Theorem relexpaddd 15027

Description: Relation composition becomes addition under exponentiation. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpaddd.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
relexpaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
relexpaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpaddd	⊢ (𝜑 → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem relexpaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpaddd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		relexpaddd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
6		relexpaddd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
7	6	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
9		relexpaddg 15026	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V ∧ ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
10	2, 4, 5, 8, 9	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀))))
12		co01 6237	. . 3 ⊢ (∅ ∘ ∅) = ∅
13		reldmrelexp 14994	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↑𝑟
14	13	ovprc1 7429	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
15	13	ovprc1 7429	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑀) = ∅)
16	14, 15	coeq12d 5831	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (∅ ∘ ∅))
17	13	ovprc1 7429	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅)
18	12, 16, 17	3eqtr4a 2791	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
19	11, 18	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299   ∘ ccom 5645  Rel wrel 5646  (class class class)co 7390  1c1 11076   + caddc 11078  ℕ₀cn0 12449  ↑_𝑟crelexp 14992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-relexp 14993

This theorem is referenced by:  rtrclreclem3  15033  relexpnul  43674