MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngds 24683
Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2 = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
tngds (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 17431 . . . 4 dist = Slot (dist‘ndx)
2 dsndxntsetndx 17438 . . . 4 (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
31, 2setsnid 17242 . . 3 (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
4 tngds.2 . . . . . 6 = (-g𝐺)
54fvexi 6920 . . . . 5 ∈ V
6 coexg 7951 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∈ V) → (𝑁 ) ∈ V)
75, 6mpan2 691 . . . 4 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) ∈ V)
81setsid 17241 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ) ∈ V) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
97, 8sylan2 593 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
10 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
11 eqid 2734 . . . . 5 (𝑁 ) = (𝑁 )
12 eqid 2734 . . . . 5 (MetOpen‘(𝑁 )) = (MetOpen‘(𝑁 ))
1310, 4, 11, 12tngval 24667 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
1413fveq2d 6910 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩)))
153, 9, 143eqtr4a 2800 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
16 co02 6281 . . . . 5 (𝑁 ∘ ∅) = ∅
171str0 17222 . . . . 5 ∅ = (dist‘∅)
1816, 17eqtri 2762 . . . 4 (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
19 fvprc 6898 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (-g𝐺) = ∅)
204, 19eqtrid 2786 . . . . 5 𝐺 ∈ V → = ∅)
2120coeq2d 5875 . . . 4 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (𝑁 ∘ ∅))
22 reldmtng 24666 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
2322ovprc1 7469 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
2410, 23eqtrid 2786 . . . . 5 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
2524fveq2d 6910 . . . 4 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
2618, 21, 253eqtr4a 2800 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
2726adantr 480 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
2815, 27pm2.61ian 812 1 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  Vcvv 3477  c0 4338  cop 4636  ccom 5692  cfv 6562  (class class class)co 7430   sSet csts 17196  ndxcnx 17226  TopSetcts 17303  distcds 17306  -gcsg 18965  MetOpencmopn 21371   toNrmGrp ctng 24606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-tset 17316  df-ds 17319  df-tng 24612
This theorem is referenced by:  tngtset  24685  tngtopn  24686  tngnm  24687  tngngp2  24688  tngngpd  24689  nrmtngdist  24693  tngnrg  24710  cnindmet  25209  tcphds  25278
  Copyright terms: Public domain W3C validator