MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rlmsca2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rlmsca2 21121
Description: Scalars in the ring module. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
rlmsca2 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))

Proof of Theorem rlmsca2
StepHypRef Expression
1 fvi 6973 . . . 4 (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = 𝑅)
2 eqid 2725 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
32ressid 17244 . . . 4 (𝑅 ∈ V → (𝑅s (Base‘𝑅)) = 𝑅)
41, 3eqtr4d 2768 . . 3 (𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (𝑅s (Base‘𝑅)))
5 fvprc 6888 . . . 4 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = ∅)
6 reldmress 17230 . . . . 5 Rel dom ↾s
76ovprc1 7458 . . . 4 𝑅 ∈ V → (𝑅s (Base‘𝑅)) = ∅)
85, 7eqtr4d 2768 . . 3 𝑅 ∈ V → ( I ‘𝑅) = (𝑅s (Base‘𝑅)))
94, 8pm2.61i 182 . 2 ( I ‘𝑅) = (𝑅s (Base‘𝑅))
10 rlmval 21113 . . . . 5 (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅))
1110a1i 11 . . . 4 (⊤ → (ringLMod‘𝑅) = ((subringAlg ‘𝑅)‘(Base‘𝑅)))
12 ssidd 4000 . . . 4 (⊤ → (Base‘𝑅) ⊆ (Base‘𝑅))
1311, 12srasca 21098 . . 3 (⊤ → (𝑅s (Base‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅)))
1413mptru 1540 . 2 (𝑅s (Base‘𝑅)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
159, 14eqtri 2753 1 ( I ‘𝑅) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1533  wtru 1534  wcel 2098  Vcvv 3461  c0 4322   I cid 5575  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17199  s cress 17228  Scalarcsca 17255  subringAlg csra 21085  ringLModcrglmod 21086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-ress 17229  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-sra 21087  df-rgmod 21088
This theorem is referenced by:  rlmscaf  21129  islidl  21140  lidlrsppropd  21168  rspsn  21257  nrgtrg  24668
  Copyright terms: Public domain W3C validator