Theorem relexpdmd 15033

Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
relexpdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpdmd	⊢ (𝜑 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

Proof of Theorem relexpdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpdmd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		relexpdm 15032	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
3	1, 2	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
4	3	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅))
5		reldmrelexp 15010	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↑𝑟
6	5	ovprc1 7465	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
7	6	dmeqd 5912	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → dom (𝑅↑𝑟𝑁) = dom ∅)
8		dm0 5927	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2784	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → dom (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
10		0ss 4400	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ ∪ 𝑅
11	9, 10	eqsstrdi 4036	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
12	4, 11	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   ⊆ wss 3949  ∅c0 4326  ∪ cuni 4912  dom cdm 5682  (class class class)co 7426  ℕ₀cn0 12512  ↑_𝑟crelexp 15008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-n0 12513  df-z 12599  df-uz 12863  df-seq 14009  df-relexp 15009

This theorem is referenced by: (None)