Theorem srasca 21132

Description: The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srasca	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem srasca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaid 17235	. . . . 5 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2		vscandxnscandx 17244	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
3	2	necomi 2986	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17135	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5		slotsdifipndx 17255	. . . . . 6 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
6	5	simpri 485	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
7	1, 6	setsnid 17135	. . . 4 ⊢ (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
8	4, 7	eqtri 2759	. . 3 ⊢ (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
9		ovexd 7393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
10	1	setsid 17134	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
11	9, 10	sylan2 593	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
12		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
13	12	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
14		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
15		sraval 21127	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
16	14, 15	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
17	13, 16	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
18	17	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
19	8, 11, 18	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
20	1	str0 17116	. . 3 ⊢ ∅ = (Scalar‘∅)
21		reldmress 17159	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
22	21	ovprc1 7397	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝑆) = ∅)
23	22	adantr 480	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = ∅)
24		fv2prc 6876	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
25	12, 24	sylan9eqr 2793	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
26	25	fveq2d 6838	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘∅))
27	20, 23, 26	3eqtr4a 2797	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
28	19, 27	pm2.61ian 811	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  ⟨cop 4586  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   sSet csts 17090  ndxcnx 17120  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  ._rcmulr 17178  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  ·_𝑖cip 17182  subringAlg csra 21123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-ress 17158  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-sra 21125

This theorem is referenced by:  sralmod  21139  rlmsca  21150  rlmsca2  21151  frlmip  21733  sraassab  21823  sraassaOLD  21825  evls1maplmhm  22321  sranlm  24628  srabn  25316  rrxprds  25345  sralvec  33741  drgext0gsca  33748  drgextlsp  33750  fedgmullem1  33786  fedgmullem2  33787  fedgmul  33788  extdg1id  33823  ccfldsrarelvec  33828  ccfldextdgrr  33829  fldextrspunlsplem  33830  fldextrspunlsp  33831  fldextrspunlem1  33832  fldextrspunfld  33833  extdgfialglem1  33849