Theorem pmtrfb 19379

Description: An intrinsic characterization of the transposition permutations. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfb	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))

Proof of Theorem pmtrfb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 19372	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐷 ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐷 ∈ V)
7	1, 2	pmtrff1o 19377	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
8		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
10	6, 7, 9	3jca 1128	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
11		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
12		difss 4085	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
13		dmss 5846	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
15		f1odm 6772	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom 𝐹 = 𝐷)
16	14, 15	sseqtrid 3973	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
17	1, 2	pmtrrn 19371	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
18	16, 17	syl3an2 1164	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
19	1, 2	pmtrff1o 19377	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷–1-1-onto→𝐷)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷–1-1-onto→𝐷)
21		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
22	1	pmtrmvd 19370	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
23	16, 22	syl3an2 1164	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
24		f1otrspeq 19361	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷–1-1-onto→𝐷) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
25	11, 20, 21, 23, 24	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
26	25, 18	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹 ∈ 𝑅)
27	10, 26	impbii 209	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898   class class class wbr 5093   I cid 5513  dom cdm 5619  ran crn 5620  –1-1-onto→wf1o 6485  ‘cfv 6486  2_oc2o 8385   ≈ cen 8872  pmTrspcpmtr 19355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-om 7803  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pmtr 19356

This theorem is referenced by:  pmtrfconj  19380  symggen  19384  pmtrdifellem1  19390  pmtrdifellem2  19391  psgnunilem1  19407