Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendbas 43141
Description: Base set of the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mendbas.a 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
Assertion
Ref Expression
mendbas (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴)

Proof of Theorem mendbas
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7481 . . . 4 (𝑀 LMHom 𝑀) ∈ V
2 eqid 2740 . . . . 5 ({⟨(Base‘ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}) = ({⟨(Base‘ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})
32algbase 43135 . . . 4 ((𝑀 LMHom 𝑀) ∈ V → (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
41, 3mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ V → (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
5 mendbas.a . . . . 5 𝐴 = (MEndo‘𝑀)
6 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑀 LMHom 𝑀) = (𝑀 LMHom 𝑀)
7 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))
8 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥𝑦)) = (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥𝑦))
9 eqid 2740 . . . . . 6 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
10 eqid 2740 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦)) = (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))
116, 7, 8, 9, 10mendval 43140 . . . . 5 (𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ({⟨(Base‘ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}))
125, 11eqtrid 2792 . . . 4 (𝑀 ∈ V → 𝐴 = ({⟨(Base‘ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩}))
1312fveq2d 6924 . . 3 (𝑀 ∈ V → (Base‘𝐴) = (Base‘({⟨(Base‘ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥f (+g𝑀)𝑦))⟩, ⟨(.r‘ndx), (𝑥 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (𝑥𝑦))⟩} ∪ {⟨(Scalar‘ndx), (Scalar‘𝑀)⟩, ⟨( ·𝑠 ‘ndx), (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑀)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Base‘𝑀) × {𝑥}) ∘f ( ·𝑠𝑀)𝑦))⟩})))
144, 13eqtr4d 2783 . 2 (𝑀 ∈ V → (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴))
15 base0 17263 . . 3 ∅ = (Base‘∅)
16 reldmlmhm 21047 . . . 4 Rel dom LMHom
1716ovprc1 7487 . . 3 𝑀 ∈ V → (𝑀 LMHom 𝑀) = ∅)
18 fvprc 6912 . . . . 5 𝑀 ∈ V → (MEndo‘𝑀) = ∅)
195, 18eqtrid 2792 . . . 4 𝑀 ∈ V → 𝐴 = ∅)
2019fveq2d 6924 . . 3 𝑀 ∈ V → (Base‘𝐴) = (Base‘∅))
2115, 17, 203eqtr4a 2806 . 2 𝑀 ∈ V → (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴))
2214, 21pm2.61i 182 1 (𝑀 LMHom 𝑀) = (Base‘𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1537  wcel 2108  Vcvv 3488  cun 3974  c0 4352  {csn 4648  {cpr 4650  {ctp 4652  cop 4654   × cxp 5698  ccom 5704  cfv 6573  (class class class)co 7448  cmpo 7450  f cof 7712  ndxcnx 17240  Basecbs 17258  +gcplusg 17311  .rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·𝑠 cvsca 17315   LMHom clmhm 21041  MEndocmend 43132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-lmhm 21044  df-mend 43133
This theorem is referenced by:  mendplusgfval  43142  mendmulrfval  43144  mendvscafval  43147  mendring  43149  mendlmod  43150  mendassa  43151
  Copyright terms: Public domain W3C validator