Theorem crctcshwlkn0lem7 30462

Description: Lemma for crctcshwlkn0 30467. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
crctcshwlkn0lem.e	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem7	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑆,𝑖   𝜑,𝑖,𝑗   𝑥,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐻   𝑗,𝑁   𝑄,𝑗   𝑆,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑖, 𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑄(𝑥, 𝑖)   𝐹(𝑥, 𝑗)   𝐻(𝑥, 𝑖)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
2		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
3		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
4		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
6		crctcshwlkn0lem.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshwlkn0lem4 30459	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
8		eqidd 2764	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 𝑆))
9		crctcshwlkn0lem.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	crctcshwlkn0lem6 30461	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 𝑆)) → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
11	8, 10	mpdan 700	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
12		ovex 7484	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − 𝑆) ∈ V
13		wkslem1 30245	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑁 − 𝑆) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))))))
14	12, 13	ralsn 4643	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
15	11, 14	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
16		ralunb 4198	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)})if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ∧ ∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
17	7, 15, 16	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)})if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
18		elfzo1 13887	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
19		nnz 12754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20		nnz 12754	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
21		zsubcl 12778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2anr 609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
23	22	3adant3 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
24		nnre 12382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
25		nnre 12382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
26		posdif 11849	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑆)))
27		0re 11349	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		resubcl 11661	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
29	28	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
30		ltle 11437	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
31	27, 29, 30	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
32	26, 31	sylbid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
33	24, 25, 32	syl2an 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
34	33	3impia 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
35		elnn0z 12746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
36	23, 34, 35	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0)
37		elnn0uz 13046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
38	36, 37	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
39		fzosplitsn 13951	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
40	38, 39	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
41	18, 40	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
42	1, 41	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
43	17, 42	raleqtrrdv 3327	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
44	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshwlkn0lem5 30460	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
45		ralunb 4198	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ (∀𝑗 ∈ (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ∧ ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
46	43, 44, 45	sylanbrc 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
47		nnsub 12422	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ))
48	47	biimp3a 1499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ)
49		nnnn0 12653	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0)
50		peano2nn0 12686	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0)
51	48, 49, 50	3syl 19	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0)
52		nnnn0 12653	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
53	52	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54	25	anim1i 627	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
55	54	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
56		crctcshwlkn0lem1 30456	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
57	55, 56	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
58	57	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
59		elfz2nn0 13792	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
60	51, 53, 58, 59	syl3anbrc 1362	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁))
61	18, 60	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁))
62		fzosplit 13867	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁) → (0..^𝑁) = ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)))
63	1, 61, 62	3syl 19	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)))
64	46, 63	raleqtrrdv 3327	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  if-wif 1078   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  ifcif 4485  {csn 4588  {cpr 4590   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  ℤcz 12733  ℤ_≥cuz 13005  ...cfz 13679  ..^cfzo 13828  ♯chash 14515  Word cword 14699   cyclShift ccsh 14981

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-hash 14516  df-word 14700  df-concat 14757  df-substr 14831  df-pfx 14863  df-csh 14982

This theorem is used by:  crctcshwlkn0  30467