Theorem dsmmval 21694

Description: Value of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dsmmval.b	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
dsmmval	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem dsmmval

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3480	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		oveq12 7414	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑠Xs𝑟) = (𝑆Xs𝑅))
3		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠Xs𝑟) = (𝑠Xs𝑟)
4		vex 3463	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑠 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑠 ∈ V)
6		vex 3463	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑟 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 ∈ V)
8		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = (Base‘(𝑠Xs𝑟))
9		eqidd 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → dom 𝑟 = dom 𝑟)
10	3, 5, 7, 8, 9	prdsbas 17471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)))
11	2	fveq2d 6880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
12	10, 11	eqtr3d 2772	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
14	13	dmeqd 5885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → dom 𝑟 = dom 𝑅)
15	13	fveq1d 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑟‘𝑥) = (𝑅‘𝑥))
16	15	fveq2d 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (0g‘(𝑟‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
17	16	neeq2d 2992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥)) ↔ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))))
18	14, 17	rabeqbidv 3434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))})
19	18	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ({𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin))
20	12, 19	rabeqbidv 3434	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → {𝑓 ∈ X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})
21		dsmmval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}
22	20, 21	eqtr4di 2788	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → {𝑓 ∈ X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} ∈ Fin} = 𝐵)
23	2, 22	oveq12d 7423	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((𝑠Xs𝑟) ↾s {𝑓 ∈ X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
24		df-dsmm 21692	. . . 4 ⊢ ⊕m = (𝑠 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ((𝑠Xs𝑟) ↾s {𝑓 ∈ X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} ∈ Fin}))
25		ovex 7438	. . . 4 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) ∈ V
26	23, 24, 25	ovmpoa 7562	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
27		reldmdsmm 21693	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ⊕m
28	27	ovprc1 7444	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ∅)
29		ress0 17264	. . . . . 6 ⊢ (∅ ↾s 𝐵) = ∅
30	28, 29	eqtr4di 2788	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (∅ ↾s 𝐵))
31		reldmprds 17462	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom Xs
32	31	ovprc1 7444	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
33	32	oveq1d 7420	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = (∅ ↾s 𝐵))
34	30, 33	eqtr4d 2773	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑆 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
36	26, 35	pm2.61ian 811	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
37	1, 36	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {crab 3415  Vcvv 3459  ∅c0 4308  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Xcixp 8911  Fincfn 8959  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17453  X_scprds 17459   ⊕_m cdsmm 21691

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-prds 17461  df-dsmm 21692

This theorem is referenced by:  dsmmbase  21695  dsmmval2  21696