MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfcnv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfcnv 18083
Description: A transposition function is its own inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfcnv (𝐹𝑅𝐹 = 𝐹)

Proof of Theorem pmtrfcnv
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . . 6 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . . 6 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2804 . . . . . 6 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 18077 . . . . 5 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
54simpld 484 . . . 4 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜))
61pmtrf 18074 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2𝑜) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷)
75, 6syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷)
84simprd 485 . . . 4 (𝐹𝑅𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
98feq1d 6239 . . 3 (𝐹𝑅 → (𝐹:𝐷𝐷 ↔ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷𝐷))
107, 9mpbird 248 . 2 (𝐹𝑅𝐹:𝐷𝐷)
111, 2pmtrfinv 18080 . 2 (𝐹𝑅 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐷))
1210, 10, 11, 112fcoidinvd 6772 1 (𝐹𝑅𝐹 = 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  Vcvv 3389  cdif 3764  wss 3767   class class class wbr 4842   I cid 5216  ccnv 5308  dom cdm 5309  ran crn 5310  wf 6095  cfv 6099  2𝑜c2o 7788  cen 8187  pmTrspcpmtr 18060
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-om 7294  df-1o 7794  df-2o 7795  df-er 7977  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-fin 8194  df-pmtr 18061
This theorem is referenced by:  symgtrinv  18091  psgnunilem1  18112
  Copyright terms: Public domain W3C validator