Theorem srascaOLD 21022

Description: Obsolete proof of srasca 21021 as of 12-Nov-2024. The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Nov-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srascaOLD	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem srascaOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaid 17258	. . . . 5 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2		5re 12295	. . . . . . 7 ⊢ 5 ∈ ℝ
3		5lt6 12389	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 6
4	2, 3	ltneii 11323	. . . . . 6 ⊢ 5 ≠ 6
5		scandx 17257	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘ndx) = 5
6		vscandx 17262	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
7	5, 6	neeq12i 2999	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 5 ≠ 6)
8	4, 7	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	1, 8	setsnid 17140	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
10		5lt8 12402	. . . . . . 7 ⊢ 5 < 8
11	2, 10	ltneii 11323	. . . . . 6 ⊢ 5 ≠ 8
12		ipndx 17273	. . . . . . 7 ⊢ (·𝑖‘ndx) = 8
13	5, 12	neeq12i 2999	. . . . . 6 ⊢ ((Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 5 ≠ 8)
14	11, 13	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
15	1, 14	setsnid 17140	. . . 4 ⊢ (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
16	9, 15	eqtri 2752	. . 3 ⊢ (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
17		ovexd 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
18	1	setsid 17139	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
19	17, 18	sylan2 592	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
20		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
21	20	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
22		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
23		sraval 21012	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
24	22, 23	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
25	21, 24	eqtrd 2764	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
26	25	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
27	16, 19, 26	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
28	1	str0 17120	. . 3 ⊢ ∅ = (Scalar‘∅)
29		reldmress 17173	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
30	29	ovprc1 7440	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝑆) = ∅)
31	30	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = ∅)
32		fv2prc 6926	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
33	20, 32	sylan9eqr 2786	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
34	33	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘∅))
35	28, 31, 34	3eqtr4a 2790	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
36	27, 35	pm2.61ian 809	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  Vcvv 3466   ⊆ wss 3940  ∅c0 4314  ⟨cop 4626  ‘cfv 6533  (class class class)co 7401  5c5 12266  6c6 12267  8c8 12269   sSet csts 17094  ndxcnx 17124  Basecbs 17142   ↾_s cress 17171  ._rcmulr 17196  Scalarcsca 17198   ·_𝑠 cvsca 17199  ·_𝑖cip 17200  subringAlg csra 21008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-ress 17172  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-ip 17213  df-sra 21010

This theorem is referenced by: (None)