Theorem tngdsOLD 24165

Description: Obsolete proof of tngds 24164 as of 29-Oct-2024. The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngdsOLD	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngdsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsid 17331	. . . 4 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
2		9re 12311	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1nn 12223	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		2nn0 12489	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		9nn0 12496	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		9lt10 12808	. . . . . . 7 ⊢ 9 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12715	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;12
8	2, 7	gtneii 11326	. . . . 5 ⊢ ;12 ≠ 9
9		dsndx 17330	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10		tsetndx 17297	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
11	9, 10	neeq12i 3008	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ 9)
12	8, 11	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
13	1, 12	setsnid 17142	. . 3 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
14		tngds.2	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15	14	fvexi 6906	. . . . 5 ⊢ − ∈ V
16		coexg 7920	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ − ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
17	15, 16	mpan2 690	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
18	1	setsid 17141	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ∘ − ) ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
19	17, 18	sylan2 594	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
20		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
21		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ − )
22		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ − )) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))
23	20, 14, 21, 22	tngval 24148	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
24	23	fveq2d 6896	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩)))
25	13, 19, 24	3eqtr4a 2799	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
26		co02 6260	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = ∅
27		df-ds 17219	. . . . . 6 ⊢ dist = Slot ;12
28	27	str0 17122	. . . . 5 ⊢ ∅ = (dist‘∅)
29	26, 28	eqtri 2761	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
30		fvprc 6884	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (-g‘𝐺) = ∅)
31	14, 30	eqtrid 2785	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → − = ∅)
32	31	coeq2d 5863	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ ∅))
33		reldmtng 24147	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
34	33	ovprc1 7448	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
35	20, 34	eqtrid 2785	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
36	35	fveq2d 6896	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
37	29, 32, 36	3eqtr4a 2799	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
38	37	adantr 482	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
39	25, 38	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  Vcvv 3475  ∅c0 4323  ⟨cop 4635   ∘ ccom 5681  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111  2c2 12267  9c9 12274  ;cdc 12677   sSet csts 17096  ndxcnx 17126  TopSetcts 17203  distcds 17206  -_gcsg 18821  MetOpencmopn 20934   toNrmGrp ctng 24087

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-tset 17216  df-ds 17219  df-tng 24093

This theorem is referenced by: (None)