MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srasca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srasca 20662
Description: The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
srapart.s (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
Assertion
Ref Expression
srasca (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) = (Scalarβ€˜π΄))

Proof of Theorem srasca
StepHypRef Expression
1 scaid 17203 . . . . 5 Scalar = Slot (Scalarβ€˜ndx)
2 vscandxnscandx 17212 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜ndx) β‰  (Scalarβ€˜ndx)
32necomi 2999 . . . . 5 (Scalarβ€˜ndx) β‰  ( ·𝑠 β€˜ndx)
41, 3setsnid 17088 . . . 4 (Scalarβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩)) = (Scalarβ€˜((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
5 slotsdifipndx 17223 . . . . . 6 (( ·𝑠 β€˜ndx) β‰  (Β·π‘–β€˜ndx) ∧ (Scalarβ€˜ndx) β‰  (Β·π‘–β€˜ndx))
65simpri 487 . . . . 5 (Scalarβ€˜ndx) β‰  (Β·π‘–β€˜ndx)
71, 6setsnid 17088 . . . 4 (Scalarβ€˜((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)) = (Scalarβ€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
84, 7eqtri 2765 . . 3 (Scalarβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩)) = (Scalarβ€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
9 ovexd 7397 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ V)
101setsid 17087 . . . 4 ((π‘Š ∈ V ∧ (π‘Š β†Ύs 𝑆) ∈ V) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) = (Scalarβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩)))
119, 10sylan2 594 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) = (Scalarβ€˜(π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩)))
12 srapart.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
1312adantl 483 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†))
14 srapart.s . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š))
15 sraval 20653 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ V ∧ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘Š)) β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
1614, 15sylan2 594 . . . . 5 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
1713, 16eqtrd 2777 . . . 4 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = (((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩))
1817fveq2d 6851 . . 3 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜(((π‘Š sSet ⟨(Scalarβ€˜ndx), (π‘Š β†Ύs 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩) sSet ⟨(Β·π‘–β€˜ndx), (.rβ€˜π‘Š)⟩)))
198, 11, 183eqtr4a 2803 . 2 ((π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) = (Scalarβ€˜π΄))
201str0 17068 . . 3 βˆ… = (Scalarβ€˜βˆ…)
21 reldmress 17121 . . . . 5 Rel dom β†Ύs
2221ovprc1 7401 . . . 4 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) = βˆ…)
2322adantr 482 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) = βˆ…)
24 fv2prc 6892 . . . . 5 (Β¬ π‘Š ∈ V β†’ ((subringAlg β€˜π‘Š)β€˜π‘†) = βˆ…)
2512, 24sylan9eqr 2799 . . . 4 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ 𝐴 = βˆ…)
2625fveq2d 6851 . . 3 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (Scalarβ€˜π΄) = (Scalarβ€˜βˆ…))
2720, 23, 263eqtr4a 2803 . 2 ((Β¬ π‘Š ∈ V ∧ πœ‘) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) = (Scalarβ€˜π΄))
2819, 27pm2.61ian 811 1 (πœ‘ β†’ (π‘Š β†Ύs 𝑆) = (Scalarβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  βŸ¨cop 4597  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   sSet csts 17042  ndxcnx 17072  Basecbs 17090   β†Ύs cress 17119  .rcmulr 17141  Scalarcsca 17143   ·𝑠 cvsca 17144  Β·π‘–cip 17145  subringAlg csra 20645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-ress 17120  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-sra 20649
This theorem is referenced by:  sralmod  20672  rlmsca  20685  rlmsca2  20686  frlmip  21200  sraassa  21289  sranlm  24064  srabn  24740  rrxprds  24769  sralvec  32329  drgext0gsca  32333  drgextlsp  32335  fedgmullem1  32364  fedgmullem2  32365  fedgmul  32366  extdg1id  32392  ccfldsrarelvec  32395  ccfldextdgrr  32396
  Copyright terms: Public domain W3C validator