Theorem relexpaddd 15098

Description: Relation composition becomes addition under exponentiation. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpaddd.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
relexpaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
relexpaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpaddd	⊢ (𝜑 → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem relexpaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpaddd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		relexpaddd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
6		relexpaddd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
7	6	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
8	7	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
9		relexpaddg 15097	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V ∧ ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
10	2, 4, 5, 8, 9	syl13anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
11	10	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀))))
12		co01 6262	. . 3 ⊢ (∅ ∘ ∅) = ∅
13		reldmrelexp 15065	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↑𝑟
14	13	ovprc1 7451	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
15	13	ovprc1 7451	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑀) = ∅)
16	14, 15	coeq12d 5849	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (∅ ∘ ∅))
17	13	ovprc1 7451	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅)
18	12, 16, 17	3eqtr4a 2823	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
19	11, 18	pm2.61d1 182	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  ∅c0 4285   ∘ ccom 5664  Rel wrel 5665  (class class class)co 7412  1c1 11107   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12510  ↑_𝑟crelexp 15063

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-seq 14045  df-relexp 15064

This theorem is used by:  rtrclreclem3  15104  relexpnul  44432