Theorem r1omhf 35366

Description: A set is hereditarily finite iff it is finite and all of its elements are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 19-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1omhf	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem r1omhf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1omfi 35365	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin
2	1	sseli 3932	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3		r1funlim 9721	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpli 487	. . . . . . 7 ⊢ Fun 𝑅1
5		eluniima 7230	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦))
7		r19.41v 3191	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
8		r1elcl 35358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
9	8	reximi 3099	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
10	7, 9	sylbir 237	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
11	6, 10	sylanb 590	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
12		eluniima 7230	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
13	4, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
14	11, 13	sylibr 236	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
15	14	ralrimiva 3153	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
16	2, 15	jca 519	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
17		limom 7858	. . 3 ⊢ Lim ω
18		r1filimi 35363	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ Lim ω) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
19	17, 18	mp3an3 1470	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
20	16, 19	impbii 211	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  ∃wrex 3085  ∪ cuni 4864  dom cdm 5645   “ cima 5648  Lim wlim 6343  Fun wfun 6511  ‘cfv 6517  ωcom 7842  Fincfn 8923  𝑅₁cr1 9717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-ov 7395  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-en 8924  df-dom 8925  df-fin 8927  df-r1 9719  df-rank 9720

This theorem is referenced by:  trssfir1om  35371  r1omhfb  35372  trssfir1omregs  35396  r1omhfbregs  35397