Theorem pmtrfcnv 19433

Description: A transposition function is its own inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfcnv	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ◡𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem pmtrfcnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 19427	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5	4	simpld 494	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
6	1	pmtrf 19424	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷⟶𝐷)
7	5, 6	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷⟶𝐷)
8	4	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
9	8	feq1d 6645	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐹:𝐷⟶𝐷 ↔ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷⟶𝐷))
10	7, 9	mpbird 257	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷⟶𝐷)
11	1, 2	pmtrfinv 19430	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐷))
12	10, 10, 11, 11	2fcoidinvd 7244	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ◡𝐹 = 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5086   I cid 5519  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625  ran crn 5626  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  2_oc2o 8393   ≈ cen 8884  pmTrspcpmtr 19410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-om 7812  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pmtr 19411

This theorem is referenced by:  symgtrinv  19441  psgnunilem1  19462  pmtrcnel2  33169