MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfb 19414
Description: An intrinsic characterization of the transposition permutations. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfb (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))

Proof of Theorem pmtrfb
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . 5 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2728 . . . . 5 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 19407 . . . 4 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5 simpl1 1189 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐷 ∈ V)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐹𝑅𝐷 ∈ V)
71, 2pmtrff1o 19412 . . 3 (𝐹𝑅𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
8 simpl3 1191 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
94, 8syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
106, 7, 93jca 1126 . 2 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
11 simp2 1135 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
12 difss 4128 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
13 dmss 5900 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
15 f1odm 6838 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 → dom 𝐹 = 𝐷)
1614, 15sseqtrid 4031 . . . . . 6 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
171, 2pmtrrn 19406 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
1816, 17syl3an2 1162 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
191, 2pmtrff1o 19412 . . . . 5 ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷)
21 simp3 1136 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
221pmtrmvd 19405 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
2316, 22syl3an2 1162 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
24 f1otrspeq 19396 . . . 4 (((𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
2511, 20, 21, 23, 24syl22anc 838 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
2625, 18eqeltrd 2829 . 2 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹𝑅)
2710, 26impbii 208 1 (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3470  cdif 3942  wss 3945   class class class wbr 5143   I cid 5570  dom cdm 5673  ran crn 5674  1-1-ontowf1o 6542  cfv 6543  2oc2o 8475  cen 8955  pmTrspcpmtr 19390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7866  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-pmtr 19391
This theorem is referenced by:  pmtrfconj  19415  symggen  19419  pmtrdifellem1  19425  pmtrdifellem2  19426  psgnunilem1  19442
  Copyright terms: Public domain W3C validator