ 𝑆 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
3626, 35pm2.61ian 813 . 2 (𝑅 ∈ V → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
371, 36syl 17 1 (𝑅𝑉 → (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  {crab 3065  Vcvv 3351  c0 4063  dom cdm 5249  cfv 6031  (class class class)co 6793  Xcixp 8062  Fincfn 8109  Basecbs 16064  s cress 16065  0gc0g 16308  Xscprds 16314  m cdsmm 20292
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-fz 12534  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-hom 16174  df-cco 16175  df-prds 16316  df-dsmm 20293
This theorem is referenced by:  dsmmbase  20296  dsmmval2  20297
  Copyright terms: Public domain W3C validator