Theorem relexpfldd 15060

Description: The field of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
relexpfldd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpfldd	⊢ (𝜑 → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

Proof of Theorem relexpfldd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpfldd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		relexpfld 15059	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V) → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
3	1, 2	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
4	3	ex 416	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅))
5		reldmrelexp 15031	. . . . . . . 8 ⊢ Rel dom ↑𝑟
6	5	ovprc1 7431	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
7	6	unieqd 4877	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∪ ∅)
8		uni0 4893	. . . . . 6 ⊢ ∪ ∅ = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
10	9	unieqd 4877	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∪ ∅)
11	10, 8	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
12		0ss 4353	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ ∪ 𝑅
13	11, 12	eqsstrdi 3980	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
14	4, 13	pm2.61d1 181	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∪ cuni 4864  (class class class)co 7392  ℕ₀cn0 12478  ↑_𝑟crelexp 15029

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-relexp 15030

This theorem is referenced by: (None)