MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pmtrfb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pmtrfb 19498
Description: An intrinsic characterization of the transposition permutations. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pmtrrn.t 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r 𝑅 = ran 𝑇
Assertion
Ref Expression
pmtrfb (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))

Proof of Theorem pmtrfb
StepHypRef Expression
1 pmtrrn.t . . . . 5 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2 pmtrrn.r . . . . 5 𝑅 = ran 𝑇
3 eqid 2735 . . . . 5 dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
41, 2, 3pmtrfrn 19491 . . . 4 (𝐹𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5 simpl1 1190 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐷 ∈ V)
64, 5syl 17 . . 3 (𝐹𝑅𝐷 ∈ V)
71, 2pmtrff1o 19496 . . 3 (𝐹𝑅𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
8 simpl3 1192 . . . 4 (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
94, 8syl 17 . . 3 (𝐹𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
106, 7, 93jca 1127 . 2 (𝐹𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
11 simp2 1136 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷)
12 difss 4146 . . . . . . . 8 (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
13 dmss 5916 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
1412, 13ax-mp 5 . . . . . . 7 dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
15 f1odm 6853 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 → dom 𝐹 = 𝐷)
1614, 15sseqtrid 4048 . . . . . 6 (𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
171, 2pmtrrn 19490 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
1816, 17syl3an2 1163 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
191, 2pmtrff1o 19496 . . . . 5 ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷)
2018, 19syl 17 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷)
21 simp3 1137 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
221pmtrmvd 19489 . . . . 5 ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
2316, 22syl3an2 1163 . . . 4 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
24 f1otrspeq 19480 . . . 4 (((𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷1-1-onto𝐷) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
2511, 20, 21, 23, 24syl22anc 839 . . 3 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
2625, 18eqeltrd 2839 . 2 ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹𝑅)
2710, 26impbii 209 1 (𝐹𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷1-1-onto𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963   class class class wbr 5148   I cid 5582  dom cdm 5689  ran crn 5690  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  2oc2o 8499  cen 8981  pmTrspcpmtr 19474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pmtr 19475
This theorem is referenced by:  pmtrfconj  19499  symggen  19503  pmtrdifellem1  19509  pmtrdifellem2  19510  psgnunilem1  19526
  Copyright terms: Public domain W3C validator