Theorem dsmmfi 21647

Description: For finite products, the direct sum is just the module product. See also the observation in [Lang] p. 129. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dsmmfi	⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Proof of Theorem dsmmfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
2	1	dsmmval2 21645	. 2 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
3		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
4		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
5		noel 4301	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 𝑓 ∈ ∅
6		reldmprds 17411	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Rel dom Xs
7	6	ovprc1 7426	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
8	7	fveq2d 6862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘∅))
9		base0 17184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
10	8, 9	eqtr4di 2782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = ∅)
11	10	eleq2d 2814	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑓 ∈ ∅))
12	5, 11	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13	12	con4i 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝑆 ∈ V)
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑆 ∈ V)
15		simplr 768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
16		simpll 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑅 Fn 𝐼)
17		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
18	3, 4, 14, 15, 16, 17	prdsbasfn 17434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 Fn 𝐼)
19	18	fndmd 6623	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 = 𝐼)
20	19, 15	eqeltrd 2828	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 ∈ Fin)
21		difss 4099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑓
22		dmss 5866	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑓 → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓
24		ssfi 9137	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓) → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
25	20, 23, 24	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
26	25	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
27		rabid2 3439	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
28	26, 27	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin})
29		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin}
30	3, 29	dsmmbas2 21646	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
31	28, 30	eqtr2d 2765	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
32	31	oveq2d 7403	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))))
33		ovex 7420	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs𝑅) ∈ V
34	4	ressid 17214	. . . 4 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
35	33, 34	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅)
36	32, 35	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
37	2, 36	eqtrid 2776	1 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  dom cdm 5638   ∘ ccom 5642   Fn wfn 6506  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Fincfn 8918  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  0_gc0g 17402  X_scprds 17408   ⊕_m cdsmm 21640

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-dsmm 21641

This theorem is referenced by:  frlmpwsfi  21661