MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flb 27249
Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
dchrisum0flb.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flb (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,π‘ž   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flb
Dummy variables π‘˜ 𝑦 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜π΄))
21eleq1d 2816 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•))
32ifbid 4550 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) = if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0))
4 fveq2 6890 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
53, 4breq12d 5160 . 2 (𝑦 = 𝐴 β†’ (if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π΄)))
6 dchrisum0flb.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
7 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘˜ = 1 β†’ (1...π‘˜) = (1...1))
87raleqdv 3323 . . . . 5 (π‘˜ = 1 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
98imbi2d 339 . . . 4 (π‘˜ = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
10 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (1...π‘˜) = (1...𝑖))
1110raleqdv 3323 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
1211imbi2d 339 . . . 4 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
13 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (1...π‘˜) = (1...(𝑖 + 1)))
1413raleqdv 3323 . . . . 5 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
1514imbi2d 339 . . . 4 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
16 oveq2 7419 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (1...π‘˜) = (1...𝐴))
1716raleqdv 3323 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
1817imbi2d 339 . . . 4 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
19 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
20 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
21 rpvmasum.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
22 rpvmasum2.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
23 rpvmasum2.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
24 rpvmasum2.1 . . . . . 6 1 = (0gβ€˜πΊ)
25 dchrisum0f.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
26 dchrisum0f.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
27 dchrisum0flb.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
28 2prm 16633 . . . . . . 7 2 ∈ β„™
2928a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„™)
30 0nn0 12491 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
3130a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
3219, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31dchrisum0flblem1 27247 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0)))
33 elfz1eq 13516 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ 𝑦 = 1)
34 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•0
3534numexp0 17013 . . . . . . . . . . . 12 (2↑0) = 1
3633, 35eqtr4di 2788 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ 𝑦 = (2↑0))
3736fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(2↑0)))
3837eleq1d 2816 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ ((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•))
3938ifbid 4550 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) = if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0))
4036fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(2↑0)))
4139, 40breq12d 5160 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0))))
4241biimprcd 249 . . . . . 6 (if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0)) β†’ (𝑦 ∈ (1...1) β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
4342ralrimiv 3143 . . . . 5 (if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
4432, 43syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
45 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
46 nnuz 12869 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4745, 46eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4847adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
49 eluzp1p1 12854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
51 df-2 12279 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
5251fveq2i 6893 . . . . . . . . . . . . 13 (β„€β‰₯β€˜2) = (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))
5350, 52eleqtrrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
54 exprmfct 16645 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))
5621ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5726ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
5827ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
5953adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
60 simprl 767 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
61 simprr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))
62 simplrr 774 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
63 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
6463nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
65 fzval3 13705 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
6766raleqdv 3323 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
6862, 67mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
6919, 20, 56, 22, 23, 24, 25, 57, 58, 59, 60, 61, 68dchrisum0flblem2 27248 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
7055, 69rexlimddv 3159 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
71 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 + 1) ∈ V
72 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(𝑖 + 1)))
7372eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ ((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•))
7473ifbid 4550 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) = if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0))
75 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
7674, 75breq12d 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1))))
7771, 76ralsn 4684 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
7870, 77sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
7978expr 455 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
8079ancld 549 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
81 fzsuc 13552 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)}))
8247, 81syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)}))
8382raleqdv 3323 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)})if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
84 ralunb 4190 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)})if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
8583, 84bitrdi 286 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
8680, 85sylibrd 258 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
8786expcom 412 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
8887a2d 29 . . . 4 (𝑖 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
899, 12, 15, 18, 44, 88nnind 12234 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
906, 89mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
916, 46eleqtrdi 2841 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
92 eluzfz2 13513 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
9391, 92syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
945, 90, 93rspcdva 3612 1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430   βˆͺ cun 3945  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ≀ cle 11253  β„•cn 12216  2c2 12271  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  β„€β‰₯cuz 12826  ...cfz 13488  ..^cfzo 13631  β†‘cexp 14031  βˆšcsqrt 15184  Ξ£csu 15636   βˆ₯ cdvds 16201  β„™cprime 16612  Basecbs 17148  0gc0g 17389  β„€RHomczrh 21268  β„€/nβ„€czn 21271  DChrcdchr 26971
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-prm 16613  df-numer 16675  df-denom 16676  df-pc 16774  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-qus 17459  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-mulg 18987  df-subg 19039  df-nsg 19040  df-eqg 19041  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-od 19437  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lsp 20727  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-lidl 20932  df-rsp 20933  df-2idl 21006  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-zring 21218  df-zrh 21272  df-zn 21275  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616  df-log 26301  df-cxp 26302  df-dchr 26972
This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  27250
  Copyright terms: Public domain W3C validator