Theorem srasca 21435

Description: The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srasca	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem srasca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaid 17466	. . . . 5 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2		vscandxnscandx 17475	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
3	2	necomi 3010	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17366	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5		slotsdifipndx 17486	. . . . . 6 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
6	5	simpri 491	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
7	1, 6	setsnid 17366	. . . 4 ⊢ (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
8	4, 7	eqtri 2784	. . 3 ⊢ (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
9		ovexd 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
10	1	setsid 17365	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
11	9, 10	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
12		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
14		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
15		sraval 21430	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
16	14, 15	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
17	13, 16	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
18	17	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
19	8, 11, 18	3eqtr4a 2822	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
20	1	str0 17347	. . 3 ⊢ ∅ = (Scalar‘∅)
21		reldmress 17390	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
22	21	ovprc1 7451	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝑆) = ∅)
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = ∅)
24		fv2prc 6919	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
25	12, 24	sylan9eqr 2818	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
26	25	fveq2d 6881	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘∅))
27	20, 23, 26	3eqtr4a 2822	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
28	19, 27	pm2.61ian 824	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ⟨cop 4590  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   sSet csts 17321  ndxcnx 17351  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  ._rcmulr 17409  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  ·_𝑖cip 17413  subringAlg csra 21426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-ress 17389  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-sra 21428

This theorem is used by:  sralmod  21442  rlmsca  21453  rlmsca2  21454  frlmip  22064  sraassab  22156  evls1maplmhm  22675  sranlm  24983  srabn  25661  rrxprds  25690  sralvec  34199  drgext0gsca  34206  drgextlsp  34208  fedgmullem1  34243  fedgmullem2  34244  fedgmul  34245  extdg1id  34280  ccfldsrarelvec  34285  ccfldextdgrr  34286  fldextrspunlsplem  34287  fldextrspunlsp  34288  fldextrspunlem1  34289  fldextrspunfld  34290  extdgfialglem1  34306