Theorem pmtrfb 19488

Description: An intrinsic characterization of the transposition permutations. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfb	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))

Proof of Theorem pmtrfb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 19481	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5		simpl1 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐷 ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐷 ∈ V)
7	1, 2	pmtrff1o 19486	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
8		simpl3 1206	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
10	6, 7, 9	3jca 1140	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
11		simp2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
12		difss 4089	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
13		dmss 5876	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
15		f1odm 6806	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom 𝐹 = 𝐷)
16	14, 15	sseqtrid 3978	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
17	1, 2	pmtrrn 19480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
18	16, 17	syl3an2 1176	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
19	1, 2	pmtrff1o 19486	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷–1-1-onto→𝐷)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷–1-1-onto→𝐷)
21		simp3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
22	1	pmtrmvd 19479	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
23	16, 22	syl3an2 1176	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
24		f1otrspeq 19470	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷–1-1-onto→𝐷) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
25	11, 20, 21, 23, 24	syl22anc 849	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
26	25, 18	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹 ∈ 𝑅)
27	10, 26	impbii 211	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ∖ cdif 3901   ⊆ wss 3904   class class class wbr 5099   I cid 5539  dom cdm 5645  ran crn 5646  –1-1-onto→wf1o 6516  ‘cfv 6517  2_oc2o 8426   ≈ cen 8920  pmTrspcpmtr 19464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-om 7843  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pmtr 19465

This theorem is referenced by:  pmtrfconj  19489  symggen  19493  pmtrdifellem1  19499  pmtrdifellem2  19500  psgnunilem1  19516