MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flb 27013
Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
rpvmasum.l 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
rpvmasum.a (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
rpvmasum2.1 1 = (0gβ€˜πΊ)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
dchrisum0f.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
dchrisum0flb.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flb (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Distinct variable groups:   π‘ž,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,π‘ž   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐷(𝑣,π‘ž,𝑏)   1 (𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐹(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐺(𝑣,π‘ž,𝑏)   𝐿(π‘ž)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(π‘ž)   𝑍(𝑣,π‘ž,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flb
Dummy variables π‘˜ 𝑦 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜π΄))
21eleq1d 2819 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 β†’ ((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•))
32ifbid 4552 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) = if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0))
4 fveq2 6892 . . 3 (𝑦 = 𝐴 β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜π΄))
53, 4breq12d 5162 . 2 (𝑦 = 𝐴 β†’ (if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π΄)))
6 dchrisum0flb.a . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„•)
7 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘˜ = 1 β†’ (1...π‘˜) = (1...1))
87raleqdv 3326 . . . . 5 (π‘˜ = 1 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
98imbi2d 341 . . . 4 (π‘˜ = 1 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
10 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (1...π‘˜) = (1...𝑖))
1110raleqdv 3326 . . . . 5 (π‘˜ = 𝑖 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
1211imbi2d 341 . . . 4 (π‘˜ = 𝑖 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
13 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (1...π‘˜) = (1...(𝑖 + 1)))
1413raleqdv 3326 . . . . 5 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
1514imbi2d 341 . . . 4 (π‘˜ = (𝑖 + 1) β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
16 oveq2 7417 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (1...π‘˜) = (1...𝐴))
1716raleqdv 3326 . . . . 5 (π‘˜ = 𝐴 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
1817imbi2d 341 . . . 4 (π‘˜ = 𝐴 β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...π‘˜)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) ↔ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
19 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (β„€/nβ„€β€˜π‘)
20 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘)
21 rpvmasum.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
22 rpvmasum2.g . . . . . 6 𝐺 = (DChrβ€˜π‘)
23 rpvmasum2.d . . . . . 6 𝐷 = (Baseβ€˜πΊ)
24 rpvmasum2.1 . . . . . 6 1 = (0gβ€˜πΊ)
25 dchrisum0f.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑏 ∈ β„• ↦ Σ𝑣 ∈ {π‘ž ∈ β„• ∣ π‘ž βˆ₯ 𝑏} (π‘‹β€˜(πΏβ€˜π‘£)))
26 dchrisum0f.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
27 dchrisum0flb.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
28 2prm 16629 . . . . . . 7 2 ∈ β„™
2928a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 2 ∈ β„™)
30 0nn0 12487 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
3130a1i 11 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„•0)
3219, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31dchrisum0flblem1 27011 . . . . 5 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0)))
33 elfz1eq 13512 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ 𝑦 = 1)
34 2nn0 12489 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ β„•0
3534numexp0 17009 . . . . . . . . . . . 12 (2↑0) = 1
3633, 35eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ 𝑦 = (2↑0))
3736fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(2↑0)))
3837eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ ((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•))
3938ifbid 4552 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) = if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0))
4036fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(2↑0)))
4139, 40breq12d 5162 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...1) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0))))
4241biimprcd 249 . . . . . 6 (if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0)) β†’ (𝑦 ∈ (1...1) β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
4342ralrimiv 3146 . . . . 5 (if((βˆšβ€˜(2↑0)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(2↑0)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
4432, 43syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...1)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
45 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
46 nnuz 12865 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4745, 46eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
4847adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ 𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
49 eluzp1p1 12850 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜(1 + 1)))
51 df-2 12275 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
5251fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . 13 (β„€β‰₯β€˜2) = (β„€β‰₯β€˜(1 + 1))
5350, 52eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
54 exprmfct 16641 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆƒπ‘ ∈ β„™ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))
5621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ β„•)
5726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐷)
5827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑋:(Baseβ€˜π‘)βŸΆβ„)
5953adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
60 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑝 ∈ β„™)
61 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))
62 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
63 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„•)
6463nnzd 12585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ 𝑖 ∈ β„€)
65 fzval3 13701 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ β„€ β†’ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
6766raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
6862, 67mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
6919, 20, 56, 22, 23, 24, 25, 57, 58, 59, 60, 61, 68dchrisum0flblem2 27012 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) ∧ (𝑝 ∈ β„™ ∧ 𝑝 βˆ₯ (𝑖 + 1))) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
7055, 69rexlimddv 3162 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
71 ovex 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 + 1) ∈ V
72 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ (βˆšβ€˜π‘¦) = (βˆšβ€˜(𝑖 + 1)))
7372eleq1d 2819 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ ((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„• ↔ (βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•))
7473ifbid 4552 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) = if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0))
75 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) = (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
7674, 75breq12d 5162 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑖 + 1) β†’ (if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1))))
7771, 76ralsn 4686 . . . . . . . . . 10 (βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ if((βˆšβ€˜(𝑖 + 1)) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜(𝑖 + 1)))
7870, 77sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ β„• ∧ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
7978expr 458 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
8079ancld 552 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
81 fzsuc 13548 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)}))
8247, 81syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)}))
8382raleqdv 3326 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ βˆ€π‘¦ ∈ ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)})if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
84 ralunb 4192 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ ((1...𝑖) βˆͺ {(𝑖 + 1)})if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
8583, 84bitrdi 287 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ {(𝑖 + 1)}if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
8680, 85sylibrd 259 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ β„•) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
8786expcom 415 . . . . 5 (𝑖 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
8887a2d 29 . . . 4 (𝑖 ∈ β„• β†’ ((πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝑖)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)) β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...(𝑖 + 1))if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))))
899, 12, 15, 18, 44, 88nnind 12230 . . 3 (𝐴 ∈ β„• β†’ (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦)))
906, 89mpcom 38 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (1...𝐴)if((βˆšβ€˜π‘¦) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π‘¦))
916, 46eleqtrdi 2844 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1))
92 eluzfz2 13509 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜1) β†’ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
9391, 92syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (1...𝐴))
945, 90, 93rspcdva 3614 1 (πœ‘ β†’ if((βˆšβ€˜π΄) ∈ β„•, 1, 0) ≀ (πΉβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   βˆͺ cun 3947  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ≀ cle 11249  β„•cn 12212  2c2 12267  β„•0cn0 12472  β„€cz 12558  β„€β‰₯cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  β†‘cexp 14027  βˆšcsqrt 15180  Ξ£csu 15632   βˆ₯ cdvds 16197  β„™cprime 16608  Basecbs 17144  0gc0g 17385  β„€RHomczrh 21049  β„€/nβ„€czn 21052  DChrcdchr 26735
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-ec 8705  df-qs 8709  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-numer 16671  df-denom 16672  df-pc 16770  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-qus 17455  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-nsg 19004  df-eqg 19005  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-od 19396  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-lidl 20787  df-rsp 20788  df-2idl 20857  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-zn 21056  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384  df-log 26065  df-cxp 26066  df-dchr 26736
This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  27014
  Copyright terms: Public domain W3C validator