Theorem efmndbas 18794

Description: The base set of the monoid of endofunctions on class 𝐴. (Contributed by AV, 25-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmndbas.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmndbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
efmndbas	⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)

Proof of Theorem efmndbas

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndbas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ovex 7389	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ V
3		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
4	3	topgrpbas 17280	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ↑m 𝐴) ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
5	2, 4	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
6		efmndbas.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
7		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴)
8		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
9		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
10	6, 7, 8, 9	efmnd 18793	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
11	10	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
12	5, 11	eqtr4d 2772	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = (Base‘𝐺))
13		base0 17139	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
14		reldmmap 8770	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↑m
15	14	ovprc1 7395	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = ∅)
16		fvprc 6824	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
17	6, 16	eqtrid 2781	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
18	17	fveq2d 6836	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
19	13, 15, 18	3eqtr4a 2795	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = (Base‘𝐺))
20	12, 19	pm2.61i 182	. 2 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) = (Base‘𝐺)
21	1, 20	eqtr4i 2760	1 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4552  {csn 4578  {ctp 4582  ⟨cop 4584   × cxp 5620   ∘ ccom 5626  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ∈ cmpo 7358   ↑_m cmap 8761  ndxcnx 17118  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  TopSetcts 17181  ∏_tcpt 17356  EndoFMndcefmnd 18791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-fz 13422  df-struct 17072  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-plusg 17188  df-tset 17194  df-efmnd 18792

This theorem is referenced by:  efmndbasabf  18795  elefmndbas  18796  efmndhash  18799  efmndbasfi  18800  efmndplusg  18803  efmndbas0  18814  efmnd1bas  18816  smndex1ibas  18823  smndex1gbas  18825  symgplusg  19310  symgpssefmnd  19323  symgvalstruct  19324  symgsubmefmndALT  19330  efmndtmd  24043  1aryenefmnd  48834