Theorem oduleval 18495

Description: Value of the less-equal relation in an order dual structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
oduval.d	⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
oduval.l	⊢ ≤ = (le‘𝑂)

Assertion

Ref	Expression
oduleval	⊢ ◡ ≤ = (le‘𝐷)

Proof of Theorem oduleval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6924	. . . . 5 ⊢ (le‘𝑂) ∈ V
2	1	cnvex 7964	. . . 4 ⊢ ◡(le‘𝑂) ∈ V
3		pleid 17570	. . . . 5 ⊢ le = Slot (le‘ndx)
4	3	setsid 17417	. . . 4 ⊢ ((𝑂 ∈ V ∧ ◡(le‘𝑂) ∈ V) → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
5	2, 4	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
6	3	str0 17399	. . . 4 ⊢ ∅ = (le‘∅)
7		fvprc 6903	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (le‘𝑂) = ∅)
8	7	cnveqd 5861	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = ◡∅)
9		cnv0 5869	. . . . 5 ⊢ ◡∅ = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2814	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = ∅)
11		reldmsets 17375	. . . . . 6 ⊢ Rel dom sSet
12	11	ovprc1 7485	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩) = ∅)
13	12	fveq2d 6915	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)) = (le‘∅))
14	6, 10, 13	3eqtr4a 2824	. . 3 ⊢ (¬ 𝑂 ∈ V → ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)))
15	5, 14	pm2.61i 184	. 2 ⊢ ◡(le‘𝑂) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
16		oduval.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝑂)
17	16	cnveqi 5860	. 2 ⊢ ◡ ≤ = ◡(le‘𝑂)
18		oduval.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (ODual‘𝑂)
19		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (le‘𝑂) = (le‘𝑂)
20	18, 19	oduval 18494	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩)
21	20	fveq2i 6914	. 2 ⊢ (le‘𝐷) = (le‘(𝑂 sSet ⟨(le‘ndx), ◡(le‘𝑂)⟩))
22	15, 17, 21	3eqtr4i 2796	1 ⊢ ◡ ≤ = (le‘𝐷)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ⟨cop 4838  ^◡ccnv 5655  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   sSet csts 17373  ndxcnx 17403  lecple 17467  ODualcodu 18492

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-dec 12845  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-ple 17480  df-odu 18493

This theorem is used by:  oduleg  18496  oduprs  18506  odupos  18532  oduposb  18533  odulub  18611  oduglb  18613  posglbdg  18619  odutos  33602  mgccnv  33636  ordtcnvNEW  34635  ordtrest2NEW  34638  glbprlem  50294