MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngds 24027
Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tngds (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 17272 . . . 4 dist = Slot (distβ€˜ndx)
2 dsndxntsetndx 17279 . . . 4 (distβ€˜ndx) β‰  (TopSetβ€˜ndx)
31, 2setsnid 17086 . . 3 (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)) = (distβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩))
4 tngds.2 . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
54fvexi 6857 . . . . 5 βˆ’ ∈ V
6 coexg 7867 . . . . 5 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ βˆ’ ∈ V) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V)
75, 6mpan2 690 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V)
81setsid 17085 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)))
97, 8sylan2 594 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)))
10 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
11 eqid 2733 . . . . 5 (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝑁 ∘ βˆ’ )
12 eqid 2733 . . . . 5 (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))
1310, 4, 11, 12tngval 24011 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩))
1413fveq2d 6847 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩)))
153, 9, 143eqtr4a 2799 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
16 co02 6213 . . . . 5 (𝑁 ∘ βˆ…) = βˆ…
171str0 17066 . . . . 5 βˆ… = (distβ€˜βˆ…)
1816, 17eqtri 2761 . . . 4 (𝑁 ∘ βˆ…) = (distβ€˜βˆ…)
19 fvprc 6835 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (-gβ€˜πΊ) = βˆ…)
204, 19eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ βˆ’ = βˆ…)
2120coeq2d 5819 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝑁 ∘ βˆ…))
22 reldmtng 24010 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
2322ovprc1 7397 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = βˆ…)
2410, 23eqtrid 2785 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ 𝑇 = βˆ…)
2524fveq2d 6847 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜βˆ…))
2618, 21, 253eqtr4a 2799 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
2726adantr 482 . 2 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
2815, 27pm2.61ian 811 1 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444  βˆ…c0 4283  βŸ¨cop 4593   ∘ ccom 5638  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   sSet csts 17040  ndxcnx 17070  TopSetcts 17144  distcds 17147  -gcsg 18755  MetOpencmopn 20802   toNrmGrp ctng 23950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-tset 17157  df-ds 17160  df-tng 23956
This theorem is referenced by:  tngtset  24029  tngtopn  24030  tngnm  24031  tngngp2  24032  tngngpd  24033  nrmtngdist  24037  tngnrg  24054  cnindmet  24542  tcphds  24611
  Copyright terms: Public domain W3C validator