Theorem r1filim 35507

Description: A finite set appears in the cumulative hierarchy prior to a limit ordinal iff all of its elements appear in the cumulative hierarchy prior to that limit ordinal. (Contributed by BTernaryTau, 22-Jan-2026.)

Assertion

Ref	Expression
r1filim	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem r1filim

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1elcl 35500	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
2	1	expcom 418	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
3	2	reximdv 3180	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
4		r1funlim 9734	. . . . . . 7 ⊢ (Fun 𝑅1 ∧ Lim dom 𝑅1)
5	4	simpli 488	. . . . . 6 ⊢ Fun 𝑅1
6		eluniima 7248	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝐴 ∈ (𝑅1‘𝑦))
8		eluniima 7248	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝑅1 → (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦)))
9	5, 8	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 𝑥 ∈ (𝑅1‘𝑦))
10	3, 7, 9	3imtr4g 299	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
11	10	com12 33	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
12	11	ralrimiv 3156	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
13		r1filimi 35506	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ∧ Lim 𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
14	13	3com23 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵))
15	14	3expia 1139	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) → 𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))
16	12, 15	impbid2 229	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ Lim 𝐵) → (𝐴 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ ∪ (𝑅1 “ 𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  ∃wrex 3089  ∪ cuni 4872  dom cdm 5661   “ cima 5664  Lim wlim 6361  Fun wfun 6530  ‘cfv 6536  Fincfn 8939  𝑅₁cr1 9730

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-en 8940  df-dom 8941  df-fin 8943  df-r1 9732  df-rank 9733

This theorem is used by: (None)