Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mendbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mendbas 42639
Description: Base set of the module endomorphism algebra. (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
mendbas.a 𝐴 = (MEndoβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
mendbas (𝑀 LMHom 𝑀) = (Baseβ€˜π΄)

Proof of Theorem mendbas
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 7459 . . . 4 (𝑀 LMHom 𝑀) ∈ V
2 eqid 2728 . . . . 5 ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩}) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩})
32algbase 42633 . . . 4 ((𝑀 LMHom 𝑀) ∈ V β†’ (𝑀 LMHom 𝑀) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩})))
41, 3mp1i 13 . . 3 (𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 LMHom 𝑀) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩})))
5 mendbas.a . . . . 5 𝐴 = (MEndoβ€˜π‘€)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (𝑀 LMHom 𝑀) = (𝑀 LMHom 𝑀)
7 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦)) = (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))
8 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦)) = (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))
9 eqid 2728 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
10 eqid 2728 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦)) = (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))
116, 7, 8, 9, 10mendval 42638 . . . . 5 (𝑀 ∈ V β†’ (MEndoβ€˜π‘€) = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩}))
125, 11eqtrid 2780 . . . 4 (𝑀 ∈ V β†’ 𝐴 = ({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩}))
1312fveq2d 6906 . . 3 (𝑀 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜({⟨(Baseβ€˜ndx), (𝑀 LMHom 𝑀)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘f (+gβ€˜π‘€)𝑦))⟩, ⟨(.rβ€˜ndx), (π‘₯ ∈ (𝑀 LMHom 𝑀), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (π‘₯ ∘ 𝑦))⟩} βˆͺ {⟨(Scalarβ€˜ndx), (Scalarβ€˜π‘€)⟩, ⟨( ·𝑠 β€˜ndx), (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)), 𝑦 ∈ (𝑀 LMHom 𝑀) ↦ (((Baseβ€˜π‘€) Γ— {π‘₯}) ∘f ( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑦))⟩})))
144, 13eqtr4d 2771 . 2 (𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 LMHom 𝑀) = (Baseβ€˜π΄))
15 base0 17192 . . 3 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
16 reldmlmhm 20917 . . . 4 Rel dom LMHom
1716ovprc1 7465 . . 3 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 LMHom 𝑀) = βˆ…)
18 fvprc 6894 . . . . 5 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (MEndoβ€˜π‘€) = βˆ…)
195, 18eqtrid 2780 . . . 4 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ 𝐴 = βˆ…)
2019fveq2d 6906 . . 3 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜βˆ…))
2115, 17, 203eqtr4a 2794 . 2 (Β¬ 𝑀 ∈ V β†’ (𝑀 LMHom 𝑀) = (Baseβ€˜π΄))
2214, 21pm2.61i 182 1 (𝑀 LMHom 𝑀) = (Baseβ€˜π΄)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473   βˆͺ cun 3947  βˆ…c0 4326  {csn 4632  {cpr 4634  {ctp 4636  βŸ¨cop 4638   Γ— cxp 5680   ∘ ccom 5686  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428   ∘f cof 7689  ndxcnx 17169  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244   LMHom clmhm 20911  MEndocmend 42630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-lmhm 20914  df-mend 42631
This theorem is referenced by:  mendplusgfval  42640  mendmulrfval  42642  mendvscafval  42645  mendring  42647  mendlmod  42648  mendassa  42649
  Copyright terms: Public domain W3C validator