MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngds 24563
Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tngds (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 17366 . . . 4 dist = Slot (distβ€˜ndx)
2 dsndxntsetndx 17373 . . . 4 (distβ€˜ndx) β‰  (TopSetβ€˜ndx)
31, 2setsnid 17177 . . 3 (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)) = (distβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩))
4 tngds.2 . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
54fvexi 6911 . . . . 5 βˆ’ ∈ V
6 coexg 7937 . . . . 5 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ βˆ’ ∈ V) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V)
75, 6mpan2 690 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V)
81setsid 17176 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)))
97, 8sylan2 592 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)))
10 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
11 eqid 2728 . . . . 5 (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝑁 ∘ βˆ’ )
12 eqid 2728 . . . . 5 (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))
1310, 4, 11, 12tngval 24547 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩))
1413fveq2d 6901 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩)))
153, 9, 143eqtr4a 2794 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
16 co02 6264 . . . . 5 (𝑁 ∘ βˆ…) = βˆ…
171str0 17157 . . . . 5 βˆ… = (distβ€˜βˆ…)
1816, 17eqtri 2756 . . . 4 (𝑁 ∘ βˆ…) = (distβ€˜βˆ…)
19 fvprc 6889 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (-gβ€˜πΊ) = βˆ…)
204, 19eqtrid 2780 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ βˆ’ = βˆ…)
2120coeq2d 5865 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝑁 ∘ βˆ…))
22 reldmtng 24546 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
2322ovprc1 7459 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = βˆ…)
2410, 23eqtrid 2780 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ 𝑇 = βˆ…)
2524fveq2d 6901 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜βˆ…))
2618, 21, 253eqtr4a 2794 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
2726adantr 480 . 2 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
2815, 27pm2.61ian 811 1 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471  βˆ…c0 4323  βŸ¨cop 4635   ∘ ccom 5682  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   sSet csts 17131  ndxcnx 17161  TopSetcts 17238  distcds 17241  -gcsg 18891  MetOpencmopn 21268   toNrmGrp ctng 24486
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-tset 17251  df-ds 17254  df-tng 24492
This theorem is referenced by:  tngtset  24565  tngtopn  24566  tngnm  24567  tngngp2  24568  tngngpd  24569  nrmtngdist  24573  tngnrg  24590  cnindmet  25089  tcphds  25158
  Copyright terms: Public domain W3C validator