Theorem tngdsOLD 24685

Description: Obsolete version of tngds 24684 as of 29-Oct-2024. The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngdsOLD	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngdsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsid 17432	. . . 4 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
2		9re 12363	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1nn 12275	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		2nn0 12541	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		9nn0 12548	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		9lt10 12862	. . . . . . 7 ⊢ 9 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12769	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;12
8	2, 7	gtneii 11371	. . . . 5 ⊢ ;12 ≠ 9
9		dsndx 17431	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10		tsetndx 17398	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
11	9, 10	neeq12i 3005	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ 9)
12	8, 11	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
13	1, 12	setsnid 17243	. . 3 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
14		tngds.2	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15	14	fvexi 6921	. . . . 5 ⊢ − ∈ V
16		coexg 7952	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ − ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
17	15, 16	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
18	1	setsid 17242	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ∘ − ) ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
19	17, 18	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
20		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
21		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ − )
22		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ − )) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))
23	20, 14, 21, 22	tngval 24668	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
24	23	fveq2d 6911	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩)))
25	13, 19, 24	3eqtr4a 2801	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
26		co02 6282	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = ∅
27		df-ds 17320	. . . . . 6 ⊢ dist = Slot ;12
28	27	str0 17223	. . . . 5 ⊢ ∅ = (dist‘∅)
29	26, 28	eqtri 2763	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
30		fvprc 6899	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (-g‘𝐺) = ∅)
31	14, 30	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → − = ∅)
32	31	coeq2d 5876	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ ∅))
33		reldmtng 24667	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
34	33	ovprc1 7470	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
35	20, 34	eqtrid 2787	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
36	35	fveq2d 6911	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
37	29, 32, 36	3eqtr4a 2801	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
38	37	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
39	25, 38	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478  ∅c0 4339  ⟨cop 4637   ∘ ccom 5693  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  2c2 12319  9c9 12326  ;cdc 12731   sSet csts 17197  ndxcnx 17227  TopSetcts 17304  distcds 17307  -_gcsg 18966  MetOpencmopn 21372   toNrmGrp ctng 24607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-tset 17317  df-ds 17320  df-tng 24613

This theorem is referenced by: (None)