Theorem r1omhf 35265

Description: A set is hereditarily finite iff it is finite and all of its elements are hereditarily finite. (Contributed by BTernaryTau, 19-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1omhf	⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem r1omhf

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1omfi 35264	. . . 4 ⊢ ∪ (𝑅1 “ ω) ⊆ Fin
2	1	sseli 3918	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → 𝐴 ∈ Fin)
3		r1funlim 9681	. . . . . . . 8 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
4	3	simpli 483	. . . . . . 7 ⊢ Fun 𝑅1
5		eluniima 7198	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
6	4, 5	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦))
7		r19.41v 3168	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ↔ (∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
8		r1elcl 35257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
9	8	reximi 3076	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ ω (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
10	7, 9	sylbir 235	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑦 ∈ ω 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
11	6, 10	sylanb 582	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
12		eluniima 7198	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
13	4, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ ∃𝑦 ∈ ω 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
14	11, 13	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
15	14	ralrimiva 3130	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
16	2, 15	jca 511	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) → (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))
17		limom 7826	. . 3 ⊢ Lim ω
18		r1filimi 35262	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ∧ Lim ω) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
19	17, 18	mp3an3 1453	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω))
20	16, 19	impbii 209	1 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω) ↔ (𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ ω)))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∪ cuni 4851  dom cdm 5624   “ cima 5627  Lim wlim 6318  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  ωcom 7810  Fincfn 8886  𝑅₁cr1 9677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-en 8887  df-dom 8888  df-fin 8890  df-r1 9679  df-rank 9680

This theorem is referenced by:  trssfir1om  35271  r1omhfb  35272  trssfir1omregs  35296  r1omhfbregs  35297