MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmfi 21758
Description: For finite products, the direct sum is just the module product. See also the observation in [Lang] p. 129. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dsmmfi ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (𝑆m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Proof of Theorem dsmmfi
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . 3 (Base‘(𝑆m 𝑅)) = (Base‘(𝑆m 𝑅))
21dsmmval2 21756 . 2 (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅)))
3 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
4 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
5 noel 4338 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 𝑓 ∈ ∅
6 reldmprds 17493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Rel dom Xs
76ovprc1 7470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
87fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘∅))
9 base0 17252 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∅ = (Base‘∅)
108, 9eqtr4di 2795 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = ∅)
1110eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ∈ V → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑓 ∈ ∅))
125, 11mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
1312con4i 114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝑆 ∈ V)
1413adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑆 ∈ V)
15 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
16 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑅 Fn 𝐼)
17 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
183, 4, 14, 15, 16, 17prdsbasfn 17516 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 Fn 𝐼)
1918fndmd 6673 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 = 𝐼)
2019, 15eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 ∈ Fin)
21 difss 4136 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ 𝑓
22 dmss 5913 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ 𝑓 → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑓)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑓
24 ssfi 9213 . . . . . . . 8 ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑓) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
2520, 23, 24sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
2625ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
27 rabid2 3470 . . . . . 6 ((Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
2826, 27sylibr 234 . . . . 5 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin})
29 eqid 2737 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
303, 29dsmmbas2 21757 . . . . 5 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
3128, 30eqtr2d 2778 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆m 𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
3231oveq2d 7447 . . 3 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))))
33 ovex 7464 . . . 4 (𝑆Xs𝑅) ∈ V
344ressid 17290 . . . 4 ((𝑆Xs𝑅) ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
3533, 34ax-mp 5 . . 3 ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅)
3632, 35eqtrdi 2793 . 2 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
372, 36eqtrid 2789 1 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (𝑆m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  wss 3951  c0 4333  dom cdm 5685  ccom 5689   Fn wfn 6556  cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247  s cress 17274  0gc0g 17484  Xscprds 17490  m cdsmm 21751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-dsmm 21752
This theorem is referenced by:  frlmpwsfi  21772
  Copyright terms: Public domain W3C validator