Theorem r1filim 35781

Description: A finite set appears in the cumulative hierarchy prior to a limit ordinal iff all of its elements appear in the cumulative hierarchy prior to that limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 22-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1filim	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem r1filim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1tr 9786	. . . . . . . 8 ⊢ Tr (𝑅1‘𝑦)
2		trel 5219	. . . . . . . 8 ⊢ (Tr (𝑅1‘𝑦) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
4	3	ex 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
5	4	reximdv 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
6		r1fun 9774	. . . . . 6 ⊢ Fun 𝑅1
7		eluniima 7254	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦))
9		eluniima 7254	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
10	6, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
11	5, 8, 10	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
12	11	com12 33	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
13	12	ralrimiv 3153	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
14		r1filimi 9906	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
15	14	3com23 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
16	15	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
17	13, 16	impbid2 229	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ∪ cuni 4866  Tr wtr 5211   “ cima 5653  Lim wlim 6363  Fun wfun 6532  ‘cfv 6538  Fincfn 8976  𝑅₁cr1 9769

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-en 8977  df-dom 8978  df-fin 8980  df-r1 9771  df-rank 9772

This theorem is used by: (None)