Theorem finiunmbl 25478

Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
finiunmbl	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem finiunmbl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 3289	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
2		iuneq1 4958	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3	2	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
4	1, 3	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)))
5		raleq 3289	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
6		iuneq1 4958	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
7	6	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
8	5, 7	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol)))
9		raleq 3289	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
10		iuneq1 4958	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵)
11	10	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
12	9, 11	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
13		raleq 3289	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
14		iuneq1 4958	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
15	14	eleq1d 2816	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
16	13, 15	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)))
17		0iun 5013	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
18		0mbl 25473	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ dom vol
19	17, 18	eqeltri 2827	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)
21		ssun1 4127	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
22		ssralv 3998	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol)
24	23	imim1i 63	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
25		ssun2 4128	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
26		ssralv 3998	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
28		iunxun 5044	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 = (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵)
29		vex 3440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
30		csbeq1 3848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
31	30	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol))
32	29, 31	ralsn 4633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
33		nfv 1915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ dom vol
34		nfcsb1v 3869	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
35	34	nfel1 2911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol
36		csbeq1a 3859	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
37	36	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol))
38	33, 35, 37	cbvralw 3274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
39		nfcv 2894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
40	39, 34, 36	cbviun 4985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
41	29, 30	iunxsn 5041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
42	40, 41	eqtri 2754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
43	42	eleq1i 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
44	32, 38, 43	3bitr4i 303	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
45		unmbl 25471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
46	44, 45	sylan2b 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
47	28, 46	eqeltrid 2835	. . . . . . 7 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)
48	47	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
49	27, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
50	24, 49	sylcom 30	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
51	50	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
52	4, 8, 12, 16, 20, 51	findcard2 9080	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
53	52	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ⦋csb 3845   ∪ cun 3895   ⊆ wss 3897  ∅c0 4282  {csn 4575  ∪ ciun 4941  dom cdm 5619  Fincfn 8875  volcvol 25397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-inf2 9537  ax-cnex 11068  ax-resscn 11069  ax-1cn 11070  ax-icn 11071  ax-addcl 11072  ax-addrcl 11073  ax-mulcl 11074  ax-mulrcl 11075  ax-mulcom 11076  ax-addass 11077  ax-mulass 11078  ax-distr 11079  ax-i2m1 11080  ax-1ne0 11081  ax-1rid 11082  ax-rnegex 11083  ax-rrecex 11084  ax-cnre 11085  ax-pre-lttri 11086  ax-pre-lttrn 11087  ax-pre-ltadd 11088  ax-pre-mulgt0 11089  ax-pre-sup 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9800  df-card 9838  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158  df-sub 11352  df-neg 11353  df-div 11781  df-nn 12132  df-2 12194  df-3 12195  df-n0 12388  df-z 12475  df-uz 12739  df-q 12853  df-rp 12897  df-xadd 13018  df-ioo 13255  df-ico 13257  df-icc 13258  df-fz 13414  df-fzo 13561  df-fl 13702  df-seq 13915  df-exp 13975  df-hash 14244  df-cj 15012  df-re 15013  df-im 15014  df-sqrt 15148  df-abs 15149  df-clim 15401  df-sum 15600  df-xmet 21290  df-met 21291  df-ovol 25398  df-vol 25399

This theorem is referenced by:  volfiniun  25481  iunmbl  25487  volsup  25490  iunmbl2  25491  uniioovol  25513  uniioombllem4  25520  uniioombllem5  25521  dyadmbl  25534  i1fima  25612  i1fd  25615  i1fadd  25629  i1fmul  25630  volfiniune  34250  volsupnfl  37711  itg2addnclem2  37718  ftc1anclem6  37744