clwwlkccatlem - Metamath Proof Explorer

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Theorem clwwlkccatlem 29714

Description: Lemma for clwwlkccat 29715: index 𝑗 is shifted up by (♯‘𝐴), and the case 𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) is covered by the "bridge" {(lastS‘𝐴), (𝐵‘0)} = {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺). (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkccatlem	⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑗 𝐵,𝑖,𝑗 𝑖,𝐺,𝑗

**Proof of Theorem clwwlkccatlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3		lencl 14481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
4	3	nn0zd 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5		fzossrbm1 13659	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
7	6	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
8	7	sselda 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
9		ccatval1 14525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
11	4	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
12		elfzom1elp1fzo 13697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
13	11, 12	sylan 579	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
14		ccatval1 14525	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑖 + 1)))
15	1, 2, 13, 14	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑖 + 1)))
16	10, 15	preq12d 4738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))})
17	16	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
18	17	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ({(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
19	18	ralimdva 3159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
20	19	impancom 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	20	3adant3 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
22	21	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
23	22	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	23	3ad2ant1 1130	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
26	25	3adant3 1129	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
27		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
28		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
29		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ≠ ∅)
30		ccatval1lsw 14532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
32	31	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
33	3	nn0cnd 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
34		npcan1 11637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
36	35	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
37	36	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)))
38		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐵 ≠ ∅)
39		ccatval21sw 14533	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))
40	27, 28, 38, 39	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))
41	37, 40	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = (𝐵‘0))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = (𝐵‘0))
43		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
44	42, 43	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = (𝐴‘0))
45	32, 44	preq12d 4738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} = {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)})
46	45	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
47	46	exbiri 808	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ({(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
48	47	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ({(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
49	48	expimpd 453	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
50	49	3ad2ant1 1130	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
51	50	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
52	51	3adant2 1128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
53	52	3imp 1108	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
54		ralunb 4184	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
55		ovex 7435	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ V
56		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)))
57		fvoveq1 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)))
58	56, 57	preq12d 4738	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))})
59	58	eleq1d 2810	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
60	55, 59	ralsn 4678	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
61	60	anbi2i 622	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
62	54, 61	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
63	26, 53, 62	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
64		0z 12567	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
65		lennncl 14482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
66		0p1e1 12332	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
67	66	fveq2i 6885	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ_≥‘(0 + 1)) = (ℤ_≥‘1)
68	67	eleq2i 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)) ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘1))
69		elnnuz 12864	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘1))
70	68, 69	bitr4i 278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)) ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
71	65, 70	sylibr 233	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
72		fzosplitsnm1 13705	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1))) → (0..^(♯‘𝐴)) = ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}))
73	64, 71, 72	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝐴)) = ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}))
74	73	raleqdv 3317	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
75	74	3ad2ant1 1130	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
76	75	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
77	63, 76	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
78		lencl 14481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
79	78	nn0zd 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
80		peano2zm 12603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
82	81	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
83	82	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
84	83	anim1ci 615	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ))
85		fzosubel3 13691	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
86		fveq2 6882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
87		fvoveq1 7425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
88	86, 87	preq12d 4738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → {(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} = {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))})
89	88	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → ({(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
90	89	rspcv 3600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
91	84, 85, 90	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
92		simp-4l 780	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
93		simprl 768	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
94	93	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
95	3	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
96	78	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
97		nn0addcl 12505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ₀)
98	97	nn0zd 12582	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
99	95, 96, 98	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
100		1nn0 12486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
101		eluzmn 12827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
102	99, 100, 101	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
103	33	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
104	78	nn0cnd 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
105	104	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
106		1cnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
107	103, 105, 106	addsubassd 11589	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))
108	107	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (ℤ_≥‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) = (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
109	102, 108	eleqtrd 2827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
110		fzoss2 13658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
111	109, 110	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
112	111	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
113	112	sselda 3975	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
114		ccatval2 14526	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
115	92, 94, 113, 114	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
116	107	oveq2d 7418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) = ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
117	116	eleq2d 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
118	117	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
119		eluzmn 12827	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)))
120	4, 100, 119	sylancl 585	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)))
121	120	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)))
122		fzoss1 13657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)) → ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ⊆ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
123	121, 122	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ⊆ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
124	123	sseld 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))))
125	118, 124	sylbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))))
126	125	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
127	4	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
128	79	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
129		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
130		zaddcl 12600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
131	129, 130	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ))
132	127, 128, 131	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ))
133	132	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ))
134		elfzoelz 13630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
135		1zzd 12591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
136	134, 135	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
137		elfzomelpfzo 13734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
138	133, 136, 137	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
139	126, 138	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
140		ccatval2 14526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))))
141	92, 94, 139, 140	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))))
142	134	zcnd 12665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ ℂ)
143	142	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ ℂ)
144		1cnd 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 1 ∈ ℂ)
145	103	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
146	143, 144, 145	addsubd 11590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴)) = ((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))
147	146	fveq2d 6886	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
148	141, 147	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
149	115, 148	preq12d 4738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))})
150	149	eleq1d 2810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
151	91, 150	sylibrd 259	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
152	151	impancom 451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
153	152	ralrimiv 3137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
154	153	exp31 419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
155	154	expcom 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
156	155	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
157	156	com24 95	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
158	157	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
159	158	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
160	159	com12 32	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
161	160	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
162	161	3imp 1108	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
163		ralunb 4184	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
164	77, 162, 163	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
165		ccatlen 14523	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
166	165	oveq1d 7417	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
167	166	ad2ant2r 744	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
168	167, 107	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))
169	168	oveq2d 7418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
170		elnn0uz 12865	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0))
171	3, 170	sylib 217	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0))
172	171	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0))
173		lennncl 14482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
174		nnm1nn0 12511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ₀)
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ₀)
176		fzoun 13667	. . . . . . . 8 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ₀) → (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
177	172, 175, 176	syl2an 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
178	169, 177	eqtrd 2764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
179	178	3ad2antr1 1185	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
180	179	3ad2antl1 1182	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
181	180	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
182	181	raleqdv 3317	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
183	164, 182	mpbird 257	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 395 ∧ w3a 1084 = wceq 1533 ∈ wcel 2098 ≠ wne 2932 ∀wral 3053 ∪ cun 3939 ⊆ wss 3941 ∅c0 4315 {csn 4621 {cpr 4623 ‘cfv 6534 (class class class)co 7402 ℂcc 11105 0cc0 11107 1c1 11108 + caddc 11110 − cmin 11442 ℕcn 12210 ℕ₀cn0 12470 ℤcz 12556 ℤ_≥cuz 12820 ..^cfzo 13625 ♯chash 14288 Word cword 14462 lastSclsw 14510 ++ cconcat 14518 Vtxcvtx 28728 Edgcedg 28779

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-rep 5276 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-cnex 11163 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-pss 3960 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-int 4942 df-iun 4990 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-tr 5257 df-id 5565 df-eprel 5571 df-po 5579 df-so 5580 df-fr 5622 df-we 5624 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-pred 6291 df-ord 6358 df-on 6359 df-lim 6360 df-suc 6361 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-om 7850 df-1st 7969 df-2nd 7970 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-1o 8462 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-fin 8940 df-card 9931 df-pnf 11248 df-mnf 11249 df-xr 11250 df-ltxr 11251 df-le 11252 df-sub 11444 df-neg 11445 df-nn 12211 df-n0 12471 df-z 12557 df-uz 12821 df-fz 13483 df-fzo 13626 df-hash 14289 df-word 14463 df-lsw 14511 df-concat 14519

This theorem is referenced by: clwwlkccat 29715

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