Theorem r1filim 35279

Description: A finite set appears in the cumulative hierarchy prior to a limit ordinal iff all of its elements appear in the cumulative hierarchy prior to that limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 22-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1filim	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem r1filim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1elcl 35273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
2	1	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
3	2	reximdv 3153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
4		r1funlim 9690	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ Fun 𝑅1
6		eluniima 7206	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦))
8		eluniima 7206	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
10	3, 7, 9	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
11	10	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
12	11	ralrimiv 3129	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
13		r1filimi 35278	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
14	13	3com23 1127	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
15	14	3expia 1122	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
16	12, 15	impbid2 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  ∪ cuni 4865  dom cdm 5632   “ cima 5635  Lim wlim 6326  Fun wfun 6494  ‘cfv 6500  Fincfn 8895  𝑅₁cr1 9686

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-en 8896  df-dom 8897  df-fin 8899  df-r1 9688  df-rank 9689

This theorem is referenced by: (None)