Theorem tngds 24585

Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngds	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsid 17398	. . . 4 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
2		dsndxntsetndx 17405	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17225	. . 3 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
4		tngds.2	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	4	fvexi 6889	. . . . 5 ⊢ − ∈ V
6		coexg 7923	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ − ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
7	5, 6	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
8	1	setsid 17224	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ∘ − ) ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
9	7, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
10		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
11		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ − )
12		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ − )) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))
13	10, 4, 11, 12	tngval 24576	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
14	13	fveq2d 6879	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩)))
15	3, 9, 14	3eqtr4a 2796	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
16		co02 6249	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = ∅
17	1	str0 17206	. . . . 5 ⊢ ∅ = (dist‘∅)
18	16, 17	eqtri 2758	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
19		fvprc 6867	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (-g‘𝐺) = ∅)
20	4, 19	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → − = ∅)
21	20	coeq2d 5842	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ ∅))
22		reldmtng 24575	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
23	22	ovprc1 7442	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
24	10, 23	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
25	24	fveq2d 6879	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
26	18, 21, 25	3eqtr4a 2796	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
27	26	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
28	15, 27	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ∅c0 4308  ⟨cop 4607   ∘ ccom 5658  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403   sSet csts 17180  ndxcnx 17210  TopSetcts 17275  distcds 17278  -_gcsg 18916  MetOpencmopn 21303   toNrmGrp ctng 24515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-dec 12707  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-tset 17288  df-ds 17291  df-tng 24521

This theorem is referenced by:  tngtset  24586  tngtopn  24587  tngnm  24588  tngngp2  24589  tngngpd  24590  nrmtngdist  24594  tngnrg  24611  cnindmet  25112  tcphds  25181