Theorem crctcshwlkn0lem7 29815

Description: Lemma for crctcshwlkn0 29820. (Contributed by AV, 12-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
crctcshwlkn0lem.q	⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
crctcshwlkn0lem.h	⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
crctcshwlkn0lem.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
crctcshwlkn0lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
crctcshwlkn0lem.p	⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
crctcshwlkn0lem.e	⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))

Assertion

Ref	Expression
crctcshwlkn0lem7	⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑁   𝑥,𝑃   𝑥,𝑆   𝜑,𝑥   𝑖,𝐹   𝑖,𝐼   𝑖,𝑁   𝑃,𝑖   𝑆,𝑖   𝜑,𝑖,𝑗   𝑥,𝑗   𝑗,𝐼   𝑗,𝐻   𝑗,𝑁   𝑄,𝑗   𝑆,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝑃(𝑗)   𝑄(𝑥,𝑖)   𝐹(𝑥,𝑗)   𝐻(𝑥,𝑖)   𝐼(𝑥)

Proof of Theorem crctcshwlkn0lem7

Step	Hyp	Ref	Expression
1		crctcshwlkn0lem.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (1..^𝑁))
2		crctcshwlkn0lem.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (𝑥 ∈ (0...𝑁) ↦ if(𝑥 ≤ (𝑁 − 𝑆), (𝑃‘(𝑥 + 𝑆)), (𝑃‘((𝑥 + 𝑆) − 𝑁))))
3		crctcshwlkn0lem.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐹 cyclShift 𝑆)
4		crctcshwlkn0lem.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
5		crctcshwlkn0lem.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Word 𝐴)
6		crctcshwlkn0lem.p	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝑖 + 1)), (𝐼‘(𝐹‘𝑖)) = {(𝑃‘𝑖)}, {(𝑃‘𝑖), (𝑃‘(𝑖 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘𝑖))))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshwlkn0lem4 29812	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
8		eqidd 2734	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 𝑆))
9		crctcshwlkn0lem.e	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑃‘𝑁) = (𝑃‘0))
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	crctcshwlkn0lem6 29814	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁 − 𝑆) = (𝑁 − 𝑆)) → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
11	8, 10	mpdan 687	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
12		ovex 7388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 − 𝑆) ∈ V
13		wkslem1 29607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = (𝑁 − 𝑆) → (if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))))))
14	12, 13	ralsn 4635	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ if-((𝑄‘(𝑁 − 𝑆)) = (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1)), (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆))) = {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆))}, {(𝑄‘(𝑁 − 𝑆)), (𝑄‘((𝑁 − 𝑆) + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘(𝑁 − 𝑆)))))
15	11, 14	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
16		ralunb 4146	. . . . 5 ⊢ (∀𝑗 ∈ ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)})if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ (∀𝑗 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑆))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ∧ ∀𝑗 ∈ {(𝑁 − 𝑆)}if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
17	7, 15, 16	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)})if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
18		elfzo1 13619	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) ↔ (𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁))
19		nnz 12500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
20		nnz 12500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℤ)
21		zsubcl 12524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑆 ∈ ℤ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
22	19, 20, 21	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
23	22	3adant3 1132	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ)
24		nnre 12143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∈ ℕ → 𝑆 ∈ ℝ)
25		nnre 12143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
26		posdif 11621	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ 0 < (𝑁 − 𝑆)))
27		0re 11125	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
28		resubcl 11436	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
29	28	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ)
30		ltle 11212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
31	27, 29, 30	sylancr 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (0 < (𝑁 − 𝑆) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
32	26, 31	sylbid 240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑆 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
33	24, 25, 32	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
34	33	3impia 1117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 0 ≤ (𝑁 − 𝑆))
35		elnn0z 12492	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℤ ∧ 0 ≤ (𝑁 − 𝑆)))
36	23, 34, 35	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0)
37		elnn0uz 12783	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
38	36, 37	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0))
39		fzosplitsn 13683	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
41	18, 40	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
42	1, 41	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) = ((0..^(𝑁 − 𝑆)) ∪ {(𝑁 − 𝑆)}))
43	17, 42	raleqtrrdv 3297	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
44	1, 2, 3, 4, 5, 6	crctcshwlkn0lem5 29813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
45		ralunb 4146	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ↔ (∀𝑗 ∈ (0..^((𝑁 − 𝑆) + 1))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))) ∧ ∀𝑗 ∈ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗)))))
46	43, 44, 45	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁))if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))
47		nnsub 12180	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑆 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ))
48	47	biimp3a 1471	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ)
49		nnnn0 12399	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ → (𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0)
50		peano2nn0 12432	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 𝑆) ∈ ℕ0 → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0)
51	48, 49, 50	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0)
52		nnnn0 12399	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
53	52	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
54	25	anim1i 615	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
55	54	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ))
56		crctcshwlkn0lem1 29809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑆 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
57	55, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
58	57	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁)
59		elfz2nn0 13525	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁) ↔ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ ((𝑁 − 𝑆) + 1) ≤ 𝑁))
60	51, 53, 58, 59	syl3anbrc 1344	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑆 < 𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁))
61	18, 60	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (1..^𝑁) → ((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁))
62		fzosplit 13599	. . 3 ⊢ (((𝑁 − 𝑆) + 1) ∈ (0...𝑁) → (0..^𝑁) = ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)))
63	1, 61, 62	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (0..^𝑁) = ((0..^((𝑁 − 𝑆) + 1)) ∪ (((𝑁 − 𝑆) + 1)..^𝑁)))
64	46, 63	raleqtrrdv 3297	1 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ (0..^𝑁)if-((𝑄‘𝑗) = (𝑄‘(𝑗 + 1)), (𝐼‘(𝐻‘𝑗)) = {(𝑄‘𝑗)}, {(𝑄‘𝑗), (𝑄‘(𝑗 + 1))} ⊆ (𝐼‘(𝐻‘𝑗))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  if-wif 1062   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048   ∪ cun 3896   ⊆ wss 3898  ifcif 4476  {csn 4577  {cpr 4579   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  ...cfz 13414  ..^cfzo 13561  ♯chash 14244  Word cword 14427   cyclShift ccsh 14702

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-hash 14245  df-word 14428  df-concat 14485  df-substr 14556  df-pfx 14586  df-csh 14703

This theorem is referenced by:  crctcshwlkn0  29820