Theorem finiunmbl 24613

Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
finiunmbl	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem finiunmbl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 3333	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
2		iuneq1 4937	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3	2	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
4	1, 3	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)))
5		raleq 3333	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
6		iuneq1 4937	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
7	6	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
8	5, 7	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol)))
9		raleq 3333	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
10		iuneq1 4937	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵)
11	10	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
12	9, 11	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
13		raleq 3333	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
14		iuneq1 4937	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
15	14	eleq1d 2823	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
16	13, 15	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)))
17		0iun 4988	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
18		0mbl 24608	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ dom vol
19	17, 18	eqeltri 2835	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)
21		ssun1 4102	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
22		ssralv 3983	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol)
24	23	imim1i 63	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
25		ssun2 4103	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
26		ssralv 3983	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
28		iunxun 5019	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 = (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵)
29		vex 3426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
30		csbeq1 3831	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
31	30	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol))
32	29, 31	ralsn 4614	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
33		nfv 1918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ dom vol
34		nfcsb1v 3853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
35	34	nfel1 2922	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol
36		csbeq1a 3842	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
37	36	eleq1d 2823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol))
38	33, 35, 37	cbvralw 3363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
39		nfcv 2906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
40	39, 34, 36	cbviun 4962	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
41	29, 30	iunxsn 5016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
42	40, 41	eqtri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
43	42	eleq1i 2829	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
44	32, 38, 43	3bitr4i 302	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
45		unmbl 24606	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
46	44, 45	sylan2b 593	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
47	28, 46	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)
48	47	expcom 413	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
49	27, 48	syl 17	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
50	24, 49	sylcom 30	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
51	50	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
52	4, 8, 12, 16, 20, 51	findcard2 8909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
53	52	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ⦋csb 3828   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  {csn 4558  ∪ ciun 4921  dom cdm 5580  Fincfn 8691  volcvol 24532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-dju 9590  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xadd 12778  df-ioo 13012  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-sum 15326  df-xmet 20503  df-met 20504  df-ovol 24533  df-vol 24534

This theorem is referenced by:  volfiniun  24616  iunmbl  24622  volsup  24625  iunmbl2  24626  uniioovol  24648  uniioombllem4  24655  uniioombllem5  24656  dyadmbl  24669  i1fima  24747  i1fd  24750  i1fadd  24764  i1fmul  24765  volfiniune  32098  volsupnfl  35749  itg2addnclem2  35756  ftc1anclem6  35782