Theorem relexpdmd 15107

Description: The domain of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
relexpdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpdmd	⊢ (𝜑 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

Proof of Theorem relexpdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpdmd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		relexpdm 15106	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
3	1, 2	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
4	3	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅))
5		reldmrelexp 15084	. . . . . 6 ⊢ Rel dom ↑𝑟
6	5	ovprc1 7462	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
7	6	dmeqd 5900	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → dom (𝑅↑𝑟𝑁) = dom ∅)
8		dm0 5915	. . . 4 ⊢ dom ∅ = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2817	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → dom (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
10		0ss 4360	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ ∪ 𝑅
11	9, 10	eqsstrdi 3984	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
12	4, 11	pm2.61d1 182	1 ⊢ (𝜑 → dom (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  ∪ cuni 4877  dom cdm 5666  (class class class)co 7423  ℕ₀cn0 12522  ↑_𝑟crelexp 15082

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-seq 14058  df-relexp 15083

This theorem is used by: (None)