MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  srasca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem srasca 19455
Description: The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
srapart.a (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
Assertion
Ref Expression
srasca (𝜑 → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem srasca
StepHypRef Expression
1 scaid 16288 . . . . 5 Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2 5re 11361 . . . . . . 7 5 ∈ ℝ
3 5lt6 11459 . . . . . . 7 5 < 6
42, 3ltneii 10404 . . . . . 6 5 ≠ 6
5 scandx 16287 . . . . . . 7 (Scalar‘ndx) = 5
6 vscandx 16289 . . . . . . 7 ( ·𝑠 ‘ndx) = 6
75, 6neeq12i 3003 . . . . . 6 ((Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ↔ 5 ≠ 6)
84, 7mpbir 222 . . . . 5 (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
91, 8setsnid 16189 . . . 4 (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩))
10 5lt8 11472 . . . . . . 7 5 < 8
112, 10ltneii 10404 . . . . . 6 5 ≠ 8
12 ipndx 16296 . . . . . . 7 (·𝑖‘ndx) = 8
135, 12neeq12i 3003 . . . . . 6 ((Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ↔ 5 ≠ 8)
1411, 13mpbir 222 . . . . 5 (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
151, 14setsnid 16189 . . . 4 (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
169, 15eqtri 2787 . . 3 (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
17 ovexd 6876 . . . 4 (𝜑 → (𝑊s 𝑆) ∈ V)
181setsid 16188 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊s 𝑆) ∈ V) → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)))
1917, 18sylan2 586 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩)))
20 srapart.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2120adantl 473 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
22 srapart.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
23 sraval 19450 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
2422, 23sylan2 586 . . . . 5 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
2521, 24eqtrd 2799 . . . 4 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩))
2625fveq2d 6379 . . 3 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r𝑊)⟩)))
2716, 19, 263eqtr4a 2825 . 2 ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
281str0 16185 . . 3 ∅ = (Scalar‘∅)
29 reldmress 16200 . . . . 5 Rel dom ↾s
3029ovprc1 6880 . . . 4 𝑊 ∈ V → (𝑊s 𝑆) = ∅)
3130adantr 472 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊s 𝑆) = ∅)
32 fvprc 6368 . . . . . . 7 𝑊 ∈ V → (subringAlg ‘𝑊) = ∅)
3332fveq1d 6377 . . . . . 6 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (∅‘𝑆))
34 0fv 6415 . . . . . 6 (∅‘𝑆) = ∅
3533, 34syl6eq 2815 . . . . 5 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
3620, 35sylan9eqr 2821 . . . 4 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
3736fveq2d 6379 . . 3 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘∅))
3828, 31, 373eqtr4a 2825 . 2 ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
3927, 38pm2.61ian 846 1 (𝜑 → (𝑊s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  Vcvv 3350  wss 3732  c0 4079  cop 4340  cfv 6068  (class class class)co 6842  5c5 11330  6c6 11331  8c8 11333  ndxcnx 16129   sSet csts 16130  Basecbs 16132  s cress 16133  .rcmulr 16217  Scalarcsca 16219   ·𝑠 cvsca 16220  ·𝑖cip 16221  subringAlg csra 19442
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-sets 16139  df-ress 16140  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-sra 19446
This theorem is referenced by:  sralmod  19461  rlmsca  19474  rlmsca2  19475  sraassa  19599  frlmip  20393  sranlm  22767  srabn  23437  rrxprds  23466
  Copyright terms: Public domain W3C validator