Theorem dsmmval 20851

Description: Value of the module direct sum. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
dsmmval.b	⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}

Assertion

Ref	Expression
dsmmval	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑆,𝑓,𝑥   𝑅,𝑓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)

Proof of Theorem dsmmval

Dummy variables 𝑠 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elex 3440	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑅 ∈ V)
2		oveq12 7264	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑠Xs𝑟) = (𝑆Xs𝑅))
3		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠Xs𝑟) = (𝑠Xs𝑟)
4		vex 3426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑠 ∈ V
5	4	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑠 ∈ V)
6		vex 3426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑟 ∈ V
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 ∈ V)
8		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = (Base‘(𝑠Xs𝑟))
9		eqidd 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → dom 𝑟 = dom 𝑟)
10	3, 5, 7, 8, 9	prdsbas 17085	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)))
11	2	fveq2d 6760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (Base‘(𝑠Xs𝑟)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
12	10, 11	eqtr3d 2780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → 𝑟 = 𝑅)
14	13	dmeqd 5803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → dom 𝑟 = dom 𝑅)
15	13	fveq1d 6758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (𝑟‘𝑥) = (𝑅‘𝑥))
16	15	fveq2d 6760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → (0g‘(𝑟‘𝑥)) = (0g‘(𝑅‘𝑥)))
17	16	neeq2d 3003	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥)) ↔ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))))
18	14, 17	rabeqbidv 3410	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} = {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))})
19	18	eleq1d 2823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ({𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} ∈ Fin ↔ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin))
20	12, 19	rabeqbidv 3410	. . . . . 6 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → {𝑓 ∈ X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin})
21		dsmmval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑅‘𝑥))} ∈ Fin}
22	20, 21	eqtr4di 2797	. . . . 5 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → {𝑓 ∈ X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} ∈ Fin} = 𝐵)
23	2, 22	oveq12d 7273	. . . 4 ⊢ ((𝑠 = 𝑆 ∧ 𝑟 = 𝑅) → ((𝑠Xs𝑟) ↾s {𝑓 ∈ X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} ∈ Fin}) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
24		df-dsmm 20849	. . . 4 ⊢ ⊕m = (𝑠 ∈ V, 𝑟 ∈ V ↦ ((𝑠Xs𝑟) ↾s {𝑓 ∈ X𝑥 ∈ dom 𝑟(Base‘(𝑟‘𝑥)) ∣ {𝑥 ∈ dom 𝑟 ∣ (𝑓‘𝑥) ≠ (0g‘(𝑟‘𝑥))} ∈ Fin}))
25		ovex 7288	. . . 4 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) ∈ V
26	23, 24, 25	ovmpoa 7406	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
27		reldmdsmm 20850	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom ⊕m
28	27	ovprc1 7294	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ∅)
29		ress0 16879	. . . . . 6 ⊢ (∅ ↾s 𝐵) = ∅
30	28, 29	eqtr4di 2797	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (∅ ↾s 𝐵))
31		reldmprds 17076	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom Xs
32	31	ovprc1 7294	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
33	32	oveq1d 7270	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵) = (∅ ↾s 𝐵))
34	30, 33	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
35	34	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑆 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
36	26, 35	pm2.61ian 808	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))
37	1, 36	syl 17	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  {crab 3067  Vcvv 3422  ∅c0 4253  dom cdm 5580  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Xcixp 8643  Fincfn 8691  Basecbs 16840   ↾_s cress 16867  0_gc0g 17067  X_scprds 17073   ⊕_m cdsmm 20848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-prds 17075  df-dsmm 20849

This theorem is referenced by:  dsmmbase  20852  dsmmval2  20853