MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfcnv 19462
Description: A transposition function is its own inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfcnv (𝐹𝑅𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem pmtrfcnv
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . 6 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . . 6 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2726 . . . . . 6 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 19456 . . . . 5 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
54simpld 493 . . . 4 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
61pmtrf 19453 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷)
84simprd 494 . . . 4 (𝐹𝑅𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
98feq1d 6713 . . 3 (𝐹𝑅 → (𝐹:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷))
107, 9mpbird 256 . 2 (𝐹𝑅𝐹:𝐷𝐷)
111, 2pmtrfinv 19459 . 2 (𝐹𝑅 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐷))
1210, 10, 11, 112fcoidinvd 7309 1 (𝐹𝑅𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  cdif 3944  wss 3947   class class class wbr 5153   I cid 5579  ccnv 5681  dom cdm 5682  ran crn 5683  wf 6550  cfv 6554  2oc2o 8490  cen 8971  pmTrspcpmtr 19439
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-om 7877  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-pmtr 19440
This theorem is referenced by:  symgtrinv  19470  psgnunilem1  19491  pmtrcnel2  32968
  Copyright terms: Public domain W3C validator