Theorem finiunmbl 25561

Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
finiunmbl	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem finiunmbl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 3312	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
2		iuneq1 5009	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3	2	eleq1d 2811	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
4	1, 3	imbi12d 343	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)))
5		raleq 3312	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
6		iuneq1 5009	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
7	6	eleq1d 2811	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
8	5, 7	imbi12d 343	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol)))
9		raleq 3312	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
10		iuneq1 5009	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵)
11	10	eleq1d 2811	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
12	9, 11	imbi12d 343	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
13		raleq 3312	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
14		iuneq1 5009	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
15	14	eleq1d 2811	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
16	13, 15	imbi12d 343	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)))
17		0iun 5063	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
18		0mbl 25556	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ dom vol
19	17, 18	eqeltri 2822	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)
21		ssun1 4170	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
22		ssralv 4047	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol)
24	23	imim1i 63	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
25		ssun2 4171	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
26		ssralv 4047	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
28		iunxun 5094	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 = (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵)
29		vex 3466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
30		csbeq1 3894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
31	30	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol))
32	29, 31	ralsn 4680	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
33		nfv 1910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ dom vol
34		nfcsb1v 3916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
35	34	nfel1 2909	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol
36		csbeq1a 3905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
37	36	eleq1d 2811	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol))
38	33, 35, 37	cbvralw 3294	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
39		nfcv 2892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
40	39, 34, 36	cbviun 5036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
41	29, 30	iunxsn 5091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
42	40, 41	eqtri 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
43	42	eleq1i 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
44	32, 38, 43	3bitr4i 302	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
45		unmbl 25554	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
46	44, 45	sylan2b 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
47	28, 46	eqeltrid 2830	. . . . . . 7 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)
48	47	expcom 412	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
49	27, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
50	24, 49	sylcom 30	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
51	50	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
52	4, 8, 12, 16, 20, 51	findcard2 9194	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
53	52	imp 405	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ⦋csb 3891   ∪ cun 3944   ⊆ wss 3946  ∅c0 4322  {csn 4623  ∪ ciun 4993  dom cdm 5674  Fincfn 8966  volcvol 25480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-dju 9937  df-card 9975  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-n0 12519  df-z 12605  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xadd 13141  df-ioo 13376  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-seq 14016  df-exp 14076  df-hash 14343  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-clim 15485  df-sum 15686  df-xmet 21332  df-met 21333  df-ovol 25481  df-vol 25482

This theorem is referenced by:  volfiniun  25564  iunmbl  25570  volsup  25573  iunmbl2  25574  uniioovol  25596  uniioombllem4  25603  uniioombllem5  25604  dyadmbl  25617  i1fima  25695  i1fd  25698  i1fadd  25712  i1fmul  25713  volfiniune  34076  volsupnfl  37379  itg2addnclem2  37386  ftc1anclem6  37412