Theorem r1filim 35260

Description: A finite set appears in the cumulative hierarchy prior to a limit ordinal iff all of its elements appear in the cumulative hierarchy prior to that limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 22-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1filim	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem r1filim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1elcl 35254	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
2	1	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
3	2	reximdv 3151	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
4		r1funlim 9678	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpli 483	. . . . . 6 ⊢ Fun 𝑅1
6		eluniima 7196	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦))
8		eluniima 7196	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
10	3, 7, 9	3imtr4g 296	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
11	10	com12 32	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
12	11	ralrimiv 3127	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
13		r1filimi 35259	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
14	13	3com23 1126	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
15	14	3expia 1121	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
16	12, 15	impbid2 226	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ∪ cuni 4863  dom cdm 5624   “ cima 5627  Lim wlim 6318  Fun wfun 6486  ‘cfv 6492  Fincfn 8883  𝑅₁cr1 9674

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-en 8884  df-dom 8885  df-fin 8887  df-r1 9676  df-rank 9677

This theorem is referenced by: (None)