MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efmndbas Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efmndbas 18555
Description: The base set of the monoid of endofunctions on class 𝐴. (Contributed by AV, 25-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
efmndbas.g 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
efmndbas.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
efmndbas 𝐡 = (𝐴 ↑m 𝐴)

Proof of Theorem efmndbas
Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 efmndbas.b . 2 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
2 ovex 7340 . . . . 5 (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ V
3 eqid 2736 . . . . . 6 {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩}
43topgrpbas 17117 . . . . 5 ((𝐴 ↑m 𝐴) ∈ V β†’ (𝐴 ↑m 𝐴) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩}))
52, 4mp1i 13 . . . 4 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ↑m 𝐴) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩}))
6 efmndbas.g . . . . . 6 𝐺 = (EndoFMndβ€˜π΄)
7 eqid 2736 . . . . . 6 (𝐴 ↑m 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴)
8 eqid 2736 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
9 eqid 2736 . . . . . 6 (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴})) = (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))
106, 7, 8, 9efmnd 18554 . . . . 5 (𝐴 ∈ V β†’ 𝐺 = {⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩})
1110fveq2d 6808 . . . 4 (𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSetβ€˜ndx), (∏tβ€˜(𝐴 Γ— {𝒫 𝐴}))⟩}))
125, 11eqtr4d 2779 . . 3 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ↑m 𝐴) = (Baseβ€˜πΊ))
13 base0 16962 . . . 4 βˆ… = (Baseβ€˜βˆ…)
14 reldmmap 8655 . . . . 5 Rel dom ↑m
1514ovprc1 7346 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ↑m 𝐴) = βˆ…)
16 fvprc 6796 . . . . . 6 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (EndoFMndβ€˜π΄) = βˆ…)
176, 16eqtrid 2788 . . . . 5 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ 𝐺 = βˆ…)
1817fveq2d 6808 . . . 4 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜βˆ…))
1913, 15, 183eqtr4a 2802 . . 3 (Β¬ 𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ↑m 𝐴) = (Baseβ€˜πΊ))
2012, 19pm2.61i 182 . 2 (𝐴 ↑m 𝐴) = (Baseβ€˜πΊ)
211, 20eqtr4i 2767 1 𝐡 = (𝐴 ↑m 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437  βˆ…c0 4262  π’« cpw 4539  {csn 4565  {ctp 4569  βŸ¨cop 4571   Γ— cxp 5598   ∘ ccom 5604  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307   ∈ cmpo 7309   ↑m cmap 8646  ndxcnx 16939  Basecbs 16957  +gcplusg 17007  TopSetcts 17013  βˆtcpt 17194  EndoFMndcefmnd 18552
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-7 12087  df-8 12088  df-9 12089  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-struct 16893  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-plusg 17020  df-tset 17026  df-efmnd 18553
This theorem is referenced by:  efmndbasabf  18556  elefmndbas  18557  efmndhash  18560  efmndbasfi  18561  efmndplusg  18564  efmndbas0  18575  efmnd1bas  18577  smndex1ibas  18584  smndex1gbas  18586  symgplusg  19035  symgpssefmnd  19048  symgvalstruct  19049  symgvalstructOLD  19050  symgsubmefmndALT  19056  efmndtmd  23297  1aryenefmnd  46050
  Copyright terms: Public domain W3C validator