MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dchrisum0flb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dchrisum0flb 26098
Description: The divisor sum of a real Dirichlet character, is lower bounded by zero everywhere and one at the squares. Equation 9.4.29 of [Shapiro], p. 382. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
rpvmasum.z 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
rpvmasum.l 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
rpvmasum.a (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
rpvmasum2.g 𝐺 = (DChr‘𝑁)
rpvmasum2.d 𝐷 = (Base‘𝐺)
rpvmasum2.1 1 = (0g𝐺)
dchrisum0f.f 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
dchrisum0f.x (𝜑𝑋𝐷)
dchrisum0flb.r (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
dchrisum0flb.a (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
Assertion
Ref Expression
dchrisum0flb (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Distinct variable groups:   𝑞,𝑏,𝑣,𝐴   𝑁,𝑞   𝐿,𝑏,𝑣   𝑋,𝑏,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐷(𝑣,𝑞,𝑏)   1 (𝑣,𝑞,𝑏)   𝐹(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐺(𝑣,𝑞,𝑏)   𝐿(𝑞)   𝑁(𝑣,𝑏)   𝑋(𝑞)   𝑍(𝑣,𝑞,𝑏)

Proof of Theorem dchrisum0flb
Dummy variables 𝑘 𝑦 𝑖 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6649 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → (√‘𝑦) = (√‘𝐴))
21eleq1d 2877 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘𝐴) ∈ ℕ))
32ifbid 4450 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0))
4 fveq2 6649 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → (𝐹𝑦) = (𝐹𝐴))
53, 4breq12d 5046 . 2 (𝑦 = 𝐴 → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴)))
6 dchrisum0flb.a . . 3 (𝜑𝐴 ∈ ℕ)
7 oveq2 7147 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (1...𝑘) = (1...1))
87raleqdv 3367 . . . . 5 (𝑘 = 1 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
98imbi2d 344 . . . 4 (𝑘 = 1 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
10 oveq2 7147 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑖 → (1...𝑘) = (1...𝑖))
1110raleqdv 3367 . . . . 5 (𝑘 = 𝑖 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
1211imbi2d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝑖 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
13 oveq2 7147 . . . . . 6 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (1...𝑘) = (1...(𝑖 + 1)))
1413raleqdv 3367 . . . . 5 (𝑘 = (𝑖 + 1) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
1514imbi2d 344 . . . 4 (𝑘 = (𝑖 + 1) → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
16 oveq2 7147 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐴 → (1...𝑘) = (1...𝐴))
1716raleqdv 3367 . . . . 5 (𝑘 = 𝐴 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
1817imbi2d 344 . . . 4 (𝑘 = 𝐴 → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑘)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)) ↔ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
19 rpvmasum.z . . . . . 6 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
20 rpvmasum.l . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑍)
21 rpvmasum.a . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
22 rpvmasum2.g . . . . . 6 𝐺 = (DChr‘𝑁)
23 rpvmasum2.d . . . . . 6 𝐷 = (Base‘𝐺)
24 rpvmasum2.1 . . . . . 6 1 = (0g𝐺)
25 dchrisum0f.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑏 ∈ ℕ ↦ Σ𝑣 ∈ {𝑞 ∈ ℕ ∣ 𝑞𝑏} (𝑋‘(𝐿𝑣)))
26 dchrisum0f.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝐷)
27 dchrisum0flb.r . . . . . 6 (𝜑𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
28 2prm 16030 . . . . . . 7 2 ∈ ℙ
2928a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 2 ∈ ℙ)
30 0nn0 11904 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
3130a1i 11 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
3219, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31dchrisum0flblem1 26096 . . . . 5 (𝜑 → if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)))
33 elfz1eq 12917 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (1...1) → 𝑦 = 1)
34 2nn0 11906 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℕ0
3534numexp0 16406 . . . . . . . . . . . 12 (2↑0) = 1
3633, 35eqtr4di 2854 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (1...1) → 𝑦 = (2↑0))
3736fveq2d 6653 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (1...1) → (√‘𝑦) = (√‘(2↑0)))
3837eleq1d 2877 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (1...1) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(2↑0)) ∈ ℕ))
3938ifbid 4450 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0))
4036fveq2d 6653 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (1...1) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(2↑0)))
4139, 40breq12d 5046 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (1...1) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0))))
4241biimprcd 253 . . . . . 6 (if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)) → (𝑦 ∈ (1...1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
4342ralrimiv 3151 . . . . 5 (if((√‘(2↑0)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(2↑0)) → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
4432, 43syl 17 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...1)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
45 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ ℕ)
46 nnuz 12273 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ℕ = (ℤ‘1)
4745, 46eleqtrdi 2903 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
4847adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → 𝑖 ∈ (ℤ‘1))
49 eluzp1p1 12262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
5048, 49syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘(1 + 1)))
51 df-2 11692 . . . . . . . . . . . . . 14 2 = (1 + 1)
5251fveq2i 6652 . . . . . . . . . . . . 13 (ℤ‘2) = (ℤ‘(1 + 1))
5350, 52eleqtrrdi 2904 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘2))
54 exprmfct 16042 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
5621ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑁 ∈ ℕ)
5726ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑋𝐷)
5827ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑋:(Base‘𝑍)⟶ℝ)
5953adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (ℤ‘2))
60 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑝 ∈ ℙ)
61 simprr 772 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))
62 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
63 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℕ)
6463nnzd 12078 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
65 fzval3 13105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (1...𝑖) = (1..^(𝑖 + 1)))
6766raleqdv 3367 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
6862, 67mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → ∀𝑦 ∈ (1..^(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
6919, 20, 56, 22, 23, 24, 25, 57, 58, 59, 60, 61, 68dchrisum0flblem2 26097 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) ∧ (𝑝 ∈ ℙ ∧ 𝑝 ∥ (𝑖 + 1))) → if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
7055, 69rexlimddv 3253 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
71 ovex 7172 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 + 1) ∈ V
72 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑖 + 1) → (√‘𝑦) = (√‘(𝑖 + 1)))
7372eleq1d 2877 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑖 + 1) → ((√‘𝑦) ∈ ℕ ↔ (√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ))
7473ifbid 4450 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑖 + 1) → if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) = if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0))
75 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑖 + 1) → (𝐹𝑦) = (𝐹‘(𝑖 + 1)))
7674, 75breq12d 5046 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑖 + 1) → (if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1))))
7771, 76ralsn 4582 . . . . . . . . . 10 (∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ if((√‘(𝑖 + 1)) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹‘(𝑖 + 1)))
7870, 77sylibr 237 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ ℕ ∧ ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))) → ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
7978expr 460 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) → ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
8079ancld 554 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
81 fzsuc 12953 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (ℤ‘1) → (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)}))
8247, 81syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (1...(𝑖 + 1)) = ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)}))
8382raleqdv 3367 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)})if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
84 ralunb 4121 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ ((1...𝑖) ∪ {(𝑖 + 1)})if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
8583, 84syl6bb 290 . . . . . . 7 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ↔ (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) ∧ ∀𝑦 ∈ {(𝑖 + 1)}if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
8680, 85sylibrd 262 . . . . . 6 ((𝜑𝑖 ∈ ℕ) → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
8786expcom 417 . . . . 5 (𝑖 ∈ ℕ → (𝜑 → (∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦) → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
8887a2d 29 . . . 4 (𝑖 ∈ ℕ → ((𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝑖)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)) → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...(𝑖 + 1))if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))))
899, 12, 15, 18, 44, 88nnind 11647 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ → (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦)))
906, 89mpcom 38 . 2 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (1...𝐴)if((√‘𝑦) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝑦))
916, 46eleqtrdi 2903 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ (ℤ‘1))
92 eluzfz2 12914 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘1) → 𝐴 ∈ (1...𝐴))
9391, 92syl 17 . 2 (𝜑𝐴 ∈ (1...𝐴))
945, 90, 93rspcdva 3576 1 (𝜑 → if((√‘𝐴) ∈ ℕ, 1, 0) ≤ (𝐹𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  {crab 3113  cun 3882  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5033  cmpt 5113  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533  cle 10669  cn 11629  2c2 11684  0cn0 11889  cz 11973  cuz 12235  ...cfz 12889  ..^cfzo 13032  cexp 13429  csqrt 14588  Σcsu 15038  cdvds 15603  cprime 16009  Basecbs 16479  0gc0g 16709  ℤRHomczrh 20197  ℤ/nczn 20200  DChrcdchr 25820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-ec 8278  df-qs 8282  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ioc 12735  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13430  df-fac 13634  df-bc 13663  df-hash 13691  df-shft 14422  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-limsup 14824  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-ef 15417  df-sin 15419  df-cos 15420  df-pi 15422  df-dvds 15604  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-numer 16069  df-denom 16070  df-pc 16168  df-struct 16481  df-ndx 16482  df-slot 16483  df-base 16485  df-sets 16486  df-ress 16487  df-plusg 16574  df-mulr 16575  df-starv 16576  df-sca 16577  df-vsca 16578  df-ip 16579  df-tset 16580  df-ple 16581  df-ds 16583  df-unif 16584  df-hom 16585  df-cco 16586  df-rest 16692  df-topn 16693  df-0g 16711  df-gsum 16712  df-topgen 16713  df-pt 16714  df-prds 16717  df-xrs 16771  df-qtop 16776  df-imas 16777  df-qus 16778  df-xps 16779  df-mre 16853  df-mrc 16854  df-acs 16856  df-mgm 17848  df-sgrp 17897  df-mnd 17908  df-mhm 17952  df-submnd 17953  df-grp 18102  df-minusg 18103  df-sbg 18104  df-mulg 18221  df-subg 18272  df-nsg 18273  df-eqg 18274  df-ghm 18352  df-cntz 18443  df-od 18652  df-cmn 18904  df-abl 18905  df-mgp 19237  df-ur 19249  df-ring 19296  df-cring 19297  df-oppr 19373  df-dvdsr 19391  df-unit 19392  df-invr 19422  df-dvr 19433  df-rnghom 19467  df-drng 19501  df-subrg 19530  df-lmod 19633  df-lss 19701  df-lsp 19741  df-sra 19941  df-rgmod 19942  df-lidl 19943  df-rsp 19944  df-2idl 20002  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-fbas 20092  df-fg 20093  df-cnfld 20096  df-zring 20168  df-zrh 20201  df-zn 20204  df-top 21503  df-topon 21520  df-topsp 21542  df-bases 21555  df-cld 21628  df-ntr 21629  df-cls 21630  df-nei 21707  df-lp 21745  df-perf 21746  df-cn 21836  df-cnp 21837  df-haus 21924  df-tx 22171  df-hmeo 22364  df-fil 22455  df-fm 22547  df-flim 22548  df-flf 22549  df-xms 22931  df-ms 22932  df-tms 22933  df-cncf 23487  df-limc 24473  df-dv 24474  df-log 25152  df-cxp 25153  df-dchr 25821
This theorem is referenced by:  dchrisum0fno1  26099
  Copyright terms: Public domain W3C validator