Theorem r1omhf 35478

Description: A set is hereditarily finite iff it is finite and all of its elements are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 19-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1omhf	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem r1omhf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1omfi 35477	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin
2	1	sseli 3934	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3		r1funlim 9739	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpli 488	. . . . . . 7 ⊢ Fun 𝑅1
5		eluniima 7250	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦))
7		r19.41v 3195	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
8		r1elcl 35469	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
9	8	reximi 3103	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
10	7, 9	sylbir 238	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
11	6, 10	sylanb 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
12		eluniima 7250	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
13	4, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
14	11, 13	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
15	14	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
16	2, 15	jca 520	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
17		limom 7879	. . 3 ⊢ Lim ω
18		r1filimi 35475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ Lim ω) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
19	17, 18	mp3an3 1479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
20	16, 19	impbii 212	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ∪ cuni 4873  dom cdm 5663   “ cima 5666  Lim wlim 6363  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  ωcom 7863  Fincfn 8944  𝑅₁cr1 9735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7415  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-en 8945  df-dom 8946  df-fin 8948  df-r1 9737  df-rank 9738

This theorem is referenced by:  trssfir1om  35485  r1omhfb  35486  trssfir1omregs  35527  r1omhfbregs  35528