MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngds 24155
Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Oct-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tngds (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 17327 . . . 4 dist = Slot (distβ€˜ndx)
2 dsndxntsetndx 17334 . . . 4 (distβ€˜ndx) β‰  (TopSetβ€˜ndx)
31, 2setsnid 17138 . . 3 (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)) = (distβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩))
4 tngds.2 . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
54fvexi 6902 . . . . 5 βˆ’ ∈ V
6 coexg 7916 . . . . 5 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ βˆ’ ∈ V) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V)
75, 6mpan2 689 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V)
81setsid 17137 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)))
97, 8sylan2 593 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)))
10 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
11 eqid 2732 . . . . 5 (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝑁 ∘ βˆ’ )
12 eqid 2732 . . . . 5 (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))
1310, 4, 11, 12tngval 24139 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩))
1413fveq2d 6892 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩)))
153, 9, 143eqtr4a 2798 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
16 co02 6256 . . . . 5 (𝑁 ∘ βˆ…) = βˆ…
171str0 17118 . . . . 5 βˆ… = (distβ€˜βˆ…)
1816, 17eqtri 2760 . . . 4 (𝑁 ∘ βˆ…) = (distβ€˜βˆ…)
19 fvprc 6880 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (-gβ€˜πΊ) = βˆ…)
204, 19eqtrid 2784 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ βˆ’ = βˆ…)
2120coeq2d 5860 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝑁 ∘ βˆ…))
22 reldmtng 24138 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
2322ovprc1 7444 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = βˆ…)
2410, 23eqtrid 2784 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ 𝑇 = βˆ…)
2524fveq2d 6892 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜βˆ…))
2618, 21, 253eqtr4a 2798 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
2726adantr 481 . 2 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
2815, 27pm2.61ian 810 1 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3474  βˆ…c0 4321  βŸ¨cop 4633   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   sSet csts 17092  ndxcnx 17122  TopSetcts 17199  distcds 17202  -gcsg 18817  MetOpencmopn 20926   toNrmGrp ctng 24078
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-tset 17212  df-ds 17215  df-tng 24084
This theorem is referenced by:  tngtset  24157  tngtopn  24158  tngnm  24159  tngngp2  24160  tngngpd  24161  nrmtngdist  24165  tngnrg  24182  cnindmet  24670  tcphds  24739
  Copyright terms: Public domain W3C validator