MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  tngdsOLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tngdsOLD 24520
Description: Obsolete proof of tngds 24519 as of 29-Oct-2024. The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
tngbas.t 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tngdsOLD (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))

Proof of Theorem tngdsOLD
StepHypRef Expression
1 dsid 17340 . . . 4 dist = Slot (distβ€˜ndx)
2 9re 12315 . . . . . 6 9 ∈ ℝ
3 1nn 12227 . . . . . . 7 1 ∈ β„•
4 2nn0 12493 . . . . . . 7 2 ∈ β„•0
5 9nn0 12500 . . . . . . 7 9 ∈ β„•0
6 9lt10 12812 . . . . . . 7 9 < 10
73, 4, 5, 6declti 12719 . . . . . 6 9 < 12
82, 7gtneii 11330 . . . . 5 12 β‰  9
9 dsndx 17339 . . . . . 6 (distβ€˜ndx) = 12
10 tsetndx 17306 . . . . . 6 (TopSetβ€˜ndx) = 9
119, 10neeq12i 3001 . . . . 5 ((distβ€˜ndx) β‰  (TopSetβ€˜ndx) ↔ 12 β‰  9)
128, 11mpbir 230 . . . 4 (distβ€˜ndx) β‰  (TopSetβ€˜ndx)
131, 12setsnid 17151 . . 3 (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)) = (distβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩))
14 tngds.2 . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜πΊ)
1514fvexi 6899 . . . . 5 βˆ’ ∈ V
16 coexg 7919 . . . . 5 ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ βˆ’ ∈ V) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V)
1715, 16mpan2 688 . . . 4 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V)
181setsid 17150 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ∘ βˆ’ ) ∈ V) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)))
1917, 18sylan2 592 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜(𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩)))
20 tngbas.t . . . . 5 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
21 eqid 2726 . . . . 5 (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝑁 ∘ βˆ’ )
22 eqid 2726 . . . . 5 (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ )) = (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))
2320, 14, 21, 22tngval 24503 . . . 4 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩))
2423fveq2d 6889 . . 3 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜((𝐺 sSet ⟨(distβ€˜ndx), (𝑁 ∘ βˆ’ )⟩) sSet ⟨(TopSetβ€˜ndx), (MetOpenβ€˜(𝑁 ∘ βˆ’ ))⟩)))
2513, 19, 243eqtr4a 2792 . 2 ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
26 co02 6253 . . . . 5 (𝑁 ∘ βˆ…) = βˆ…
27 df-ds 17228 . . . . . 6 dist = Slot 12
2827str0 17131 . . . . 5 βˆ… = (distβ€˜βˆ…)
2926, 28eqtri 2754 . . . 4 (𝑁 ∘ βˆ…) = (distβ€˜βˆ…)
30 fvprc 6877 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (-gβ€˜πΊ) = βˆ…)
3114, 30eqtrid 2778 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ βˆ’ = βˆ…)
3231coeq2d 5856 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (𝑁 ∘ βˆ…))
33 reldmtng 24502 . . . . . . 7 Rel dom toNrmGrp
3433ovprc1 7444 . . . . . 6 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = βˆ…)
3520, 34eqtrid 2778 . . . . 5 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ 𝑇 = βˆ…)
3635fveq2d 6889 . . . 4 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (distβ€˜π‘‡) = (distβ€˜βˆ…))
3729, 32, 363eqtr4a 2792 . . 3 (Β¬ 𝐺 ∈ V β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
3837adantr 480 . 2 ((Β¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
3925, 38pm2.61ian 809 1 (𝑁 ∈ 𝑉 β†’ (𝑁 ∘ βˆ’ ) = (distβ€˜π‘‡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  βŸ¨cop 4629   ∘ ccom 5673  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  1c1 11113  2c2 12271  9c9 12278  cdc 12681   sSet csts 17105  ndxcnx 17135  TopSetcts 17212  distcds 17215  -gcsg 18865  MetOpencmopn 21230   toNrmGrp ctng 24442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-tset 17225  df-ds 17228  df-tng 24448
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator