Theorem oduleval 18469

Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduval.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduval.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduleval	⊢ ◡ ≤ = (le‘𝐷)

Proof of Theorem oduleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6899	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) ∈ V
2	1	cnvex 7938	. . . 4 ⊢ ◡(le‘𝑂) ∈ V
3		pleid 17544	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
4	3	setsid 17391	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ◡(le‘𝑂) ∈ V) → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
5	2, 4	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
6	3	str0 17373	. . . 4 ⊢ ∅ = (le‘∅)
7		fvprc 6878	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (le‘𝑂) = ∅)
8	7	cnveqd 5852	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = ◡∅)
9		cnv0 5860	. . . . 5 ⊢ ◡∅ = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = ∅)
11		reldmsets 17349	. . . . . 6 ⊢ Rel dom sSet
12	11	ovprc1 7460	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩) = ∅)
13	12	fveq2d 6890	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)) = (le‘∅))
14	6, 10, 13	3eqtr4a 2821	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
15	5, 14	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
16		oduval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
17	16	cnveqi 5851	. 2 ⊢ ◡ ≤ = ◡(le‘𝑂)
18		oduval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
19		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
20	18, 19	oduval 18468	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)
21	20	fveq2i 6889	. 2 ⊢ (le‘𝐷) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
22	15, 17, 21	3eqtr4i 2793	1 ⊢ ◡ ≤ = (le‘𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278  ⟨cop 4834  ^◡ccnv 5649  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   sSet csts 17347  ndxcnx 17377  lecple 17441  ODualcodu 18466

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-ltxr 11352  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-dec 12819  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-ple 17454  df-odu 18467

This theorem is used by:  oduleg  18470  oduprs  18480  odupos  18506  oduposb  18507  odulub  18585  oduglb  18587  posglbdg  18593  odutos  33576  mgccnv  33607  ordtcnvNEW  34599  ordtrest2NEW  34602  glbprlem  50173