MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dsmmfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dsmmfi 21776
Description: For finite products, the direct sum is just the module product. See also the observation in [Lang] p. 129. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
dsmmfi ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (𝑆m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Proof of Theorem dsmmfi
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 (Base‘(𝑆m 𝑅)) = (Base‘(𝑆m 𝑅))
21dsmmval2 21774 . 2 (𝑆m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅)))
3 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
4 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
5 noel 4344 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 𝑓 ∈ ∅
6 reldmprds 17495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Rel dom Xs
76ovprc1 7470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
87fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘∅))
9 base0 17250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∅ = (Base‘∅)
108, 9eqtr4di 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = ∅)
1110eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑆 ∈ V → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑓 ∈ ∅))
125, 11mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
1312con4i 114 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝑆 ∈ V)
1413adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑆 ∈ V)
15 simplr 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
16 simpll 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑅 Fn 𝐼)
17 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
183, 4, 14, 15, 16, 17prdsbasfn 17518 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 Fn 𝐼)
1918fndmd 6674 . . . . . . . . 9 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 = 𝐼)
2019, 15eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 ∈ Fin)
21 difss 4146 . . . . . . . . 9 (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ 𝑓
22 dmss 5916 . . . . . . . . 9 ((𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ 𝑓 → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑓)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . 8 dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑓
24 ssfi 9212 . . . . . . . 8 ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ⊆ dom 𝑓) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
2520, 23, 24sylancl 586 . . . . . . 7 (((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
2625ralrimiva 3144 . . . . . 6 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
27 rabid2 3468 . . . . . 6 ((Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin)
2826, 27sylibr 234 . . . . 5 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin})
29 eqid 2735 . . . . . 6 {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin}
303, 29dsmmbas2 21775 . . . . 5 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g𝑅)) ∈ Fin} = (Base‘(𝑆m 𝑅)))
3128, 30eqtr2d 2776 . . . 4 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆m 𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
3231oveq2d 7447 . . 3 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))))
33 ovex 7464 . . . 4 (𝑆Xs𝑅) ∈ V
344ressid 17290 . . . 4 ((𝑆Xs𝑅) ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
3533, 34ax-mp 5 . . 3 ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅)
3632, 35eqtrdi 2791 . 2 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆m 𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
372, 36eqtrid 2787 1 ((𝑅 Fn 𝐼𝐼 ∈ Fin) → (𝑆m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  c0 4339  dom cdm 5689  ccom 5693   Fn wfn 6558  cfv 6563  (class class class)co 7431  Fincfn 8984  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486  Xscprds 17492  m cdsmm 21769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-dsmm 21770
This theorem is referenced by:  frlmpwsfi  21790
  Copyright terms: Public domain W3C validator