Theorem dsmmfi 20943

Description: For finite products, the direct sum is just the module product. See also the observation in [Lang] p. 129. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dsmmfi	⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Proof of Theorem dsmmfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
2	1	dsmmval2 20941	. 2 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
3		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
4		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
5		noel 4270	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 𝑓 ∈ ∅
6		reldmprds 17157	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Rel dom Xs
7	6	ovprc1 7310	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
8	7	fveq2d 6775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘∅))
9		base0 16915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
10	8, 9	eqtr4di 2798	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = ∅)
11	10	eleq2d 2826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑓 ∈ ∅))
12	5, 11	mtbiri 327	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13	12	con4i 114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝑆 ∈ V)
14	13	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑆 ∈ V)
15		simplr 766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
16		simpll 764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑅 Fn 𝐼)
17		simpr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
18	3, 4, 14, 15, 16, 17	prdsbasfn 17180	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 Fn 𝐼)
19	18	fndmd 6536	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 = 𝐼)
20	19, 15	eqeltrd 2841	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 ∈ Fin)
21		difss 4071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑓
22		dmss 5810	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑓 → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓
24		ssfi 8938	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓) → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
25	20, 23, 24	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
26	25	ralrimiva 3110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
27		rabid2 3313	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
28	26, 27	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin})
29		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin}
30	3, 29	dsmmbas2 20942	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
31	28, 30	eqtr2d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
32	31	oveq2d 7287	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))))
33		ovex 7304	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs𝑅) ∈ V
34	4	ressid 16952	. . . 4 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
35	33, 34	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅)
36	32, 35	eqtrdi 2796	. 2 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
37	2, 36	eqtrid 2792	1 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  {crab 3070  Vcvv 3431   ∖ cdif 3889   ⊆ wss 3892  ∅c0 4262  dom cdm 5590   ∘ ccom 5594   Fn wfn 6427  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Fincfn 8716  Basecbs 16910   ↾_s cress 16939  0_gc0g 17148  X_scprds 17154   ⊕_m cdsmm 20936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-hom 16984  df-cco 16985  df-0g 17150  df-prds 17156  df-dsmm 20937

This theorem is referenced by:  frlmpwsfi  20957