Theorem srasca 21338

Description: The set of scalars of a subring algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 12-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))

Assertion

Ref	Expression
srasca	⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

Proof of Theorem srasca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		scaid 17393	. . . . 5 ⊢ Scalar = Slot (Scalar‘ndx)
2		vscandxnscandx 17402	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
3	2	necomi 3015	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
4	1, 3	setsnid 17293	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
5		slotsdifipndx 17413	. . . . . 6 ⊢ (( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx) ∧ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
6	5	simpri 491	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
7	1, 6	setsnid 17293	. . . 4 ⊢ (Scalar‘((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
8	4, 7	eqtri 2789	. . 3 ⊢ (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
9		ovexd 7458	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V)
10	1	setsid 17292	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ (𝑊 ↾s 𝑆) ∈ V) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
11	9, 10	sylan2 605	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘(𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩)))
12		srapart.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
13	12	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
14		srapart.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
15		sraval 21333	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊)) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
16	14, 15	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
17	13, 16	eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = (((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩))
18	17	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘(((𝑊 sSet ⟨(Scalar‘ndx), (𝑊 ↾s 𝑆)⟩) sSet ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (.r‘𝑊)⟩) sSet ⟨(·𝑖‘ndx), (.r‘𝑊)⟩)))
19	8, 11, 18	3eqtr4a 2827	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
20	1	str0 17274	. . 3 ⊢ ∅ = (Scalar‘∅)
21		reldmress 17317	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↾s
22	21	ovprc1 7462	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → (𝑊 ↾s 𝑆) = ∅)
23	22	adantr 486	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = ∅)
24		fv2prc 6930	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑊 ∈ V → ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆) = ∅)
25	12, 24	sylan9eqr 2823	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → 𝐴 = ∅)
26	25	fveq2d 6892	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (Scalar‘𝐴) = (Scalar‘∅))
27	20, 23, 26	3eqtr4a 2827	. 2 ⊢ ((¬ 𝑊 ∈ V ∧ 𝜑) → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))
28	19, 27	pm2.61ian 824	1 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝑆) = (Scalar‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  ∅c0 4289  ⟨cop 4600  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   sSet csts 17248  ndxcnx 17278  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  ._rcmulr 17336  Scalarcsca 17338   ·_𝑠 cvsca 17339  ·_𝑖cip 17340  subringAlg csra 21329

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-ress 17316  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-sra 21331

This theorem is used by:  sralmod  21345  rlmsca  21356  rlmsca2  21357  frlmip  21965  sraassab  22055  evls1maplmhm  22574  sranlm  24878  srabn  25556  rrxprds  25585  sralvec  34006  drgext0gsca  34013  drgextlsp  34015  fedgmullem1  34050  fedgmullem2  34051  fedgmul  34052  extdg1id  34087  ccfldsrarelvec  34092  ccfldextdgrr  34093  fldextrspunlsplem  34094  fldextrspunlsp  34095  fldextrspunlem1  34096  fldextrspunfld  34097  extdgfialglem1  34113