Theorem dchrisum0flb 27428

Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum0f.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
dchrisum0f.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r	⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0flb	⊢ (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flb

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6861	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (√‘𝑦) = (√‘𝐴))
2	1	eleq1d 2814	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘𝐴) ∈ ℕ))
3	2	ifbid 4515	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0))
4		fveq2 6861	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
5	3, 4	breq12d 5123	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝐴)))
6		dchrisum0flb.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
7		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (1...𝑘) = (1...1))
8	7	raleqdv 3301	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
10		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (1...𝑘) = (1...𝑖))
11	10	raleqdv 3301	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
13		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (1...𝑘) = (1...(𝑖 + 1)))
14	13	raleqdv 3301	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
16		oveq2 7398	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (1...𝑘) = (1...𝐴))
17	16	raleqdv 3301	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
18	17	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
19		rpvmasum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20		rpvmasum.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
21		rpvmasum.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
22		rpvmasum2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
23		rpvmasum2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
24		rpvmasum2.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
25		dchrisum0f.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
26		dchrisum0f.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
27		dchrisum0flb.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
28		2prm 16669	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
30		0nn0 12464	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
32	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31	dchrisum0flblem1 27426	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)))
33		elfz1eq 13503	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → 𝑦 = 1)
34		2nn0 12466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
35	34	numexp0 17053	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑0) = 1
36	33, 35	eqtr4di 2783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → 𝑦 = (2↑0))
37	36	fveq2d 6865	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → (√‘𝑦) = (√‘(2↑0)))
38	37	eleq1d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(2↑0)) ∈ ℕ))
39	38	ifbid 4515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0))
40	36	fveq2d 6865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(2↑0)))
41	39, 40	breq12d 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0))))
42	41	biimprcd 250	. . . . . 6 ⊢ (if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)) → (𝑦 ∈ (1...1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
43	42	ralrimiv 3125	. . . . 5 ⊢ (if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)) → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
44	32, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
46		nnuz 12843	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
47	45, 46	eleqtrdi 2839	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘1))
48	47	adantrr 717	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘1))
49		eluzp1p1 12828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
51		df-2 12256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 = (1 + 1)
52	51	fveq2i 6864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
53	50, 52	eleqtrrdi 2840	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
54		exprmfct 16681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
56	21	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
57	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
58	27	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
59	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
60		simprl 770	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
61		simprr 772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
62		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
63		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
65		fzval3 13702	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
67	62, 66	raleqtrdv 3303	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → ∀𝑦 ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
68	19, 20, 56, 22, 23, 24, 25, 57, 58, 59, 60, 61, 67	dchrisum0flblem2 27427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
69	55, 68	rexlimddv 3141	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
70		ovex 7423	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 + 1) ∈ V
71		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → (√‘𝑦) = (√‘(𝑖 + 1)))
72	71	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ))
73	72	ifbid 4515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0))
74		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
75	73, 74	breq12d 5123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
76	70, 75	ralsn 4648	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
77	69, 76	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
78	77	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
79	78	ancld 550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
80		fzsuc 13539	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)}))
81	47, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)}))
82	81	raleqdv 3301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)})if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
83		ralunb 4163	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)})if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
84	82, 83	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
85	79, 84	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
86	85	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
87	86	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
88	9, 12, 15, 18, 44, 87	nnind 12211	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
89	6, 88	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
90	6, 46	eleqtrdi 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
91		eluzfz2 13500	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
92	90, 91	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
93	5, 89, 92	rspcdva 3592	1 ⊢ (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045  ∃wrex 3054  {crab 3408   ∪ cun 3915  ifcif 4491  {csn 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ≤ cle 11216  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ...cfz 13475  ..^cfzo 13622  ↑cexp 14033  √csqrt 15206  Σcsu 15659   ∥ cdvds 16229  ℙcprime 16648  Basecbs 17186  0_gc0g 17409  ℤRHomczrh 21416  ℤ/nℤczn 21419  DChrcdchr 27150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-ec 8676  df-qs 8680  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-numer 16712  df-denom 16713  df-pc 16815  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-qus 17479  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-nsg 19063  df-eqg 19064  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-od 19465  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125  df-rsp 21126  df-2idl 21167  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-zring 21364  df-zrh 21420  df-zn 21423  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473  df-dchr 27151

This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  27429