Theorem pmtrfb 19161

Description: An intrinsic characterization of the transposition permutations. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pmtrrn.t	⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
pmtrrn.r	⊢ 𝑅 = ran 𝑇

Assertion

Ref	Expression
pmtrfb	⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))

Proof of Theorem pmtrfb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pmtrrn.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (pmTrsp‘𝐷)
2		pmtrrn.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = ran 𝑇
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I )
4	1, 2, 3	pmtrfrn 19154	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))))
5		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐷 ∈ V)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐷 ∈ V)
7	1, 2	pmtrff1o 19159	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
8		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) ∧ 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I ))) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
9	4, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
10	6, 7, 9	3jca 1127	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 → (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))
11		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷)
12		difss 4077	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹
13		dmss 5838	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐹 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹)
14	12, 13	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ dom 𝐹
15		f1odm 6765	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom 𝐹 = 𝐷)
16	14, 15	sseqtrid 3983	. . . . . 6 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 → dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷)
17	1, 2	pmtrrn 19153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
18	16, 17	syl3an2 1163	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅)
19	1, 2	pmtrff1o 19159	. . . . 5 ⊢ ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∈ 𝑅 → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷–1-1-onto→𝐷)
20	18, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷–1-1-onto→𝐷)
21		simp3 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o)
22	1	pmtrmvd 19152	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ⊆ 𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
23	16, 22	syl3an2 1163	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))
24		f1otrspeq 19143	. . . 4 ⊢ (((𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )):𝐷–1-1-onto→𝐷) ∧ (dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o ∧ dom ((𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )) ∖ I ) = dom (𝐹 ∖ I ))) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
25	11, 20, 21, 23, 24	syl22anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹 = (𝑇‘dom (𝐹 ∖ I )))
26	25, 18	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o) → 𝐹 ∈ 𝑅)
27	10, 26	impbii 208	1 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑅 ↔ (𝐷 ∈ V ∧ 𝐹:𝐷–1-1-onto→𝐷 ∧ dom (𝐹 ∖ I ) ≈ 2o))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3441   ∖ cdif 3894   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   I cid 5511  dom cdm 5614  ran crn 5615  –1-1-onto→wf1o 6472  ‘cfv 6473  2_oc2o 8353   ≈ cen 8793  pmTrspcpmtr 19137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-om 7773  df-1o 8359  df-2o 8360  df-er 8561  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-pmtr 19138

This theorem is referenced by:  pmtrfconj  19162  symggen  19166  pmtrdifellem1  19172  pmtrdifellem2  19173  psgnunilem1  19189