MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfcnv 18583
Description: A transposition function is its own inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfcnv (𝐹𝑅𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem pmtrfcnv
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . 6 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . . 6 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2822 . . . . . 6 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 18577 . . . . 5 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
54simpld 498 . . . 4 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
61pmtrf 18574 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷)
84simprd 499 . . . 4 (𝐹𝑅𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
98feq1d 6479 . . 3 (𝐹𝑅 → (𝐹:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷))
107, 9mpbird 260 . 2 (𝐹𝑅𝐹:𝐷𝐷)
111, 2pmtrfinv 18580 . 2 (𝐹𝑅 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐷))
1210, 10, 11, 112fcoidinvd 7034 1 (𝐹𝑅𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  Vcvv 3469  cdif 3905  wss 3908   class class class wbr 5042   I cid 5436  ccnv 5531  dom cdm 5532  ran crn 5533  wf 6330  cfv 6334  2oc2o 8083  cen 8493  pmTrspcpmtr 18560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-om 7566  df-1o 8089  df-2o 8090  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pmtr 18561
This theorem is referenced by:  symgtrinv  18591  psgnunilem1  18612  pmtrcnel2  30765
  Copyright terms: Public domain W3C validator