MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngds 22821
Description: The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2 = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
tngds (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngds
StepHypRef Expression
1 dsid 16415 . . . 4 dist = Slot (dist‘ndx)
2 9re 11455 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
3 1nn 11362 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ
4 2nn0 11636 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
5 9nn0 11643 . . . . . . 7 9 ∈ ℕ0
6 9lt10 11953 . . . . . . 7 9 < 10
73, 4, 5, 6declti 11859 . . . . . 6 9 < 12
82, 7gtneii 10467 . . . . 5 12 ≠ 9
9 dsndx 16414 . . . . . 6 (dist‘ndx) = 12
10 tsetndx 16398 . . . . . 6 (TopSet‘ndx) = 9
119, 10neeq12i 3064 . . . . 5 ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ 12 ≠ 9)
128, 11mpbir 223 . . . 4 (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
131, 12setsnid 16277 . . 3 (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
14 tngds.2 . . . . . 6 = (-g𝐺)
1514fvexi 6446 . . . . 5 ∈ V
16 coexg 7378 . . . . 5 ((𝑁𝑉 ∈ V) → (𝑁 ) ∈ V)
1715, 16mpan2 684 . . . 4 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) ∈ V)
181setsid 16276 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ) ∈ V) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
1917, 18sylan2 588 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩)))
20 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
21 eqid 2824 . . . . 5 (𝑁 ) = (𝑁 )
22 eqid 2824 . . . . 5 (MetOpen‘(𝑁 )) = (MetOpen‘(𝑁 ))
2320, 14, 21, 22tngval 22812 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩))
2423fveq2d 6436 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ))⟩)))
2513, 19, 243eqtr4a 2886 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
26 co02 5889 . . . . 5 (𝑁 ∘ ∅) = ∅
27 df-ds 16326 . . . . . 6 dist = Slot 12
2827str0 16273 . . . . 5 ∅ = (dist‘∅)
2926, 28eqtri 2848 . . . 4 (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
30 fvprc 6425 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (-g𝐺) = ∅)
3114, 30syl5eq 2872 . . . . 5 𝐺 ∈ V → = ∅)
3231coeq2d 5516 . . . 4 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (𝑁 ∘ ∅))
33 reldmtng 22811 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
3433ovprc1 6942 . . . . . 6 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
3520, 34syl5eq 2872 . . . . 5 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
3635fveq2d 6436 . . . 4 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
3729, 32, 363eqtr4a 2886 . . 3 𝐺 ∈ V → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
3837adantr 474 . 2 ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁𝑉) → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
3925, 38pm2.61ian 848 1 (𝑁𝑉 → (𝑁 ) = (dist‘𝑇))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  Vcvv 3413  c0 4143  cop 4402  ccom 5345  cfv 6122  (class class class)co 6904  1c1 10252  2c2 11405  9c9 11412  cdc 11820  ndxcnx 16218   sSet csts 16219  TopSetcts 16310  distcds 16313  -gcsg 17777  MetOpencmopn 20095   toNrmGrp ctng 22752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-sets 16228  df-tset 16323  df-ds 16326  df-tng 22758
This theorem is referenced by:  tngtset  22822  tngtopn  22823  tngnm  22824  tngngp2  22825  tngngpd  22826  nrmtngdist  22830  tngnrg  22847  cnindmet  23330  tcphds  23398
  Copyright terms: Public domain W3C validator