MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduleval 18290
Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
oduval.l ≀ = (leβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
oduleval β—‘ ≀ = (leβ€˜π·)

Proof of Theorem oduleval
StepHypRef Expression
1 fvex 6915 . . . . 5 (leβ€˜π‘‚) ∈ V
21cnvex 7941 . . . 4 β—‘(leβ€˜π‘‚) ∈ V
3 pleid 17357 . . . . 5 le = Slot (leβ€˜ndx)
43setsid 17186 . . . 4 ((𝑂 ∈ V ∧ β—‘(leβ€˜π‘‚) ∈ V) β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩)))
52, 4mpan2 689 . . 3 (𝑂 ∈ V β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩)))
63str0 17167 . . . 4 βˆ… = (leβ€˜βˆ…)
7 fvprc 6894 . . . . . 6 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ (leβ€˜π‘‚) = βˆ…)
87cnveqd 5882 . . . . 5 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = β—‘βˆ…)
9 cnv0 6150 . . . . 5 β—‘βˆ… = βˆ…
108, 9eqtrdi 2784 . . . 4 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = βˆ…)
11 reldmsets 17143 . . . . . 6 Rel dom sSet
1211ovprc1 7465 . . . . 5 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ (𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩) = βˆ…)
1312fveq2d 6906 . . . 4 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩)) = (leβ€˜βˆ…))
146, 10, 133eqtr4a 2794 . . 3 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩)))
155, 14pm2.61i 182 . 2 β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩))
16 oduval.l . . 3 ≀ = (leβ€˜π‘‚)
1716cnveqi 5881 . 2 β—‘ ≀ = β—‘(leβ€˜π‘‚)
18 oduval.d . . . 4 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
19 eqid 2728 . . . 4 (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π‘‚)
2018, 19oduval 18289 . . 3 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩)
2120fveq2i 6905 . 2 (leβ€˜π·) = (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩))
2215, 17, 213eqtr4i 2766 1 β—‘ ≀ = (leβ€˜π·)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  βˆ…c0 4326  βŸ¨cop 4638  β—‘ccnv 5681  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   sSet csts 17141  ndxcnx 17171  lecple 17249  ODualcodu 18287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-ltxr 11293  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-dec 12718  df-sets 17142  df-slot 17160  df-ndx 17172  df-ple 17262  df-odu 18288
This theorem is referenced by:  oduleg  18291  odupos  18329  oduposb  18330  odulub  18408  oduglb  18410  posglbdg  18416  oduprs  32720  odutos  32724  mgccnv  32755  ordtcnvNEW  33562  ordtrest2NEW  33565  glbprlem  48080
  Copyright terms: Public domain W3C validator