MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flb 25490
Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flb.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flb (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flb
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6375 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (√‘𝑦) = (√‘𝐴))
21eleq1d 2829 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘𝐴) ∈ ℕ))
32ifbid 4265 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0))
4 fveq2 6375 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
53, 4breq12d 4822 . 2 (𝑦 = 𝐴 → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴)))
6 dchrisum0flb.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
7 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (1...𝑘) = (1...1))
87raleqdv 3292 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
98imbi2d 331 . . . 4 (𝑘 = 1 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
10 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (1...𝑘) = (1...𝑖))
1110raleqdv 3292 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
1211imbi2d 331 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
13 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (1...𝑘) = (1...(𝑖 + 1)))
1413raleqdv 3292 . . . . 5 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
1514imbi2d 331 . . . 4 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
16 oveq2 6850 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐴 → (1...𝑘) = (1...𝐴))
1716raleqdv 3292 . . . . 5 (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
1817imbi2d 331 . . . 4 (𝑘 = 𝐴 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
19 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
21 rpvmasum.a . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
22 rpvmasum2.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
23 rpvmasum2.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
24 rpvmasum2.1 . . . . . 6 1 = (0g𝐺)
25 dchrisum0f.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
26 dchrisum0f.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐷)
27 dchrisum0flb.r . . . . . 6 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
28 2prm 15687 . . . . . . 7 2 ∈ ℙ
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
30 0nn0 11555 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3219, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31dchrisum0flblem1 25488 . . . . 5 (𝜑 → if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)))
33 elfz1eq 12559 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1...1) → 𝑦 = 1)
34 2nn0 11557 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
3534numexp0 16061 . . . . . . . . . . . 12 (2↑0) = 1
3633, 35syl6eqr 2817 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (1...1) → 𝑦 = (2↑0))
3736fveq2d 6379 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (1...1) → (√‘𝑦) = (√‘(2↑0)))
3837eleq1d 2829 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1...1) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(2↑0)) ∈ ℕ))
3938ifbid 4265 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0))
4036fveq2d 6379 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...1) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(2↑0)))
4139, 40breq12d 4822 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...1) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0))))
4241biimprcd 241 . . . . . 6 (if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)) → (𝑦 ∈ (1...1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
4342ralrimiv 3112 . . . . 5 (if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)) → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
4432, 43syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
45 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
46 nnuz 11923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
4745, 46syl6eleq 2854 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
4847adantrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
49 eluzp1p1 11912 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
51 df-2 11335 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
5251fveq2i 6378 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
5350, 52syl6eleqr 2855 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘2))
54 exprmfct 15697 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
5621ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
5726ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑋𝐷)
5827ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
5953adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘2))
60 simprl 787 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
61 simprr 789 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
62 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
63 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
6463nnzd 11728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
65 fzval3 12745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
6766raleqdv 3292 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
6862, 67mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → ∀𝑦 ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
6919, 20, 56, 22, 23, 24, 25, 57, 58, 59, 60, 61, 68dchrisum0flblem2 25489 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
7055, 69rexlimddv 3182 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
71 ovex 6874 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 + 1) ∈ V
72 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑖 + 1) → (√‘𝑦) = (√‘(𝑖 + 1)))
7372eleq1d 2829 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑖 + 1) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ))
7473ifbid 4265 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑖 + 1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0))
75 fveq2 6375 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑖 + 1) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
7674, 75breq12d 4822 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑖 + 1) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
7771, 76ralsn 4379 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
7870, 77sylibr 225 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
7978expr 448 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) → ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
8079ancld 546 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
81 fzsuc 12595 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)}))
8247, 81syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)}))
8382raleqdv 3292 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)})if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
84 ralunb 3956 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)})if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
8583, 84syl6bb 278 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
8680, 85sylibrd 250 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
8786expcom 402 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
8887a2d 29 . . . 4 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)) → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
899, 12, 15, 18, 44, 88nnind 11294 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
906, 89mpcom 38 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
916, 46syl6eleq 2854 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘1))
92 eluzfz2 12556 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘1) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
9391, 92syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝐴))
945, 90, 93rspcdva 3467 1 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wral 3055  wrex 3056  {crab 3059  cun 3730  ifcif 4243  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192  cle 10329  cn 11274  2c2 11327  0cn0 11538  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  ..^cfzo 12673  cexp 13067  csqrt 14260  Σcsu 14703  cdvds 15267  cprime 15667  Basecbs 16132  0gc0g 16368  ℤRHomczrh 20121  ℤ/nczn 20124  DChrcdchr 25248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-ec 7949  df-qs 7953  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14094  df-cj 14126  df-re 14127  df-im 14128  df-sqrt 14262  df-abs 14263  df-limsup 14489  df-clim 14506  df-rlim 14507  df-sum 14704  df-ef 15082  df-sin 15084  df-cos 15085  df-pi 15087  df-dvds 15268  df-gcd 15500  df-prm 15668  df-numer 15724  df-denom 15725  df-pc 15823  df-struct 16134  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-starv 16231  df-sca 16232  df-vsca 16233  df-ip 16234  df-tset 16235  df-ple 16236  df-ds 16238  df-unif 16239  df-hom 16240  df-cco 16241  df-rest 16351  df-topn 16352  df-0g 16370  df-gsum 16371  df-topgen 16372  df-pt 16373  df-prds 16376  df-xrs 16430  df-qtop 16435  df-imas 16436  df-qus 16437  df-xps 16438  df-mre 16514  df-mrc 16515  df-acs 16517  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mhm 17603  df-submnd 17604  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-sbg 17696  df-mulg 17810  df-subg 17857  df-nsg 17858  df-eqg 17859  df-ghm 17924  df-cntz 18015  df-od 18214  df-cmn 18461  df-abl 18462  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-cring 18817  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-dvr 18950  df-rnghom 18984  df-drng 19018  df-subrg 19047  df-lmod 19134  df-lss 19202  df-lsp 19244  df-sra 19446  df-rgmod 19447  df-lidl 19448  df-rsp 19449  df-2idl 19506  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-zring 20092  df-zrh 20125  df-zn 20128  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-limc 23921  df-dv 23922  df-log 24594  df-cxp 24595  df-dchr 25249
This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  25491
  Copyright terms: Public domain W3C validator