Theorem relexpaddd 14979

Description: Relation composition becomes addition under exponentiation. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpaddd.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
relexpaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
relexpaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpaddd	⊢ (𝜑 → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem relexpaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpaddd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		relexpaddd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
6		relexpaddd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
7	6	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
9		relexpaddg 14978	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V ∧ ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
10	2, 4, 5, 8, 9	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀))))
12		co01 6219	. . 3 ⊢ (∅ ∘ ∅) = ∅
13		reldmrelexp 14946	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↑𝑟
14	13	ovprc1 7397	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
15	13	ovprc1 7397	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑀) = ∅)
16	14, 15	coeq12d 5812	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (∅ ∘ ∅))
17	13	ovprc1 7397	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅)
18	12, 16, 17	3eqtr4a 2796	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
19	11, 18	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3439  ∅c0 4284   ∘ ccom 5627  Rel wrel 5628  (class class class)co 7358  1c1 11029   + caddc 11031  ℕ₀cn0 12403  ↑_𝑟crelexp 14944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-relexp 14945

This theorem is referenced by:  rtrclreclem3  14985  relexpnul  43956