Theorem r1omhf 35138

Description: A set is hereditarily finite iff it is finite and all of its elements are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 19-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1omhf	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem r1omhf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1omfi 35137	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin
2	1	sseli 3926	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3		r1funlim 9666	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ Fun 𝑅1
5		eluniima 7190	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦))
7		r19.41v 3163	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
8		r1elcl 35130	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
9	8	reximi 3071	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
10	7, 9	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
11	6, 10	sylanb 581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
12		eluniima 7190	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
13	4, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
14	11, 13	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
15	14	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
16	2, 15	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
17		limom 7818	. . 3 ⊢ Lim ω
18		r1filimi 35135	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ Lim ω) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
19	17, 18	mp3an3 1452	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
20	16, 19	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  ∃wrex 3057  ∪ cuni 4858  dom cdm 5619   “ cima 5622  Lim wlim 6312  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486  ωcom 7802  Fincfn 8875  𝑅₁cr1 9662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-ov 7355  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-en 8876  df-dom 8877  df-fin 8879  df-r1 9664  df-rank 9665

This theorem is referenced by:  trssfir1om  35143  r1omhfb  35144  trssfir1omregs  35153  r1omhfbregs  35154