Theorem tngdsOLD 23918

Description: Obsolete proof of tngds 23917 as of 29-Oct-2024. The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngdsOLD	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngdsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsid 17193	. . . 4 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
2		9re 12173	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1nn 12085	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		2nn0 12351	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		9nn0 12358	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		9lt10 12669	. . . . . . 7 ⊢ 9 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12576	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;12
8	2, 7	gtneii 11188	. . . . 5 ⊢ ;12 ≠ 9
9		dsndx 17192	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10		tsetndx 17159	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
11	9, 10	neeq12i 3007	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ 9)
12	8, 11	mpbir 230	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
13	1, 12	setsnid 17007	. . 3 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
14		tngds.2	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15	14	fvexi 6839	. . . . 5 ⊢ − ∈ V
16		coexg 7844	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ − ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
17	15, 16	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
18	1	setsid 17006	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ∘ − ) ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
19	17, 18	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
20		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
21		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ − )
22		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ − )) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))
23	20, 14, 21, 22	tngval 23901	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
24	23	fveq2d 6829	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩)))
25	13, 19, 24	3eqtr4a 2802	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
26		co02 6198	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = ∅
27		df-ds 17081	. . . . . 6 ⊢ dist = Slot ;12
28	27	str0 16987	. . . . 5 ⊢ ∅ = (dist‘∅)
29	26, 28	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
30		fvprc 6817	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (-g‘𝐺) = ∅)
31	14, 30	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → − = ∅)
32	31	coeq2d 5804	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ ∅))
33		reldmtng 23900	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
34	33	ovprc1 7376	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
35	20, 34	eqtrid 2788	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
36	35	fveq2d 6829	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
37	29, 32, 36	3eqtr4a 2802	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
38	37	adantr 481	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
39	25, 38	pm2.61ian 809	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  Vcvv 3441  ∅c0 4269  ⟨cop 4579   ∘ ccom 5624  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  1c1 10973  2c2 12129  9c9 12136  ;cdc 12538   sSet csts 16961  ndxcnx 16991  TopSetcts 17065  distcds 17068  -_gcsg 18675  MetOpencmopn 20693   toNrmGrp ctng 23840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-tset 17078  df-ds 17081  df-tng 23846

This theorem is referenced by: (None)