Theorem crctcshwlkn0lem7 30406

Description: Lemma for crctcshwlkn0 30411. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
crctcshwlkn0lem.e	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem7	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑆,𝑖   𝜑,𝑖,𝑗   𝑥,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐻   𝑗,𝑁   𝑄,𝑗   𝑆,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑖, 𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑄(𝑥, 𝑖)   𝐹(𝑥, 𝑗)   𝐻(𝑥, 𝑖)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
2		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
3		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
4		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
6		crctcshwlkn0lem.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshwlkn0lem4 30403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
8		eqidd 2762	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 𝑆))
9		crctcshwlkn0lem.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	crctcshwlkn0lem6 30405	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 𝑆)) → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
11	8, 10	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
12		ovex 7454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − 𝑆) ∈ V
13		wkslem1 30189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑁 − 𝑆) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))))))
14	12, 13	ralsn 4642	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
15	11, 14	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
16		ralunb 4143	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)})if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ∧ ∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
17	7, 15, 16	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)})if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
18		elfzo1 13848	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
19		nnz 12715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20		nnz 12715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
21		zsubcl 12739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2anr 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
23	22	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
24		nnre 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
25		nnre 12343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
26		posdif 11810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑆)))
27		0re 11311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		resubcl 11623	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
29	28	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
30		ltle 11399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
31	27, 29, 30	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
32	26, 31	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
33	24, 25, 32	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
34	33	3impia 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
35		elnn0z 12707	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
36	23, 34, 35	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0)
37		elnn0uz 13007	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
38	36, 37	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
39		fzosplitsn 13912	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
40	38, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
41	18, 40	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
42	1, 41	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
43	17, 42	raleqtrrdv 3324	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
44	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshwlkn0lem5 30404	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
45		ralunb 4143	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ (∀𝑗 ∈ (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ∧ ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
46	43, 44, 45	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
47		nnsub 12383	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ))
48	47	biimp3a 1498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ)
49		nnnn0 12614	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0)
50		peano2nn0 12647	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0)
51	48, 49, 50	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0)
52		nnnn0 12614	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
53	52	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54	25	anim1i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
55	54	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
56		crctcshwlkn0lem1 30400	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
57	55, 56	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
58	57	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
59		elfz2nn0 13753	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
60	51, 53, 58, 59	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁))
61	18, 60	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁))
62		fzosplit 13828	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁) → (0..^𝑁) = ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)))
63	1, 61, 62	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)))
64	46, 63	raleqtrrdv 3324	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  if-wif 1078   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3914  ifcif 4482  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204   < clt 11344   ≤ cle 11345   − cmin 11542  ℕcn 12336  ℕ₀cn0 12607  ℤcz 12694  ℤ_≥cuz 12966  ...cfz 13640  ..^cfzo 13789  ♯chash 14475  Word cword 14659   cyclShift ccsh 14940

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-sup 9435  df-inf 9436  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011  df-hash 14476  df-word 14660  df-concat 14717  df-substr 14790  df-pfx 14822  df-csh 14941

This theorem is used by:  crctcshwlkn0  30411