MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flb 27430
Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
dchrisum0flb.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flb (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,π‘ž   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flb
Dummy variables π‘˜ 𝑦 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜π΄))
21eleq1d 2813 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•))
32ifbid 4547 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) = if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0))
4 fveq2 6891 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
53, 4breq12d 5155 . 2 (𝑦 = 𝐴 β†’ (if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π΄)))
6 dchrisum0flb.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
7 oveq2 7422 . . . . . 6 (π‘˜ = 1 β†’ (1...π‘˜) = (1...1))
87raleqdv 3320 . . . . 5 (π‘˜ = 1 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
98imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
10 oveq2 7422 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (1...π‘˜) = (1...𝑖))
1110raleqdv 3320 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
1211imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
13 oveq2 7422 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (1...π‘˜) = (1...(𝑖 + 1)))
1413raleqdv 3320 . . . . 5 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
1514imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
16 oveq2 7422 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (1...π‘˜) = (1...𝐴))
1716raleqdv 3320 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
1817imbi2d 340 . . . 4 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
19 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
20 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
21 rpvmasum.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
22 rpvmasum2.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
23 rpvmasum2.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
24 rpvmasum2.1 . . . . . 6 1 = (0gβ€˜πΊ)
25 dchrisum0f.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
26 dchrisum0f.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
27 dchrisum0flb.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
28 2prm 16654 . . . . . . 7 2 ∈ β„™
2928a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„™)
30 0nn0 12509 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
3130a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
3219, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31dchrisum0flblem1 27428 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0)))
33 elfz1eq 13536 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ 𝑦 = 1)
34 2nn0 12511 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•0
3534numexp0 17036 . . . . . . . . . . . 12 (2↑0) = 1
3633, 35eqtr4di 2785 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ 𝑦 = (2↑0))
3736fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(2↑0)))
3837eleq1d 2813 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ ((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•))
3938ifbid 4547 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) = if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0))
4036fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(2↑0)))
4139, 40breq12d 5155 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0))))
4241biimprcd 249 . . . . . 6 (if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0)) β†’ (𝑦 ∈ (1...1) β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
4342ralrimiv 3140 . . . . 5 (if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
4432, 43syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
45 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
46 nnuz 12887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4745, 46eleqtrdi 2838 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4847adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
49 eluzp1p1 12872 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
51 df-2 12297 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
5251fveq2i 6894 . . . . . . . . . . . . 13 (β„€β‰₯β€˜2) = (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))
5350, 52eleqtrrdi 2839 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
54 exprmfct 16666 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))
5621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
5827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
5953adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
60 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
61 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))
62 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
63 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
6463nnzd 12607 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
65 fzval3 13725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
6766raleqdv 3320 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
6862, 67mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
6919, 20, 56, 22, 23, 24, 25, 57, 58, 59, 60, 61, 68dchrisum0flblem2 27429 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
7055, 69rexlimddv 3156 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
71 ovex 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 + 1) ∈ V
72 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(𝑖 + 1)))
7372eleq1d 2813 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ ((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•))
7473ifbid 4547 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) = if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0))
75 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
7674, 75breq12d 5155 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1))))
7771, 76ralsn 4681 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
7870, 77sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
7978expr 456 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
8079ancld 550 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
81 fzsuc 13572 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)}))
8247, 81syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)}))
8382raleqdv 3320 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)})if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
84 ralunb 4187 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)})if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
8583, 84bitrdi 287 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
8680, 85sylibrd 259 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
8786expcom 413 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
8887a2d 29 . . . 4 (𝑖 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
899, 12, 15, 18, 44, 88nnind 12252 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
906, 89mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
916, 46eleqtrdi 2838 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
92 eluzfz2 13533 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
9391, 92syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
945, 90, 93rspcdva 3608 1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  βˆƒwrex 3065  {crab 3427   βˆͺ cun 3942  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  2c2 12289  β„•0cn0 12494  β„€cz 12580  β„€β‰₯cuz 12844  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  β†‘cexp 14050  βˆšcsqrt 15204  Ξ£csu 15656   βˆ₯ cdvds 16222  β„™cprime 16633  Basecbs 17171  0gc0g 17412  β„€RHomczrh 21412  β„€/nβ„€czn 21415  DChrcdchr 27152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209  ax-mulf 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5108  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-acn 9957  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-prm 16634  df-numer 16698  df-denom 16699  df-pc 16797  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-qus 17482  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-mhm 18731  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-mulg 19015  df-subg 19069  df-nsg 19070  df-eqg 19071  df-ghm 19159  df-cntz 19259  df-od 19474  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-cring 20167  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-rhm 20400  df-subrng 20472  df-subrg 20497  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093  df-rsp 21094  df-2idl 21133  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-zring 21360  df-zrh 21416  df-zn 21419  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cxp 26478  df-dchr 27153
This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  27431
  Copyright terms: Public domain W3C validator