MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oduleval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oduleval 18254
Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
oduval.d 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
oduval.l ≀ = (leβ€˜π‘‚)
Assertion
Ref Expression
oduleval β—‘ ≀ = (leβ€˜π·)

Proof of Theorem oduleval
StepHypRef Expression
1 fvex 6898 . . . . 5 (leβ€˜π‘‚) ∈ V
21cnvex 7915 . . . 4 β—‘(leβ€˜π‘‚) ∈ V
3 pleid 17321 . . . . 5 le = Slot (leβ€˜ndx)
43setsid 17150 . . . 4 ((𝑂 ∈ V ∧ β—‘(leβ€˜π‘‚) ∈ V) β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩)))
52, 4mpan2 688 . . 3 (𝑂 ∈ V β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩)))
63str0 17131 . . . 4 βˆ… = (leβ€˜βˆ…)
7 fvprc 6877 . . . . . 6 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ (leβ€˜π‘‚) = βˆ…)
87cnveqd 5869 . . . . 5 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = β—‘βˆ…)
9 cnv0 6134 . . . . 5 β—‘βˆ… = βˆ…
108, 9eqtrdi 2782 . . . 4 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = βˆ…)
11 reldmsets 17107 . . . . . 6 Rel dom sSet
1211ovprc1 7444 . . . . 5 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ (𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩) = βˆ…)
1312fveq2d 6889 . . . 4 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩)) = (leβ€˜βˆ…))
146, 10, 133eqtr4a 2792 . . 3 (Β¬ 𝑂 ∈ V β†’ β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩)))
155, 14pm2.61i 182 . 2 β—‘(leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩))
16 oduval.l . . 3 ≀ = (leβ€˜π‘‚)
1716cnveqi 5868 . 2 β—‘ ≀ = β—‘(leβ€˜π‘‚)
18 oduval.d . . . 4 𝐷 = (ODualβ€˜π‘‚)
19 eqid 2726 . . . 4 (leβ€˜π‘‚) = (leβ€˜π‘‚)
2018, 19oduval 18253 . . 3 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩)
2120fveq2i 6888 . 2 (leβ€˜π·) = (leβ€˜(𝑂 sSet ⟨(leβ€˜ndx), β—‘(leβ€˜π‘‚)⟩))
2215, 17, 213eqtr4i 2764 1 β—‘ ≀ = (leβ€˜π·)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  βŸ¨cop 4629  β—‘ccnv 5668  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   sSet csts 17105  ndxcnx 17135  lecple 17213  ODualcodu 18251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-dec 12682  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-ple 17226  df-odu 18252
This theorem is referenced by:  oduleg  18255  odupos  18293  oduposb  18294  odulub  18372  oduglb  18374  posglbdg  18380  oduprs  32639  odutos  32643  mgccnv  32674  ordtcnvNEW  33430  ordtrest2NEW  33433  glbprlem  47872
  Copyright terms: Public domain W3C validator