Theorem dsmmfi 22053

Description: For finite products, the direct sum is just the module product. See also the observation in [Lang] p. 129. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dsmmfi	⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

Proof of Theorem dsmmfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))
2	1	dsmmval2 22051	. 2 ⊢ (𝑆 ⊕m 𝑅) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
3		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆Xs𝑅) = (𝑆Xs𝑅)
4		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅))
5		noel 4282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ¬ 𝑓 ∈ ∅
6		reldmprds 17628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Rel dom Xs
7	6	ovprc1 7463	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑆Xs𝑅) = ∅)
8	7	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = (Base‘∅))
9		base0 17401	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
10	8, 9	eqtr4di 2813	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = ∅)
11	10	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ↔ 𝑓 ∈ ∅))
12	5, 11	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → ¬ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
13	12	con4i 115	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) → 𝑆 ∈ V)
14	13	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑆 ∈ V)
15		simplr 781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
16		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑅 Fn 𝐼)
17		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
18	3, 4, 14, 15, 16, 17	prdsbasfn 17651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → 𝑓 Fn 𝐼)
19	18	fndmd 6649	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 = 𝐼)
20	19, 15	eqeltrd 2860	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom 𝑓 ∈ Fin)
21		difss 4071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑓
22		dmss 5885	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ 𝑓 → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓)
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓
24		ssfi 9195	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝑓 ∈ Fin ∧ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ⊆ dom 𝑓) → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
25	20, 23, 24	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))) → dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
26	25	ralrimiva 3154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
27		rabid2 3444	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅))dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin)
28	26, 27	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆Xs𝑅)) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin})
29		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin}
30	3, 29	dsmmbas2 22052	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → {𝑓 ∈ (Base‘(𝑆Xs𝑅)) ∣ dom (𝑓 ∖ (0g ∘ 𝑅)) ∈ Fin} = (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)))
31	28, 30	eqtr2d 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅)) = (Base‘(𝑆Xs𝑅)))
32	31	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))))
33		ovex 7457	. . . 4 ⊢ (𝑆Xs𝑅) ∈ V
34	4	ressid 17431	. . . 4 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ∈ V → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
35	33, 34	ax-mp 5	. . 3 ⊢ ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆Xs𝑅))) = (𝑆Xs𝑅)
36	32, 35	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((𝑆Xs𝑅) ↾s (Base‘(𝑆 ⊕m 𝑅))) = (𝑆Xs𝑅))
37	2, 36	eqtrid 2807	1 ⊢ ((𝑅 Fn 𝐼 ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑆 ⊕m 𝑅) = (𝑆Xs𝑅))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  {crab 3412  Vcvv 3450   ⊆ wss 3896   ∖ cdif 4044  ∅c0 4277  dom cdm 5651   ∘ ccom 5655   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  Fincfn 8980  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417  0_gc0g 17619  X_scprds 17625   ⊕_m cdsmm 22046

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-er 8724  df-map 8856  df-ixp 8933  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-fin 8984  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-prds 17627  df-dsmm 22047

This theorem is used by:  frlmpwsfi  22067