Theorem relexpaddd 14981

Description: Relation composition becomes addition under exponentiation. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpaddd.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
relexpaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
relexpaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpaddd	⊢ (𝜑 → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem relexpaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpaddd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		relexpaddd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
6		relexpaddd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
7	6	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
9		relexpaddg 14980	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V ∧ ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
10	2, 4, 5, 8, 9	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀))))
12		co01 6221	. . 3 ⊢ (∅ ∘ ∅) = ∅
13		reldmrelexp 14948	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↑𝑟
14	13	ovprc1 7399	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
15	13	ovprc1 7399	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑀) = ∅)
16	14, 15	coeq12d 5814	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (∅ ∘ ∅))
17	13	ovprc1 7399	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅)
18	12, 16, 17	3eqtr4a 2798	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
19	11, 18	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3441  ∅c0 4286   ∘ ccom 5629  Rel wrel 5630  (class class class)co 7360  1c1 11031   + caddc 11033  ℕ₀cn0 12405  ↑_𝑟crelexp 14946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-seq 13929  df-relexp 14947

This theorem is referenced by:  rtrclreclem3  14987  relexpnul  43986