Theorem oduleval 18344

Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduval.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduval.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduleval	⊢ ◡ ≤ = (le‘𝐷)

Proof of Theorem oduleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6894	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) ∈ V
2	1	cnvex 7921	. . . 4 ⊢ ◡(le‘𝑂) ∈ V
3		pleid 17419	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
4	3	setsid 17266	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ◡(le‘𝑂) ∈ V) → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
5	2, 4	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
6	3	str0 17248	. . . 4 ⊢ ∅ = (le‘∅)
7		fvprc 6873	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (le‘𝑂) = ∅)
8	7	cnveqd 5861	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = ◡∅)
9		cnv0 5869	. . . . 5 ⊢ ◡∅ = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2812	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = ∅)
11		reldmsets 17224	. . . . . 6 ⊢ Rel dom sSet
12	11	ovprc1 7449	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩) = ∅)
13	12	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)) = (le‘∅))
14	6, 10, 13	3eqtr4a 2822	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
15	5, 14	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
16		oduval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
17	16	cnveqi 5860	. 2 ⊢ ◡ ≤ = ◡(le‘𝑂)
18		oduval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
19		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
20	18, 19	oduval 18343	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)
21	20	fveq2i 6884	. 2 ⊢ (le‘𝐷) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
22	15, 17, 21	3eqtr4i 2794	1 ⊢ ◡ ≤ = (le‘𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1568   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4285  ⟨cop 4594  ^◡ccnv 5660  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   sSet csts 17222  ndxcnx 17252  lecple 17316  ODualcodu 18341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-9 12309  df-dec 12711  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-ple 17329  df-odu 18342

This theorem is referenced by:  oduleg  18345  oduprs  18355  odupos  18381  oduposb  18382  odulub  18460  oduglb  18462  posglbdg  18468  odutos  33254  mgccnv  33285  ordtcnvNEW  34276  ordtrest2NEW  34279  glbprlem  49688