Theorem relexpaddd 14991

Description: Relation composition becomes addition under exponentiation. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
relexpaddd.1	⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
relexpaddd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
relexpaddd.3	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpaddd	⊢ (𝜑 → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))

Proof of Theorem relexpaddd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpaddd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑁 ∈ ℕ0)
3		relexpaddd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑀 ∈ ℕ0)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
6		relexpaddd.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Rel 𝑅)
7	6	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
8	7	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))
9		relexpaddg 14990	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V ∧ ((𝑁 + 𝑀) = 1 → Rel 𝑅))) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
10	2, 4, 5, 8, 9	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
11	10	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀))))
12		co01 6230	. . 3 ⊢ (∅ ∘ ∅) = ∅
13		reldmrelexp 14958	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↑𝑟
14	13	ovprc1 7409	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
15	13	ovprc1 7409	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑀) = ∅)
16	14, 15	coeq12d 5823	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (∅ ∘ ∅))
17	13	ovprc1 7409	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)) = ∅)
18	12, 16, 17	3eqtr4a 2798	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))
19	11, 18	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑅↑𝑟𝑁) ∘ (𝑅↑𝑟𝑀)) = (𝑅↑𝑟(𝑁 + 𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442  ∅c0 4287   ∘ ccom 5638  Rel wrel 5639  (class class class)co 7370  1c1 11041   + caddc 11043  ℕ₀cn0 12415  ↑_𝑟crelexp 14956

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-seq 13939  df-relexp 14957

This theorem is referenced by:  rtrclreclem3  14997  relexpnul  44063