Theorem relexpfldd 15208

Description: The field of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
relexpfldd.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
relexpfldd	⊢ (𝜑 → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

Proof of Theorem relexpfldd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relexpfldd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		relexpfld 15207	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ V) → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
3	1, 2	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑅 ∈ V) → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
4	3	ex 418	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅))
5		reldmrelexp 15179	. . . . . . . 8 ⊢ Rel dom ↑𝑟
6	5	ovprc1 7459	. . . . . . 7 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
7	6	unieqd 4879	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∪ ∅)
8		uni0 4895	. . . . . 6 ⊢ ∪ ∅ = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
10	9	unieqd 4879	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∪ ∅)
11	10, 8	eqtrdi 2811	. . 3 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) = ∅)
12		0ss 4349	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ ∪ ∪ 𝑅
13	11, 12	eqsstrdi 3952	. 2 ⊢ (¬ 𝑅 ∈ V → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)
14	4, 13	pm2.61d1 182	1 ⊢ (𝜑 → ∪ ∪ (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ∪ ∪ 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  ∪ cuni 4866  (class class class)co 7420  ℕ₀cn0 12609  ↑_𝑟crelexp 15177

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-relexp 15178

This theorem is used by: (None)