Theorem tngdsOLD 24669

Description: Obsolete version of tngds 24668 as of 29-Oct-2024. The metric function of a structure augmented with a norm. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngbas.t	⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
tngds.2	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
tngdsOLD	⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Proof of Theorem tngdsOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dsid 17430	. . . 4 ⊢ dist = Slot (dist‘ndx)
2		9re 12365	. . . . . 6 ⊢ 9 ∈ ℝ
3		1nn 12277	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ
4		2nn0 12543	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
5		9nn0 12550	. . . . . . 7 ⊢ 9 ∈ ℕ0
6		9lt10 12864	. . . . . . 7 ⊢ 9 < ;10
7	3, 4, 5, 6	declti 12771	. . . . . 6 ⊢ 9 < ;12
8	2, 7	gtneii 11373	. . . . 5 ⊢ ;12 ≠ 9
9		dsndx 17429	. . . . . 6 ⊢ (dist‘ndx) = ;12
10		tsetndx 17396	. . . . . 6 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
11	9, 10	neeq12i 3007	. . . . 5 ⊢ ((dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx) ↔ ;12 ≠ 9)
12	8, 11	mpbir 231	. . . 4 ⊢ (dist‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
13	1, 12	setsnid 17245	. . 3 ⊢ (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
14		tngds.2	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝐺)
15	14	fvexi 6920	. . . . 5 ⊢ − ∈ V
16		coexg 7951	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ 𝑉 ∧ − ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
17	15, 16	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) ∈ V)
18	1	setsid 17244	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ (𝑁 ∘ − ) ∈ V) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
19	17, 18	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘(𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩)))
20		tngbas.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (𝐺 toNrmGrp 𝑁)
21		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ − )
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (MetOpen‘(𝑁 ∘ − )) = (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))
23	20, 14, 21, 22	tngval 24652	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → 𝑇 = ((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩))
24	23	fveq2d 6910	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (dist‘𝑇) = (dist‘((𝐺 sSet ⟨(dist‘ndx), (𝑁 ∘ − )⟩) sSet ⟨(TopSet‘ndx), (MetOpen‘(𝑁 ∘ − ))⟩)))
25	13, 19, 24	3eqtr4a 2803	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
26		co02 6280	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = ∅
27		df-ds 17319	. . . . . 6 ⊢ dist = Slot ;12
28	27	str0 17226	. . . . 5 ⊢ ∅ = (dist‘∅)
29	26, 28	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∘ ∅) = (dist‘∅)
30		fvprc 6898	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (-g‘𝐺) = ∅)
31	14, 30	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → − = ∅)
32	31	coeq2d 5873	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (𝑁 ∘ ∅))
33		reldmtng 24651	. . . . . . 7 ⊢ Rel dom toNrmGrp
34	33	ovprc1 7470	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝐺 toNrmGrp 𝑁) = ∅)
35	20, 34	eqtrid 2789	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → 𝑇 = ∅)
36	35	fveq2d 6910	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (dist‘𝑇) = (dist‘∅))
37	29, 32, 36	3eqtr4a 2803	. . 3 ⊢ (¬ 𝐺 ∈ V → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
38	37	adantr 480	. 2 ⊢ ((¬ 𝐺 ∈ V ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))
39	25, 38	pm2.61ian 812	1 ⊢ (𝑁 ∈ 𝑉 → (𝑁 ∘ − ) = (dist‘𝑇))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  Vcvv 3480  ∅c0 4333  ⟨cop 4632   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  1c1 11156  2c2 12321  9c9 12328  ;cdc 12733   sSet csts 17200  ndxcnx 17230  TopSetcts 17303  distcds 17306  -_gcsg 18953  MetOpencmopn 21354   toNrmGrp ctng 24591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-tset 17316  df-ds 17319  df-tng 24597

This theorem is referenced by: (None)