Theorem oduleval 18257

Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduval.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduval.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduleval	⊢ ◡ ≤ = (le‘𝐷)

Proof of Theorem oduleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6874	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) ∈ V
2	1	cnvex 7904	. . . 4 ⊢ ◡(le‘𝑂) ∈ V
3		pleid 17337	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
4	3	setsid 17184	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ◡(le‘𝑂) ∈ V) → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
5	2, 4	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
6	3	str0 17166	. . . 4 ⊢ ∅ = (le‘∅)
7		fvprc 6853	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (le‘𝑂) = ∅)
8	7	cnveqd 5842	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = ◡∅)
9		cnv0 6116	. . . . 5 ⊢ ◡∅ = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2781	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = ∅)
11		reldmsets 17142	. . . . . 6 ⊢ Rel dom sSet
12	11	ovprc1 7429	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩) = ∅)
13	12	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)) = (le‘∅))
14	6, 10, 13	3eqtr4a 2791	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
15	5, 14	pm2.61i 182	. 2 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
16		oduval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
17	16	cnveqi 5841	. 2 ⊢ ◡ ≤ = ◡(le‘𝑂)
18		oduval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
19		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
20	18, 19	oduval 18256	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)
21	20	fveq2i 6864	. 2 ⊢ (le‘𝐷) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
22	15, 17, 21	3eqtr4i 2763	1 ⊢ ◡ ≤ = (le‘𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ⟨cop 4598  ^◡ccnv 5640  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   sSet csts 17140  ndxcnx 17170  lecple 17234  ODualcodu 18254

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-dec 12657  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-ple 17247  df-odu 18255

This theorem is referenced by:  oduleg  18258  oduprs  18268  odupos  18294  oduposb  18295  odulub  18373  oduglb  18375  posglbdg  18381  odutos  32901  mgccnv  32932  ordtcnvNEW  33917  ordtrest2NEW  33920  glbprlem  48957