MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexpsucrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexpsucrd 14742
Description: A reduction for relation exponentiation to the right. (Contributed by Drahflow, 12-Nov-2015.) (Revised by RP, 30-May-2020.) (Revised by AV, 12-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
relexpsucrd.1 (𝜑 → Rel 𝑅)
relexpsucrd.2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
relexpsucrd (𝜑 → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))

Proof of Theorem relexpsucrd
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝑅 ∈ V)
2 relexpsucrd.1 . . . . 5 (𝜑 → Rel 𝑅)
32adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅 ∈ V) → Rel 𝑅)
4 relexpsucrd.2 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
54adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑅 ∈ V) → 𝑁 ∈ ℕ0)
6 relexpsucr 14741 . . . 4 ((𝑅 ∈ V ∧ Rel 𝑅𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
71, 3, 5, 6syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝑅 ∈ V) → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
87ex 413 . 2 (𝜑 → (𝑅 ∈ V → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅)))
9 reldmrelexp 14730 . . . 4 Rel dom ↑𝑟
109ovprc1 7316 . . 3 𝑅 ∈ V → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ∅)
119ovprc1 7316 . . . . 5 𝑅 ∈ V → (𝑅𝑟𝑁) = ∅)
1211coeq1d 5772 . . . 4 𝑅 ∈ V → ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅) = (∅ ∘ 𝑅))
13 co01 6167 . . . 4 (∅ ∘ 𝑅) = ∅
1412, 13eqtr2di 2795 . . 3 𝑅 ∈ V → ∅ = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
1510, 14eqtrd 2778 . 2 𝑅 ∈ V → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
168, 15pm2.61d1 180 1 (𝜑 → (𝑅𝑟(𝑁 + 1)) = ((𝑅𝑟𝑁) ∘ 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  Vcvv 3431  c0 4258  ccom 5595  Rel wrel 5596  (class class class)co 7277  1c1 10870   + caddc 10872  0cn0 12231  𝑟crelexp 14728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-n0 12232  df-z 12318  df-uz 12581  df-seq 13720  df-relexp 14729
This theorem is referenced by:  rtrclreclem4  14770  relexpiidm  41282
  Copyright terms: Public domain W3C validator