Theorem srascaOLD 20438

Description: Obsolete proof of srasca 20437 as of 12-Nov-2024. The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srascaOLD	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem srascaOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaid 17015	. . . . 5 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2		5re 12052	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
3		5lt6 12146	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 6
4	2, 3	ltneii 11080	. . . . . 6 ⊢ 5 ≠ 6
5		scandx 17014	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6		vscandx 17019	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
7	5, 6	neeq12i 3012	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 5 ≠ 6)
8	4, 7	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	1, 8	setsnid 16900	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
10		5lt8 12159	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 8
11	2, 10	ltneii 11080	. . . . . 6 ⊢ 5 ≠ 8
12		ipndx 17030	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
13	5, 12	neeq12i 3012	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 5 ≠ 8)
14	11, 13	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
15	1, 14	setsnid 16900	. . . 4 ⊢ (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
16	9, 15	eqtri 2768	. . 3 ⊢ (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
17		ovexd 7304	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
18	1	setsid 16899	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
19	17, 18	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
20		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
21	20	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
22		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
23		sraval 20428	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
24	22, 23	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
25	21, 24	eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
26	25	fveq2d 6773	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
27	16, 19, 26	3eqtr4a 2806	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
28	1	str0 16880	. . 3 ⊢ ∅ = (Scalar‘∅)
29		reldmress 16933	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
30	29	ovprc1 7308	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝑆) = ∅)
31	30	adantr 481	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = ∅)
32		fv2prc 6809	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
33	20, 32	sylan9eqr 2802	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
34	33	fveq2d 6773	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘∅))
35	28, 31, 34	3eqtr4a 2806	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
36	27, 35	pm2.61ian 809	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  ⟨cop 4573  ‘cfv 6431  (class class class)co 7269  5c5 12023  6c6 12024  8c8 12026   sSet csts 16854  ndxcnx 16884  Basecbs 16902   ↾_s cress 16931  ._rcmulr 16953  Scalarcsca 16955   ·_𝑠 cvsca 16956  ·_𝑖cip 16957  subringAlg csra 20420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-2 12028  df-3 12029  df-4 12030  df-5 12031  df-6 12032  df-7 12033  df-8 12034  df-sets 16855  df-slot 16873  df-ndx 16885  df-ress 16932  df-sca 16968  df-vsca 16969  df-ip 16970  df-sra 20424

This theorem is referenced by: (None)