MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngdsOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngdsOLD 24593
Description: Obsolete proof of tngds 24592 as of 29-Oct-2024. The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tngdsOLD (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngdsOLD
StepHypRef Expression
1 dsid 17376 . . . 4 dist = Slot (distβ€˜ndx)
2 9re 12351 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
3 1nn 12263 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
4 2nn0 12529 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
5 9nn0 12536 . . . . . . 7 9 ∈ β„•0
6 9lt10 12848 . . . . . . 7 9 < 10
73, 4, 5, 6declti 12755 . . . . . 6 9 < 12
82, 7gtneii 11366 . . . . 5 12 β‰  9
9 dsndx 17375 . . . . . 6 (distβ€˜ndx) = 12
10 tsetndx 17342 . . . . . 6 (TopSetβ€˜ndx) = 9
119, 10neeq12i 3004 . . . . 5 ((distβ€˜ndx) β‰  (TopSetβ€˜ndx) ↔ 12 β‰  9)
128, 11mpbir 230 . . . 4 (distβ€˜ndx) β‰  (TopSetβ€˜ndx)
131, 12setsnid 17187 . . 3 (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)) = (distβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩))
14 tngds.2 . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
1514fvexi 6916 . . . . 5 βˆ’ ∈ V
16 coexg 7945 . . . . 5 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ βˆ’ ∈ V) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V)
1715, 16mpan2 689 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V)
181setsid 17186 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)))
1917, 18sylan2 591 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)))
20 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
21 eqid 2728 . . . . 5 (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝑁 ∘ βˆ’ )
22 eqid 2728 . . . . 5 (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))
2320, 14, 21, 22tngval 24576 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩))
2423fveq2d 6906 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩)))
2513, 19, 243eqtr4a 2794 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
26 co02 6269 . . . . 5 (𝑁 ∘ βˆ…) = βˆ…
27 df-ds 17264 . . . . . 6 dist = Slot 12
2827str0 17167 . . . . 5 βˆ… = (distβ€˜βˆ…)
2926, 28eqtri 2756 . . . 4 (𝑁 ∘ βˆ…) = (distβ€˜βˆ…)
30 fvprc 6894 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (-gβ€˜πΊ) = βˆ…)
3114, 30eqtrid 2780 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ βˆ’ = βˆ…)
3231coeq2d 5869 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝑁 ∘ βˆ…))
33 reldmtng 24575 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
3433ovprc1 7465 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = βˆ…)
3520, 34eqtrid 2780 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ 𝑇 = βˆ…)
3635fveq2d 6906 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜βˆ…))
3729, 32, 363eqtr4a 2794 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
3837adantr 479 . 2 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
3925, 38pm2.61ian 810 1 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2937  Vcvv 3473  βˆ…c0 4326  βŸ¨cop 4638   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11149  2c2 12307  9c9 12314  cdc 12717   sSet csts 17141  ndxcnx 17171  TopSetcts 17248  distcds 17251  -gcsg 18906  MetOpencmopn 21283   toNrmGrp ctng 24515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-tset 17261  df-ds 17264  df-tng 24521
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator