Theorem dchrisum0flb 27461

Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpvmasum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1	⊢ 1 = (0g‘𝐺)
dchrisum0f.f	⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
dchrisum0f.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrisum0flb.r	⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flb.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)

Assertion

Ref	Expression
dchrisum0flb	⊢ (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝐴))

Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flb

Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6829	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (√‘𝑦) = (√‘𝐴))
2	1	eleq1d 2820	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘𝐴) ∈ ℕ))
3	2	ifbid 4480	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0))
4		fveq2 6829	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝐴))
5	3, 4	breq12d 5087	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝐴)))
6		dchrisum0flb.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℕ)
7		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 1 → (1...𝑘) = (1...1))
8	7	raleqdv 3293	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 1 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
9	8	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 1 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
10		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (1...𝑘) = (1...𝑖))
11	10	raleqdv 3293	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
12	11	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
13		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (1...𝑘) = (1...(𝑖 + 1)))
14	13	raleqdv 3293	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
15	14	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
16		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (1...𝑘) = (1...𝐴))
17	16	raleqdv 3293	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
18	17	imbi2d 340	. . . 4 ⊢ (𝑘 = 𝐴 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
19		rpvmasum.z	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20		rpvmasum.l	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
21		rpvmasum.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
22		rpvmasum2.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
23		rpvmasum2.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
24		rpvmasum2.1	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0g‘𝐺)
25		dchrisum0f.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞 ∥ 𝑏} (𝑋‘(𝐿‘𝑣)))
26		dchrisum0f.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
27		dchrisum0flb.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
28		2prm 16650	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℙ
29	28	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
30		0nn0 12441	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
31	30	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
32	19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31	dchrisum0flblem1 27459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)))
33		elfz1eq 13478	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → 𝑦 = 1)
34		2nn0 12443	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℕ0
35	34	numexp0 17035	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑0) = 1
36	33, 35	eqtr4di 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → 𝑦 = (2↑0))
37	36	fveq2d 6833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → (√‘𝑦) = (√‘(2↑0)))
38	37	eleq1d 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(2↑0)) ∈ ℕ))
39	38	ifbid 4480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0))
40	36	fveq2d 6833	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(2↑0)))
41	39, 40	breq12d 5087	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ (1...1) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0))))
42	41	biimprcd 250	. . . . . 6 ⊢ (if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)) → (𝑦 ∈ (1...1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
43	42	ralrimiv 3126	. . . . 5 ⊢ (if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)) → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
44	32, 43	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
46		nnuz 12816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
47	45, 46	eleqtrdi 2845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘1))
48	47	adantrr 718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → 𝑖 ∈ (ℤ≥‘1))
49		eluzp1p1 12805	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
50	48, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘(1 + 1)))
51		df-2 12233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 = (1 + 1)
52	51	fveq2i 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℤ≥‘2) = (ℤ≥‘(1 + 1))
53	50, 52	eleqtrrdi 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
54		exprmfct 16663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
55	53, 54	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
56	21	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
57	26	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑋 ∈ 𝐷)
58	27	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
59	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ≥‘2))
60		simprl 771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
61		simprr 773	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
62		simplrr 778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
63		simplrl 777	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
64	63	nnzd 12539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
65		fzval3 13678	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 ∈ ℤ → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
67	62, 66	raleqtrdv 3295	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → ∀𝑦 ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
68	19, 20, 56, 22, 23, 24, 25, 57, 58, 59, 60, 61, 67	dchrisum0flblem2 27460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
69	55, 68	rexlimddv 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
70		ovex 7389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑖 + 1) ∈ V
71		fveq2 6829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → (√‘𝑦) = (√‘(𝑖 + 1)))
72	71	eleq1d 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ))
73	72	ifbid 4480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0))
74		fveq2 6829	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → (𝐹‘𝑦) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
75	73, 74	breq12d 5087	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑖 + 1) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
76	70, 75	ralsn 4615	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
77	69, 76	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))) → ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
78	77	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
79	78	ancld 550	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
80		fzsuc 13514	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (ℤ≥‘1) → (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)}))
81	47, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)}))
82	81	raleqdv 3293	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)})if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
83		ralunb 4128	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)})if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
84	82, 83	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
85	79, 84	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
86	85	expcom 413	. . . . 5 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦) → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
87	86	a2d 29	. . . 4 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)) → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))))
88	9, 12, 15, 18, 44, 87	nnind 12181	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦)))
89	6, 88	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝑦))
90	6, 46	eleqtrdi 2845	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘1))
91		eluzfz2 13475	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘1) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
92	90, 91	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
93	5, 89, 92	rspcdva 3563	1 ⊢ (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3049  ∃wrex 3059  {crab 3387   ∪ cun 3883  ifcif 4456  {csn 4557   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5155  ⟶wf 6483  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   ≤ cle 11169  ℕcn 12163  2c2 12225  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ℤ_≥cuz 12777  ...cfz 13450  ..^cfzo 13597  ↑cexp 14012  √csqrt 15184  Σcsu 15637   ∥ cdvds 16210  ℙcprime 16629  Basecbs 17168  0_gc0g 17391  ℤRHomczrh 21468  ℤ/nℤczn 21471  DChrcdchr 27183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106  ax-mulf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-disj 5042  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8632  df-ec 8634  df-qs 8638  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-fi 9313  df-sup 9344  df-inf 9345  df-oi 9414  df-card 9852  df-acn 9855  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-ef 16021  df-sin 16023  df-cos 16024  df-pi 16026  df-dvds 16211  df-gcd 16453  df-prm 16630  df-numer 16694  df-denom 16695  df-pc 16797  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-qus 17462  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-nsg 19089  df-eqg 19090  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-od 19492  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-invr 20357  df-dvr 20370  df-rhm 20441  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-drng 20697  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-lsp 20956  df-sra 21157  df-rgmod 21158  df-lidl 21195  df-rsp 21196  df-2idl 21237  df-psmet 21333  df-xmet 21334  df-met 21335  df-bl 21336  df-mopn 21337  df-fbas 21338  df-fg 21339  df-cnfld 21342  df-zring 21416  df-zrh 21472  df-zn 21475  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-bases 22899  df-cld 22972  df-ntr 22973  df-cls 22974  df-nei 23051  df-lp 23089  df-perf 23090  df-cn 23180  df-cnp 23181  df-haus 23268  df-tx 23515  df-hmeo 23708  df-fil 23799  df-fm 23891  df-flim 23892  df-flf 23893  df-xms 24273  df-ms 24274  df-tms 24275  df-cncf 24833  df-limc 25821  df-dv 25822  df-log 26508  df-cxp 26509  df-dchr 27184

This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  27462