Theorem relexpfldd 15029

Description: The field of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
relexpfldd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpfldd	⊢ (𝜑 → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

Proof of Theorem relexpfldd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpfldd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		relexpfld 15028	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V) → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
3	1, 2	sylan 578	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
4	3	ex 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅))
5		reldmrelexp 15000	. . . . . . . 8 ⊢ Rel dom ↑𝑟
6	5	ovprc1 7455	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
7	6	unieqd 4916	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∪ ∅)
8		uni0 4933	. . . . . 6 ⊢ ∪ ∅ = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2781	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
10	9	unieqd 4916	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∪ ∅)
11	10, 8	eqtrdi 2781	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
12		0ss 4392	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ ∪ 𝑅
13	11, 12	eqsstrdi 4027	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
14	4, 13	pm2.61d1 180	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   ⊆ wss 3939  ∅c0 4318  ∪ cuni 4903  (class class class)co 7416  ℕ₀cn0 12502  ↑_𝑟crelexp 14998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-relexp 14999

This theorem is referenced by: (None)