Theorem dsmmfi 21853

Description: For finite products, the direct sum is just the module product. See also the observation in [Lang] p. 129. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dsmmfi	⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Proof of Theorem dsmmfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2769	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
2	1	dsmmval2 21851	. 2 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
3		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
4		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
5		noel 4299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 𝑓 ∈ ∅
6		reldmprds 17497	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Rel dom Xs
7	6	ovprc1 7447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
8	7	fveq2d 6883	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘∅))
9		base0 17270	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
10	8, 9	eqtr4di 2822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = ∅)
11	10	eleq2d 2855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑓 ∈ ∅))
12	5, 11	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13	12	con4i 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝑆 ∈ V)
14	13	adantl 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑆 ∈ V)
15		simplr 780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
16		simpll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑅 Fn 𝐼)
17		simpr 489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
18	3, 4, 14, 15, 16, 17	prdsbasfn 17520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 Fn 𝐼)
19	18	fndmd 6638	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 = 𝐼)
20	19, 15	eqeltrd 2869	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 ∈ Fin)
21		difss 4098	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑓
22		dmss 5890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑓 → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓
24		ssfi 9153	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓) → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
25	20, 23, 24	sylancl 597	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
26	25	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
27		rabid2 3456	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
28	26, 27	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin})
29		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin}
30	3, 29	dsmmbas2 21852	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
31	28, 30	eqtr2d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
32	31	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))))
33		ovex 7441	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs𝑅) ∈ V
34	4	ressid 17300	. . . 4 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
35	33, 34	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅)
36	32, 35	eqtrdi 2820	. 2 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
37	2, 36	eqtrid 2816	1 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {crab 3423  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  ∅c0 4294  dom cdm 5659   ∘ ccom 5663   Fn wfn 6529  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  0_gc0g 17488  X_scprds 17494   ⊕_m cdsmm 21846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-prds 17496  df-dsmm 21847

This theorem is referenced by:  frlmpwsfi  21867