Theorem finiunmbl 25579

Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
finiunmbl	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem finiunmbl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 3323	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
2		iuneq1 5008	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3	2	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
4	1, 3	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)))
5		raleq 3323	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
6		iuneq1 5008	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
7	6	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
8	5, 7	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol)))
9		raleq 3323	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
10		iuneq1 5008	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵)
11	10	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
12	9, 11	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
13		raleq 3323	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
14		iuneq1 5008	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
15	14	eleq1d 2826	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
16	13, 15	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)))
17		0iun 5063	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
18		0mbl 25574	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ dom vol
19	17, 18	eqeltri 2837	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)
21		ssun1 4178	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
22		ssralv 4052	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol)
24	23	imim1i 63	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
25		ssun2 4179	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
26		ssralv 4052	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
28		iunxun 5094	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 = (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵)
29		vex 3484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
30		csbeq1 3902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
31	30	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol))
32	29, 31	ralsn 4681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
33		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ dom vol
34		nfcsb1v 3923	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
35	34	nfel1 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol
36		csbeq1a 3913	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
37	36	eleq1d 2826	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol))
38	33, 35, 37	cbvralw 3306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
39		nfcv 2905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
40	39, 34, 36	cbviun 5036	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
41	29, 30	iunxsn 5091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
42	40, 41	eqtri 2765	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
43	42	eleq1i 2832	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
44	32, 38, 43	3bitr4i 303	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
45		unmbl 25572	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
46	44, 45	sylan2b 594	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
47	28, 46	eqeltrid 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)
48	47	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
49	27, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
50	24, 49	sylcom 30	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
51	50	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
52	4, 8, 12, 16, 20, 51	findcard2 9204	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
53	52	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ⦋csb 3899   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626  ∪ ciun 4991  dom cdm 5685  Fincfn 8985  volcvol 25498

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499  df-vol 25500

This theorem is referenced by:  volfiniun  25582  iunmbl  25588  volsup  25591  iunmbl2  25592  uniioovol  25614  uniioombllem4  25621  uniioombllem5  25622  dyadmbl  25635  i1fima  25713  i1fd  25716  i1fadd  25730  i1fmul  25731  volfiniune  34231  volsupnfl  37672  itg2addnclem2  37679  ftc1anclem6  37705