clwwlkccatlem - Metamath Proof Explorer

	Metamath Proof Explorer		< Previous Next > Nearby theorems
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > clwwlkccatlem		Structured version Visualization version GIF version

Theorem clwwlkccatlem 30573

Description: Lemma for clwwlkccat 30574: index 𝑗 is shifted up by (♯‘𝐴), and the case 𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) is covered by the "bridge" {(lastS‘𝐴), (𝐵‘0)} = {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺). (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)

**Assertion**
Ref	Expression
clwwlkccatlem	⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))

Distinct variable groups: 𝐴,𝑖,𝑗 𝐵,𝑖,𝑗 𝑖,𝐺,𝑗

**Proof of Theorem clwwlkccatlem**
Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplll 787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3		lencl 14671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
4	3	nn0zd 12711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5		fzossrbm1 13816	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
6	4, 5	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
7	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
8	7	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
9		ccatval1 14715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
10	1, 2, 8, 9	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴‘𝑖))
11	4	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
12		elfzom1elp1fzo 13860	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
13	11, 12	sylan 592	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
14		ccatval1 14715	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑖 + 1)))
15	1, 2, 13, 14	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑖 + 1)))
16	10, 15	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))})
17	16	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
18	17	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ({(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
19	18	ralimdva 3175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
20	19	impancom 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
21	20	3adant3 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
22	21	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
23	22	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24	23	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
25	24	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
26	25	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
27		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
28		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
29		simprr 785	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ≠ ∅)
30		ccatval1lsw 14723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
31	27, 28, 29, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
32	31	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
33	3	nn0cnd 12662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
34		npcan1 11734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
36	35	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
37	36	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)))
38		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐵 ≠ ∅)
39		ccatval21sw 14724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))
40	27, 28, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))
41	37, 40	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = (𝐵‘0))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = (𝐵‘0))
43		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
44	42, 43	eqtr4d 2799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = (𝐴‘0))
45	32, 44	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} = {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)})
46	45	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
47	46	exbiri 823	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ({(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
48	47	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ({(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
49	48	expimpd 459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
50	49	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
51	50	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
52	51	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
53	52	3imp 1128	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
54		ralunb 4143	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
55		ovex 7451	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐴) − 1) ∈ V
56		fveq2 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)))
57		fvoveq1 7441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)))
58	56, 57	preq12d 4702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))})
59	58	eleq1d 2846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
60	55, 59	ralsn 4642	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
61	60	anbi2i 635	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
62	54, 61	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
63	26, 53, 62	sylanbrc 595	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
64		0z 12697	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℤ
65		lennncl 14672	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
66		0p1e1 12456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0 + 1) = 1
67	66	fveq2i 6886	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℤ_≥‘(0 + 1)) = (ℤ_≥‘1)
68	67	eleq2i 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)) ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘1))
69		elnnuz 12998	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘1))
70	68, 69	bitr4i 281	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)) ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
71	65, 70	sylibr 237	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1)))
72		fzosplitsnm1 13868	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘(0 + 1))) → (0..^(♯‘𝐴)) = ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}))
73	64, 71, 72	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝐴)) = ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}))
74	73	raleqdv 3320	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
75	74	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
76	75	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
77	63, 76	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
78		lencl 14671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
79	78	nn0zd 12711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
80		peano2zm 12732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
81	79, 80	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
82	81	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
83	82	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
84	83	anim1ci 628	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ))
85		fzosubel3 13854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
86		fveq2 6883	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → (𝐵‘𝑗) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
87		fvoveq1 7441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
88	86, 87	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → {(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} = {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))})
89	88	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → ({(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
90	89	rspcv 3573	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
91	84, 85, 90	3syl 19	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
92		simp-4l 795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
93		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
94	93	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
95	3	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ₀)
96	78	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀)
97		nn0addcl 12634	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ₀)
98	97	nn0zd 12711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
99	95, 96, 98	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
100		1nn0 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℕ₀
101		eluzmn 12965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
102	99, 100, 101	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
103	33	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
104	78	nn0cnd 12662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
105	104	ad2antrl 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
106		1cnd 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
107	103, 105, 106	addsubassd 11682	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))
108	107	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (ℤ_≥‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) = (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
109	102, 108	eleqtrd 2863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
110		fzoss2 13815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
111	109, 110	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
112	111	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
113	112	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
114		ccatval2 14716	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
115	92, 94, 113, 114	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
116	107	oveq2d 7434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) = ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
117	116	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
118	117	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
119		eluzmn 12965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ₀) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)))
120	4, 100, 119	sylancl 598	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)))
121	120	ad3antrrr 743	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)))
122		fzoss1 13814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘((♯‘𝐴) − 1)) → ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ⊆ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
123	121, 122	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ⊆ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
124	123	sseld 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))))
125	118, 124	sylbird 263	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))))
126	125	imp 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
127	4	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
128	79	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
129		simpl 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
130		zaddcl 12729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
131	129, 130	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ))
132	127, 128, 131	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ))
133	132	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ))
134		elfzoelz 13786	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
135		1zzd 12720	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
136	134, 135	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
137		elfzomelpfzo 13900	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
138	133, 136, 137	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
139	126, 138	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
140		ccatval2 14716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))))
141	92, 94, 139, 140	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))))
142	134	zcnd 12797	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ ℂ)
143	142	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ ℂ)
144		1cnd 11295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 1 ∈ ℂ)
145	103	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
146	143, 144, 145	addsubd 11683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴)) = ((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))
147	146	fveq2d 6887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
148	141, 147	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
149	115, 148	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))})
150	149	eleq1d 2846	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
151	91, 150	sylibrd 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
152	151	impancom 457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
153	152	ralrimiv 3154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
154	153	exp31 425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
155	154	expcom 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
156	155	com23 87	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
157	156	com24 96	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
158	157	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
159	158	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
160	159	com12 33	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
161	160	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
162	161	3imp 1128	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
163		ralunb 4143	. . 3 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
164	77, 162, 163	sylanbrc 595	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
165		ccatlen 14713	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
166	165	oveq1d 7433	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
167	166	ad2ant2r 760	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
168	167, 107	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))
169	168	oveq2d 7434	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
170		elnn0uz 12999	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝐴) ∈ ℕ₀ ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0))
171	3, 170	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0))
172	171	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0))
173		lennncl 14672	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
174		nnm1nn0 12640	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ₀)
175	173, 174	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ₀)
176		fzoun 13824	. . . . . . 7 ⊢ (((♯‘𝐴) ∈ (ℤ_≥‘0) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ₀) → (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
177	172, 175, 176	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
178	169, 177	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
179	178	3ad2antr1 1207	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
180	179	3ad2antl1 1204	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
181	180	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
182	164, 181	raleqtrrdv 3324	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴‘𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵‘𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))

Colors of variables: wff setvar class

This proof depends on syntax axioms: → wi 4 ↔ wb 209 ∧ wa 401 ∧ w3a 1103 = wceq 1570 ∈ wcel 2145 ≠ wne 2956 ∀wral 3077 ∪ cun 3897 ⊆ wss 3899 ∅c0 4279 {csn 4584 {cpr 4586 ‘cfv 6537 (class class class)co 7418 ℂcc 11191 0cc0 11193 1c1 11194 + caddc 11196 − cmin 11534 ℕcn 12328 ℕ₀cn0 12599 ℤcz 12686 ℤ_≥cuz 12958 ..^cfzo 13781 ♯chash 14467 Word cword 14651 lastSclsw 14700 ++ cconcat 14708 Vtxcvtx 29567 Edgcedg 29618

This proof depends on axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1828 ax-4 1842 ax-5 1943 ax-6 2000 ax-7 2041 ax-8 2147 ax-9 2155 ax-10 2178 ax-11 2194 ax-12 2213 ax-ext 2733 ax-rep 5232 ax-sep 5249 ax-nul 5260 ax-pow 5327 ax-pr 5391 ax-un 7749 ax-cnex 11249 ax-resscn 11250 ax-1cn 11251 ax-icn 11252 ax-addcl 11253 ax-addrcl 11254 ax-mulcl 11255 ax-mulrcl 11256 ax-mulcom 11257 ax-addass 11258 ax-mulass 11259 ax-distr 11260 ax-i2m1 11261 ax-1ne0 11262 ax-1rid 11263 ax-rnegex 11264 ax-rrecex 11265 ax-cnre 11266 ax-pre-lttri 11267 ax-pre-lttrn 11268 ax-pre-ltadd 11269 ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions: df-bi 210 df-an 402 df-or 862 df-3or 1104 df-3an 1105 df-tru 1573 df-fal 1583 df-ex 1813 df-nf 1817 df-sb 2100 df-mo 2565 df-eu 2595 df-clab 2740 df-cleq 2753 df-clel 2836 df-nfc 2910 df-ne 2957 df-nel 3063 df-ral 3078 df-rex 3088 df-reu 3367 df-rab 3414 df-v 3453 df-sbc 3740 df-csb 3848 df-dif 3902 df-un 3904 df-in 3906 df-ss 3916 df-pss 3919 df-nul 4280 df-if 4483 df-pw 4559 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4868 df-int 4908 df-iun 4953 df-br 5104 df-opab 5168 df-mpt 5187 df-tr 5213 df-id 5546 df-eprel 5551 df-po 5559 df-so 5560 df-fr 5604 df-we 5606 df-xp 5657 df-rel 5658 df-cnv 5659 df-co 5660 df-dm 5661 df-rn 5662 df-res 5663 df-ima 5664 df-pred 6303 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6493 df-fun 6539 df-fn 6540 df-f 6541 df-f1 6542 df-fo 6543 df-f1o 6544 df-fv 6545 df-riota 7375 df-ov 7421 df-oprab 7422 df-mpo 7423 df-om 7876 df-1st 7999 df-2nd 8000 df-frecs 8292 df-wrecs 8323 df-recs 8372 df-rdg 8411 df-1o 8469 df-er 8710 df-en 8967 df-dom 8968 df-sdom 8969 df-fin 8970 df-card 10013 df-pnf 11338 df-mnf 11339 df-xr 11340 df-ltxr 11341 df-le 11342 df-sub 11536 df-neg 11537 df-nn 12329 df-n0 12600 df-z 12687 df-uz 12959 df-fz 13633 df-fzo 13782 df-hash 14468 df-word 14652 df-lsw 14701 df-concat 14709

This theorem is used by: clwwlkccat 30574

W3C validator