Theorem tngds 24543

Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof shortened by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngds	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsid 17356	. . . 4 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
2		dsndxntsetndx 17363	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
3	1, 2	setsnid 17185	. . 3 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
4		tngds.2	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
5	4	fvexi 6875	. . . . 5 ⊢ − ∈ V
6		coexg 7908	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ − ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
7	5, 6	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
8	1	setsid 17184	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ∘ − ) ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
9	7, 8	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
10		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
11		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ − )
12		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ − )) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))
13	10, 4, 11, 12	tngval 24534	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
14	13	fveq2d 6865	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩)))
15	3, 9, 14	3eqtr4a 2791	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
16		co02 6236	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = ∅
17	1	str0 17166	. . . . 5 ⊢ ∅ = (dist‘∅)
18	16, 17	eqtri 2753	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
19		fvprc 6853	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (-g‘𝐺) = ∅)
20	4, 19	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → − = ∅)
21	20	coeq2d 5829	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ ∅))
22		reldmtng 24533	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
23	22	ovprc1 7429	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
24	10, 23	eqtrid 2777	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
25	24	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
26	18, 21, 25	3eqtr4a 2791	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
27	26	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
28	15, 27	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ⟨cop 4598   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   sSet csts 17140  ndxcnx 17170  TopSetcts 17233  distcds 17236  -_gcsg 18874  MetOpencmopn 21261   toNrmGrp ctng 24473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-tset 17246  df-ds 17249  df-tng 24479

This theorem is referenced by:  tngtset  24544  tngtopn  24545  tngnm  24546  tngngp2  24547  tngngpd  24548  nrmtngdist  24552  tngnrg  24569  cnindmet  25069  tcphds  25138