Theorem relexpsucld 14977

Description: A reduction for relation exponentiation to the left. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpsucrd.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
relexpsucrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpsucld	⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))

Proof of Theorem relexpsucld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
2		relexpsucrd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
3	2	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → Rel 𝑅)
4		relexpsucrd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		relexpsucl 14974	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))
8	7	ex 414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁))))
9		reldmrelexp 14964	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑𝑟
10	9	ovprc1 7443	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ∅)
11	9	ovprc1 7443	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
12	11	coeq2d 5860	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)) = (𝑅 ∘ ∅))
13		co02 6256	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∘ ∅) = ∅
14	12, 13	eqtr2di 2790	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∅ = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))
15	10, 14	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))
16	8, 15	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  ∅c0 4321   ∘ ccom 5679  Rel wrel 5680  (class class class)co 7404  1c1 11107   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12468  ↑_𝑟crelexp 14962

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-relexp 14963

This theorem is referenced by:  relexpindlem  15006