Theorem oduleval 18333

Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduval.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduval.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduleval	⊢ ◡ ≤ = (le‘𝐷)

Proof of Theorem oduleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6884	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) ∈ V
2	1	cnvex 7910	. . . 4 ⊢ ◡(le‘𝑂) ∈ V
3		pleid 17408	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
4	3	setsid 17255	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ◡(le‘𝑂) ∈ V) → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
5	2, 4	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
6	3	str0 17237	. . . 4 ⊢ ∅ = (le‘∅)
7		fvprc 6863	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (le‘𝑂) = ∅)
8	7	cnveqd 5851	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = ◡∅)
9		cnv0 5859	. . . . 5 ⊢ ◡∅ = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = ∅)
11		reldmsets 17213	. . . . . 6 ⊢ Rel dom sSet
12	11	ovprc1 7439	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩) = ∅)
13	12	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)) = (le‘∅))
14	6, 10, 13	3eqtr4a 2826	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
15	5, 14	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
16		oduval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
17	16	cnveqi 5850	. 2 ⊢ ◡ ≤ = ◡(le‘𝑂)
18		oduval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
19		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
20	18, 19	oduval 18332	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)
21	20	fveq2i 6874	. 2 ⊢ (le‘𝐷) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
22	15, 17, 21	3eqtr4i 2798	1 ⊢ ◡ ≤ = (le‘𝐷)

Syntax hints:  ¬ wn 3   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457  ∅c0 4288  ⟨cop 4591  ^◡ccnv 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   sSet csts 17211  ndxcnx 17241  lecple 17305  ODualcodu 18330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-ltxr 11236  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-dec 12700  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-ple 17318  df-odu 18331

This theorem is referenced by:  oduleg  18334  oduprs  18344  odupos  18370  oduposb  18371  odulub  18449  oduglb  18451  posglbdg  18457  odutos  33196  mgccnv  33227  ordtcnvNEW  34222  ordtrest2NEW  34225  glbprlem  49595