Theorem crctcshwlkn0lem7 29846

Description: Lemma for crctcshwlkn0 29851. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
crctcshwlkn0lem.e	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem7	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑆,𝑖   𝜑,𝑖,𝑗   𝑥,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐻   𝑗,𝑁   𝑄,𝑗   𝑆,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑄(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐻(𝑥,𝑖)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
2		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
3		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
4		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
6		crctcshwlkn0lem.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshwlkn0lem4 29843	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
8		eqidd 2736	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 𝑆))
9		crctcshwlkn0lem.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	crctcshwlkn0lem6 29845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 𝑆)) → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
11	8, 10	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
12		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − 𝑆) ∈ V
13		wkslem1 29640	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑁 − 𝑆) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))))))
14	12, 13	ralsn 4686	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
15	11, 14	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
16		ralunb 4207	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)})if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ∧ ∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
17	7, 15, 16	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)})if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
18		elfzo1 13749	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
19		nnz 12632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20		nnz 12632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
21		zsubcl 12657	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
23	22	3adant3 1131	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
24		nnre 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
25		nnre 12271	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
26		posdif 11754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑆)))
27		0re 11261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		resubcl 11571	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
29	28	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
30		ltle 11347	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
31	27, 29, 30	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
32	26, 31	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
33	24, 25, 32	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
34	33	3impia 1116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
35		elnn0z 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
36	23, 34, 35	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0)
37		elnn0uz 12921	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
38	36, 37	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
39		fzosplitsn 13811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
41	18, 40	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
42	1, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
43	17, 42	raleqtrrdv 3328	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
44	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshwlkn0lem5 29844	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
45		ralunb 4207	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ (∀𝑗 ∈ (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ∧ ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
46	43, 44, 45	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
47		nnsub 12308	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ))
48	47	biimp3a 1468	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ)
49		nnnn0 12531	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0)
50		peano2nn0 12564	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0)
51	48, 49, 50	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0)
52		nnnn0 12531	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
53	52	3ad2ant2 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54	25	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
55	54	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
56		crctcshwlkn0lem1 29840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
57	55, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
58	57	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
59		elfz2nn0 13655	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
60	51, 53, 58, 59	syl3anbrc 1342	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁))
61	18, 60	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁))
62		fzosplit 13729	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁) → (0..^𝑁) = ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)))
63	1, 61, 62	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)))
64	46, 63	raleqtrrdv 3328	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  if-wif 1062   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059   ∪ cun 3961   ⊆ wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631  {cpr 4633   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   cyclShift ccsh 14823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-substr 14676  df-pfx 14706  df-csh 14824

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0  29851