Theorem rlmsca2 20520

Description: Scalars in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rlmsca2	⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmsca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvi 6876	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	2	ressid 17003	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
4	1, 3	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
5		fvprc 6796	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
6		reldmress 16992	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
7	6	ovprc1 7346	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = ∅)
8	5, 7	eqtr4d 2779	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)))
9	4, 8	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ( I ‘𝑅) = (𝑅 ↾s (Base‘𝑅))
10		rlmval 20510	. . . . 5 ⊢ (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
11	10	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)))
12		ssidd 3949	. . . 4 ⊢ (⊤ → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
13	11, 12	srasca 20496	. . 3 ⊢ (⊤ → (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
14	13	mptru 1546	. 2 ⊢ (𝑅 ↾s (Base‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
15	9, 14	eqtri 2764	1 ⊢ ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437  ∅c0 4262   I cid 5499  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16961   ↾_s cress 16990  Scalarcsca 17014  subringAlg csra 20479  ringLModcrglmod 20480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3332  df-rab 3333  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-4 12088  df-5 12089  df-6 12090  df-7 12091  df-8 12092  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-ress 16991  df-sca 17027  df-vsca 17028  df-ip 17029  df-sra 20483  df-rgmod 20484

This theorem is referenced by:  rlmscaf  20528  islidl  20531  lidlrsppropd  20550  rspsn  20574  nrgtrg  23903