Theorem crctcshwlkn0lem7 28761

Description: Lemma for crctcshwlkn0 28766. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
crctcshwlkn0lem.e	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem7	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑆,𝑖   𝜑,𝑖,𝑗   𝑥,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐻   𝑗,𝑁   𝑄,𝑗   𝑆,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑄(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐻(𝑥,𝑖)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
2		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
3		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
4		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
6		crctcshwlkn0lem.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshwlkn0lem4 28758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
8		eqidd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 𝑆))
9		crctcshwlkn0lem.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	crctcshwlkn0lem6 28760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 𝑆)) → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
11	8, 10	mpdan 685	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
12		ovex 7390	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − 𝑆) ∈ V
13		wkslem1 28555	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑁 − 𝑆) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))))))
14	12, 13	ralsn 4642	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
15	11, 14	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
16		ralunb 4151	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)})if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ∧ ∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
17	7, 15, 16	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)})if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
18		elfzo1 13622	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
19		nnz 12520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20		nnz 12520	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
21		zsubcl 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2anr 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
23	22	3adant3 1132	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
24		nnre 12160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
25		nnre 12160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
26		posdif 11648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑆)))
27		0re 11157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		resubcl 11465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
29	28	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
30		ltle 11243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
31	27, 29, 30	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
32	26, 31	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
33	24, 25, 32	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
34	33	3impia 1117	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
35		elnn0z 12512	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
36	23, 34, 35	sylanbrc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0)
37		elnn0uz 12808	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
38	36, 37	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
39		fzosplitsn 13680	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
40	38, 39	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
41	18, 40	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
42	1, 41	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
43	42	raleqdv 3313	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ ∀𝑗 ∈ ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)})if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
44	17, 43	mpbird 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
45	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshwlkn0lem5 28759	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
46		ralunb 4151	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ (∀𝑗 ∈ (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ∧ ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
47	44, 45, 46	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
48		nnsub 12197	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ))
49	48	biimp3a 1469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ)
50		nnnn0 12420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0)
51		peano2nn0 12453	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0)
52	49, 50, 51	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0)
53		nnnn0 12420	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
54	53	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
55	25	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
56	55	ancoms 459	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
57		crctcshwlkn0lem1 28755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
59	58	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
60		elfz2nn0 13532	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
61	52, 54, 59, 60	syl3anbrc 1343	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁))
62	18, 61	sylbi 216	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁))
63		fzosplit 13605	. . . 4 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁) → (0..^𝑁) = ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)))
64	1, 62, 63	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)))
65	64	raleqdv 3313	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ ∀𝑗 ∈ ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
66	47, 65	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  if-wif 1061   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586  {cpr 4588   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  ..^cfzo 13567  ♯chash 14230  Word cword 14402   cyclShift ccsh 14676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-ifp 1062  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-hash 14231  df-word 14403  df-concat 14459  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-csh 14677

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0  28766