Theorem relexpsucld 14597

Description: A reduction for relation exponentiation to the left. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpsucrd.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
relexpsucrd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpsucld	⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))

Proof of Theorem relexpsucld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 488	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
2		relexpsucrd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
3	2	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → Rel 𝑅)
4		relexpsucrd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
5	4	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6		relexpsucl 14594	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))
7	1, 3, 5, 6	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))
8	7	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁))))
9		reldmrelexp 14584	. . . 4 ⊢ Rel dom ↑𝑟
10	9	ovprc1 7252	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = ∅)
11	9	ovprc1 7252	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
12	11	coeq2d 5731	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)) = (𝑅 ∘ ∅))
13		co02 6124	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∘ ∅) = ∅
14	12, 13	eqtr2di 2795	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∅ = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))
15	10, 14	eqtrd 2777	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))
16	8, 15	pm2.61d1 183	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 1)) = (𝑅 ∘ (𝑅↑𝑟𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  ∅c0 4237   ∘ ccom 5555  Rel wrel 5556  (class class class)co 7213  1c1 10730   + caddc 10732  ℕ₀cn0 12090  ↑_𝑟crelexp 14582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-seq 13575  df-relexp 14583

This theorem is referenced by:  relexpindlem  14626