Theorem rlmsca2 21253

Description: Scalars in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmsca2	⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmsca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6937	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	ressid 17270	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
4	1, 3	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
5		fvprc 6853	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
6		reldmress 17258	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
7	6	ovprc1 7429	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = ∅)
8	5, 7	eqtr4d 2799	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
9	4, 8	pm2.61i 183	. 2 ⊢ ( I ‘𝑅) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))
10		rlmval 21245	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)))
12		ssidd 3957	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
13	11, 12	srasca 21234	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
14	13	mptru 1566	. 2 ⊢ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
15	9, 14	eqtri 2784	1 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1559  ⊤wtru 1560   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4283   I cid 5537  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  Basecbs 17235   ↾_s cress 17256  Scalarcsca 17279  subringAlg csra 21225  ringLModcrglmod 21226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7841  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-er 8671  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-ress 17257  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-sra 21227  df-rgmod 21228

This theorem is referenced by:  rlmscaf  21261  islidl  21272  lidlrsppropd  21301  rspsn  21390  nrgtrg  24737