Theorem finiunmbl 25778

Description: A finite union of measurable sets is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
finiunmbl	⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

Distinct variable group:   𝐴,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem finiunmbl

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		raleq 3318	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
2		iuneq1 4971	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = ∅ → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵)
3	2	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol))
4	1, 3	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)))
5		raleq 3318	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
6		iuneq1 4971	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵)
7	6	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
8	5, 7	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol)))
9		raleq 3318	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
10		iuneq1 4971	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵)
11	10	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
12	9, 11	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
13		raleq 3318	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
14		iuneq1 4971	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 = ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
15	14	eleq1d 2847	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → (∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
16	13, 15	imbi12d 347	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐴 → ((∀𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑦 𝐵 ∈ dom vol) ↔ (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)))
17		0iun 5025	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 = ∅
18		0mbl 25773	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ dom vol
19	17, 18	eqeltri 2858	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol
20	19	a1i 11	. . 3 ⊢ (∀𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ ∅ 𝐵 ∈ dom vol)
21		ssun1 4127	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
22		ssralv 4003	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
23	21, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol)
24	23	imim1i 64	. . . . 5 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol))
25		ssun2 4128	. . . . . . 7 ⊢ {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
26		ssralv 4003	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol))
27	25, 26	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
28		iunxun 5058	. . . . . . . 8 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 = (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵)
29		vex 3457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑧 ∈ V
30		csbeq1 3853	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵)
31	30	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol))
32	29, 31	ralsn 4645	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
33		nfv 1947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐵 ∈ dom vol
34		nfcsb1v 3874	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
35	34	nfel1 2940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑘⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol
36		csbeq1a 3864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → 𝐵 = ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵)
37	36	eleq1d 2847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑥 → (𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol))
38	33, 35, 37	cbvralw 3306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∀𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
39		nfcv 2924	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑥𝐵
40	39, 34, 36	cbviun 4997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵
41	29, 30	iunxsn 5055	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ {𝑧}⦋𝑥 / 𝑘⦌𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
42	40, 41	eqtri 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵
43	42	eleq1i 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ⦋𝑧 / 𝑘⦌𝐵 ∈ dom vol)
44	32, 38, 43	3bitr4i 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol ↔ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol)
45		unmbl 25771	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
46	44, 45	sylan2b 606	. . . . . . . 8 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∪ ∪ 𝑘 ∈ {𝑧}𝐵) ∈ dom vol)
47	28, 46	eqeltrid 2866	. . . . . . 7 ⊢ ((∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)
48	47	expcom 419	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑧}𝐵 ∈ dom vol → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
49	27, 48	syl 18	. . . . 5 ⊢ (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → (∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
50	24, 49	sylcom 31	. . . 4 ⊢ ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol))
51	50	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ Fin → ((∀𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝑥 𝐵 ∈ dom vol) → (∀𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})𝐵 ∈ dom vol)))
52	4, 8, 12, 16, 20, 51	findcard2 9163	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol))
53	52	imp 412	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ dom vol)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ⦋csb 3850   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  ∅c0 4282  {csn 4587  ∪ ciun 4954  dom cdm 5659  Fincfn 8956  volcvol 25697

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xadd 13168  df-ioo 13406  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-sum 15778  df-xmet 21584  df-met 21585  df-ovol 25698  df-vol 25699

This theorem is used by:  volfiniun  25781  iunmbl  25787  volsup  25790  iunmbl2  25791  uniioovol  25813  uniioombllem4  25820  uniioombllem5  25821  dyadmbl  25834  i1fima  25912  i1fd  25915  i1fadd  25929  i1fmul  25930  volfiniune  34749  volsupnfl  38422  itg2addnclem2  38429  ftc1anclem6  38455