MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  finiunmbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem finiunmbl 24441
Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
finiunmbl ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
Distinct variable group:   𝐴,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem finiunmbl
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 raleq 3319 . . . 4 (𝑦 = ∅ → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
2 iuneq1 4920 . . . . 5 (𝑦 = ∅ → 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
32eleq1d 2822 . . . 4 (𝑦 = ∅ → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
41, 3imbi12d 348 . . 3 (𝑦 = ∅ → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)))
5 raleq 3319 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
6 iuneq1 4920 . . . . 5 (𝑦 = 𝑥 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘𝑥 𝐵)
76eleq1d 2822 . . . 4 (𝑦 = 𝑥 → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
85, 7imbi12d 348 . . 3 (𝑦 = 𝑥 → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol)))
9 raleq 3319 . . . 4 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
10 iuneq1 4920 . . . . 5 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵)
1110eleq1d 2822 . . . 4 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
129, 11imbi12d 348 . . 3 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
13 raleq 3319 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
14 iuneq1 4920 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 𝑘𝑦 𝐵 = 𝑘𝐴 𝐵)
1514eleq1d 2822 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ( 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
1613, 15imbi12d 348 . . 3 (𝑦 = 𝐴 → ((∀𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol)))
17 0iun 4971 . . . . 5 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
18 0mbl 24436 . . . . 5 ∅ ∈ dom vol
1917, 18eqeltri 2834 . . . 4 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol
2019a1i 11 . . 3 (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)
21 ssun1 4086 . . . . . . 7 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
22 ssralv 3967 . . . . . . 7 (𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
2321, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol)
2423imim1i 63 . . . . 5 ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
25 ssun2 4087 . . . . . . 7 {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
26 ssralv 3967 . . . . . . 7 ({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol))
2725, 26ax-mp 5 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
28 iunxun 5002 . . . . . . . 8 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 = ( 𝑘𝑥 𝐵 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵)
29 vex 3412 . . . . . . . . . . 11 𝑧 ∈ V
30 csbeq1 3814 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑧𝑥 / 𝑘𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵)
3130eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol))
3229, 31ralsn 4597 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol)
33 nfv 1922 . . . . . . . . . . 11 𝑥 𝐵 ∈ dom vol
34 nfcsb1v 3836 . . . . . . . . . . . 12 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵
3534nfel1 2920 . . . . . . . . . . 11 𝑘𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol
36 csbeq1a 3825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑥𝐵 = 𝑥 / 𝑘𝐵)
3736eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol))
3833, 35, 37cbvralw 3349 . . . . . . . . . 10 (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol)
39 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑥𝐵
4039, 34, 36cbviun 4945 . . . . . . . . . . . 12 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵
4129, 30iunxsn 4999 . . . . . . . . . . . 12 𝑥 ∈ {𝑧}𝑥 / 𝑘𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵
4240, 41eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = 𝑧 / 𝑘𝐵
4342eleq1i 2828 . . . . . . . . . 10 ( 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑧 / 𝑘𝐵 ∈ dom vol)
4432, 38, 433bitr4i 306 . . . . . . . . 9 (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
45 unmbl 24434 . . . . . . . . 9 (( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → ( 𝑘𝑥 𝐵 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
4644, 45sylan2b 597 . . . . . . . 8 (( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → ( 𝑘𝑥 𝐵 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
4728, 46eqeltrid 2842 . . . . . . 7 (( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)
4847expcom 417 . . . . . 6 (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol → ( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
4927, 48syl 17 . . . . 5 (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ( 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
5024, 49sylcom 30 . . . 4 ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
5150a1i 11 . . 3 (𝑥 ∈ Fin → ((∀𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
524, 8, 12, 16, 20, 51findcard2 8842 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
5352imp 410 1 ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  csb 3811  cun 3864  wss 3866  c0 4237  {csn 4541   ciun 4904  dom cdm 5551  Fincfn 8626  volcvol 24360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xadd 12705  df-ioo 12939  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-sum 15250  df-xmet 20356  df-met 20357  df-ovol 24361  df-vol 24362
This theorem is referenced by:  volfiniun  24444  iunmbl  24450  volsup  24453  iunmbl2  24454  uniioovol  24476  uniioombllem4  24483  uniioombllem5  24484  dyadmbl  24497  i1fima  24575  i1fd  24578  i1fadd  24592  i1fmul  24593  volfiniune  31910  volsupnfl  35559  itg2addnclem2  35566  ftc1anclem6  35592
  Copyright terms: Public domain W3C validator