Theorem dchrisum0flb 27477

Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum0f.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
dchrisum0f.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r	⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0flb	⊢ (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flb

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (√‘𝑦) = (√‘𝐴))
2	1	eleq1d 2821	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘𝐴) ∈ ℕ))
3	2	ifbid 4503	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0))
4		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
5	3, 4	breq12d 5111	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝐴)))
6		dchrisum0flb.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
7		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (1...𝑘) = (1...1))
8	7	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
10		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (1...𝑘) = (1...𝑖))
11	10	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
13		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (1...𝑘) = (1...(𝑖 + 1)))
14	13	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
16		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (1...𝑘) = (1...𝐴))
17	16	raleqdv 3296	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
18	17	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
19		rpvmasum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20		rpvmasum.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
21		rpvmasum.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
22		rpvmasum2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
23		rpvmasum2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
24		rpvmasum2.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
25		dchrisum0f.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
26		dchrisum0f.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
27		dchrisum0flb.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
28		2prm 16619	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
30		0nn0 12416	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
32	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31	dchrisum0flblem1 27475	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)))
33		elfz1eq 13451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → 𝑦 = 1)
34		2nn0 12418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
35	34	numexp0 17003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑0) = 1
36	33, 35	eqtr4di 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → 𝑦 = (2↑0))
37	36	fveq2d 6838	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → (√‘𝑦) = (√‘(2↑0)))
38	37	eleq1d 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(2↑0)) ∈ ℕ))
39	38	ifbid 4503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0))
40	36	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(2↑0)))
41	39, 40	breq12d 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0))))
42	41	biimprcd 250	. . . . . 6 ⊢ (if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)) → (𝑦 ∈ (1...1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
43	42	ralrimiv 3127	. . . . 5 ⊢ (if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)) → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
44	32, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
46		nnuz 12790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
47	45, 46	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘1))
48	47	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘1))
49		eluzp1p1 12779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
51		df-2 12208	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 = (1 + 1)
52	51	fveq2i 6837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
53	50, 52	eleqtrrdi 2847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
54		exprmfct 16631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
56	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
57	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
58	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
59	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
60		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
61		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
62		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
63		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12514	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
65		fzval3 13650	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
67	62, 66	raleqtrdv 3298	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → ∀𝑦 ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
68	19, 20, 56, 22, 23, 24, 25, 57, 58, 59, 60, 61, 67	dchrisum0flblem2 27476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
69	55, 68	rexlimddv 3143	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
70		ovex 7391	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 + 1) ∈ V
71		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → (√‘𝑦) = (√‘(𝑖 + 1)))
72	71	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ))
73	72	ifbid 4503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0))
74		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
75	73, 74	breq12d 5111	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
76	70, 75	ralsn 4638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
77	69, 76	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
78	77	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
79	78	ancld 550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
80		fzsuc 13487	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)}))
81	47, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)}))
82	81	raleqdv 3296	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)})if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
83		ralunb 4149	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)})if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
84	82, 83	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
85	79, 84	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
86	85	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
87	86	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
88	9, 12, 15, 18, 44, 87	nnind 12163	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
89	6, 88	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
90	6, 46	eleqtrdi 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
91		eluzfz2 13448	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
92	90, 91	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
93	5, 89, 92	rspcdva 3577	1 ⊢ (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399   ∪ cun 3899  ifcif 4479  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  2c2 12200  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  ↑cexp 13984  √csqrt 15156  Σcsu 15609   ∥ cdvds 16179  ℙcprime 16598  Basecbs 17136  0_gc0g 17359  ℤRHomczrh 21454  ℤ/nℤczn 21457  DChrcdchr 27199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-ec 8637  df-qs 8641  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ioc 13266  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-sin 15992  df-cos 15993  df-pi 15995  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-numer 16662  df-denom 16663  df-pc 16765  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-qus 17430  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-nsg 19054  df-eqg 19055  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-od 19457  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-dvr 20337  df-rhm 20408  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-2idl 21205  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-zn 21461  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-lp 23080  df-perf 23081  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25823  df-dv 25824  df-log 26521  df-cxp 26522  df-dchr 27200

This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  27478