Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngds 23264
 Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2 = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
tngds (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 16671 . . . 4 dist = Slot (dist‘ndx)
2 9re 11727 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
3 1nn 11639 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
4 2nn0 11905 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
5 9nn0 11912 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
6 9lt10 12220 . . . . . . 7 9 < 10
73, 4, 5, 6declti 12127 . . . . . 6 9 < 12
82, 7gtneii 10744 . . . . 5 12 ≠ 9
9 dsndx 16670 . . . . . 6 (dist‘ndx) = 12
10 tsetndx 16654 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
119, 10neeq12i 3053 . . . . 5 ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ 12 ≠ 9)
128, 11mpbir 234 . . . 4 (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
131, 12setsnid 16534 . . 3 (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
14 tngds.2 . . . . . 6 = (-g𝐺)
1514fvexi 6660 . . . . 5 ∈ V
16 coexg 7619 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∈ V) → (𝑁 ) ∈ V)
1715, 16mpan2 690 . . . 4 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) ∈ V)
181setsid 16533 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ) ∈ V) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
1917, 18sylan2 595 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
20 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
21 eqid 2798 . . . . 5 (𝑁 ) = (𝑁 )
22 eqid 2798 . . . . 5 (MetOpen‘(𝑁 )) = (MetOpen‘(𝑁 ))
2320, 14, 21, 22tngval 23255 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
2423fveq2d 6650 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩)))
2513, 19, 243eqtr4a 2859 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
26 co02 6081 . . . . 5 (𝑁 ∘ ∅) = ∅
27 df-ds 16582 . . . . . 6 dist = Slot 12
2827str0 16530 . . . . 5 ∅ = (dist‘∅)
2926, 28eqtri 2821 . . . 4 (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
30 fvprc 6639 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (-g𝐺) = ∅)
3114, 30syl5eq 2845 . . . . 5 𝐺 ∈ V → = ∅)
3231coeq2d 5698 . . . 4 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (𝑁 ∘ ∅))
33 reldmtng 23254 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
3433ovprc1 7175 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
3520, 34syl5eq 2845 . . . . 5 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
3635fveq2d 6650 . . . 4 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
3729, 32, 363eqtr4a 2859 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
3837adantr 484 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
3925, 38pm2.61ian 811 1 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  Vcvv 3441  ∅c0 4243  ⟨cop 4531   ∘ ccom 5524  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  1c1 10530  2c2 11683  9c9 11690  ;cdc 12089  ndxcnx 16475   sSet csts 16476  TopSetcts 16566  distcds 16569  -gcsg 18100  MetOpencmopn 20085   toNrmGrp ctng 23195 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-er 8275  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-3 11692  df-4 11693  df-5 11694  df-6 11695  df-7 11696  df-8 11697  df-9 11698  df-n0 11889  df-z 11973  df-dec 12090  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-sets 16485  df-tset 16579  df-ds 16582  df-tng 23201 This theorem is referenced by:  tngtset  23265  tngtopn  23266  tngnm  23267  tngngp2  23268  tngngpd  23269  nrmtngdist  23273  tngnrg  23290  cnindmet  23777  tcphds  23845
 Copyright terms: Public domain W3C validator