Theorem efmndbas 18152

Description: The base set of the monoid of endofunctions on class 𝐴. (Contributed by AV, 25-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
efmndbas.g	⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
efmndbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
efmndbas	⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)

Proof of Theorem efmndbas

Dummy variables 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		efmndbas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		ovex 7203	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ V
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩} = {⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}
4	3	topgrpbas 16765	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ↑m 𝐴) ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
5	2, 4	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
6		efmndbas.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (EndoFMnd‘𝐴)
7		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) = (𝐴 ↑m 𝐴)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))
9		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴})) = (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))
10	6, 7, 8, 9	efmnd 18151	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ V → 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩})
11	10	fveq2d 6678	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘{⟨(Base‘ndx), (𝐴 ↑m 𝐴)⟩, ⟨(+g‘ndx), (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴), 𝑔 ∈ (𝐴 ↑m 𝐴) ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (∏t‘(𝐴 × {𝒫 𝐴}))⟩}))
12	5, 11	eqtr4d 2776	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = (Base‘𝐺))
13		base0 16639	. . . 4 ⊢ ∅ = (Base‘∅)
14		reldmmap 8446	. . . . 5 ⊢ Rel dom ↑m
15	14	ovprc1 7209	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = ∅)
16		fvprc 6666	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (EndoFMnd‘𝐴) = ∅)
17	6, 16	syl5eq 2785	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → 𝐺 = ∅)
18	17	fveq2d 6678	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (Base‘𝐺) = (Base‘∅))
19	13, 15, 18	3eqtr4a 2799	. . 3 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ V → (𝐴 ↑m 𝐴) = (Base‘𝐺))
20	12, 19	pm2.61i 185	. 2 ⊢ (𝐴 ↑m 𝐴) = (Base‘𝐺)
21	1, 20	eqtr4i 2764	1 ⊢ 𝐵 = (𝐴 ↑m 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3398  ∅c0 4211  𝒫 cpw 4488  {csn 4516  {ctp 4520  ⟨cop 4522   × cxp 5523   ∘ ccom 5529  ‘cfv 6339  (class class class)co 7170   ∈ cmpo 7172   ↑_m cmap 8437  ndxcnx 16583  Basecbs 16586  +_gcplusg 16668  TopSetcts 16674  ∏_tcpt 16815  EndoFMndcefmnd 18149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-plusg 16681  df-tset 16687  df-efmnd 18150

This theorem is referenced by:  efmndbasabf  18153  elefmndbas  18154  efmndhash  18157  efmndbasfi  18158  efmndplusg  18161  efmndbas0  18172  efmnd1bas  18174  smndex1ibas  18181  smndex1gbas  18183  symgplusg  18629  symgpssefmnd  18642  symgvalstruct  18643  symgsubmefmndALT  18649  efmndtmd  22852  1aryenefmnd  45526