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Theorem clwwlkccatlem 27684
 Description: Lemma for clwwlkccat 27685: index 𝑗 is shifted up by (♯‘𝐴), and the case 𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) is covered by the "bridge" {(lastS‘𝐴), (𝐵‘0)} = {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺). (Contributed by AV, 23-Apr-2022.)
Assertion
Ref Expression
clwwlkccatlem ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖,𝑗   𝐵,𝑖,𝑗   𝑖,𝐺,𝑗

Proof of Theorem clwwlkccatlem
StepHypRef Expression
1 simplll 771 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
2 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
3 lencl 13873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
43nn0zd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
5 fzossrbm1 13056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝐴) ∈ ℤ → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
64, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
76ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (0..^((♯‘𝐴) − 1)) ⊆ (0..^(♯‘𝐴)))
87sselda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
9 ccatval1 13920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴𝑖))
101, 2, 8, 9syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐴𝑖))
114ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
12 elfzom1elp1fzo 13094 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
1311, 12sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴)))
14 ccatval1 13920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝐴))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑖 + 1)))
151, 2, 13, 14syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐴‘(𝑖 + 1)))
1610, 15preq12d 4676 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))})
1716eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
1817biimprd 249 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1))) → ({(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
1918ralimdva 3182 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2019impancom 452 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
21203adant3 1126 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2221com12 32 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2322adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
24233ad2ant1 1127 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
2524impcom 408 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
26253adant3 1126 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
27 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
28 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
29 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐴 ≠ ∅)
30 ccatval1lsw 13928 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
3127, 28, 29, 30syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
3231adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)) = (lastS‘𝐴))
333nn0cnd 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
34 npcan1 11054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝐴) ∈ ℂ → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
3635ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → (((♯‘𝐴) − 1) + 1) = (♯‘𝐴))
3736fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)))
38 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → 𝐵 ≠ ∅)
39 ccatval21sw 13929 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))
4027, 28, 38, 39syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(♯‘𝐴)) = (𝐵‘0))
4137, 40eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = (𝐵‘0))
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = (𝐵‘0))
43 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝐴‘0) = (𝐵‘0))
4442, 43eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)) = (𝐴‘0))
4532, 44preq12d 4676 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} = {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)})
4645eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4746exbiri 807 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ({(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
4847com23 86 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅)) → ({(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
4948expimpd 454 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
50493ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
5150com12 32 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
52513adant2 1125 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
53523imp 1105 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
54 ralunb 4171 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
55 ovex 7181 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐴) − 1) ∈ V
56 fveq2 6667 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)))
57 fvoveq1 7171 . . . . . . . . . 10 (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1)))
5856, 57preq12d 4676 . . . . . . . . 9 (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))})
5958eleq1d 2902 . . . . . . . 8 (𝑖 = ((♯‘𝐴) − 1) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6055, 59ralsn 4618 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
6160anbi2i 622 . . . . . 6 ((∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ {((♯‘𝐴) − 1)} {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6254, 61bitri 276 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {((𝐴 ++ 𝐵)‘((♯‘𝐴) − 1)), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(((♯‘𝐴) − 1) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
6326, 53, 62sylanbrc 583 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
64 0z 11981 . . . . . . . 8 0 ∈ ℤ
65 lennncl 13874 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
66 0p1e1 11748 . . . . . . . . . . . 12 (0 + 1) = 1
6766fveq2i 6670 . . . . . . . . . . 11 (ℤ‘(0 + 1)) = (ℤ‘1)
6867eleq2i 2909 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(0 + 1)) ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
69 elnnuz 12271 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘1))
7068, 69bitr4i 279 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(0 + 1)) ↔ (♯‘𝐴) ∈ ℕ)
7165, 70sylibr 235 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(0 + 1)))
72 fzosplitsnm1 13102 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘(0 + 1))) → (0..^(♯‘𝐴)) = ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}))
7364, 71, 72sylancr 587 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (0..^(♯‘𝐴)) = ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}))
7473raleqdv 3421 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
75743ad2ant1 1127 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
76753ad2ant1 1127 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^((♯‘𝐴) − 1)) ∪ {((♯‘𝐴) − 1)}){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7763, 76mpbird 258 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
78 lencl 13873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
7978nn0zd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
80 peano2zm 12014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((♯‘𝐵) ∈ ℤ → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
8179, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
8281ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
8382adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ)
8483anim1ci 615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ))
85 fzosubel3 13088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℤ) → (𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)))
86 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → (𝐵𝑗) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
87 fvoveq1 7171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → (𝐵‘(𝑗 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
8886, 87preq12d 4676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → {(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} = {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))})
8988eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = (𝑖 − (♯‘𝐴)) → ({(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9089rspcv 3622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑖 − (♯‘𝐴)) ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
9184, 85, 903syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
92 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
93 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
9493ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
953adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℕ0)
9678adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ0)
97 nn0addcl 11921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℕ0)
9897nn0zd 12074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
9995, 96, 98syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
100 1nn0 11902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℕ0
101 eluzmn 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
10299, 100, 101sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
10333ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
10478nn0cnd 11946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
105104ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (♯‘𝐵) ∈ ℂ)
106 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → 1 ∈ ℂ)
107103, 105, 106addsubassd 11006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))
108107fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (ℤ‘(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) = (ℤ‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
109102, 108eleqtrd 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
110 fzoss2 13055 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
112111adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) ⊆ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
113112sselda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
114 ccatval2 13922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
11592, 94, 113, 114syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖) = (𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))))
116107oveq2d 7164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) = ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
117116eleq2d 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
118117adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
119 eluzmn 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℕ0) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) − 1)))
1204, 100, 119sylancl 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) − 1)))
121120ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) − 1)))
122 fzoss1 13054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘((♯‘𝐴) − 1)) → ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ⊆ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
123121, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ⊆ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
124123sseld 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))))
125118, 124sylbird 261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))))
126125imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)))
1274adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
12879adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℤ)
129 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → (♯‘𝐴) ∈ ℤ)
130 zaddcl 12011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ)
131129, 130jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ (♯‘𝐵) ∈ ℤ) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ))
132127, 128, 131syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ))
133132adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ))
134 elfzoelz 13028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ ℤ)
135 1zzd 12002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 1 ∈ ℤ)
136134, 135jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → (𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ))
137 elfzomelpfzo 13131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((♯‘𝐴) ∈ ℤ ∧ ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) ∈ ℤ) ∧ (𝑖 ∈ ℤ ∧ 1 ∈ ℤ)) → (𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
138133, 136, 137syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 ∈ (((♯‘𝐴) − 1)..^(((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))))
139126, 138mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵))))
140 ccatval2 13922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (𝑖 + 1) ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))))
14192, 94, 139, 140syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))))
142134zcnd 12077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → 𝑖 ∈ ℂ)
143142adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 𝑖 ∈ ℂ)
144 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → 1 ∈ ℂ)
145103ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (♯‘𝐴) ∈ ℂ)
146143, 144, 145addsubd 11007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴)) = ((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))
147146fveq2d 6671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (𝐵‘((𝑖 + 1) − (♯‘𝐴))) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
148141, 147eqtrd 2861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1)) = (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1)))
149115, 148preq12d 4676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} = {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))})
150149eleq1d 2902 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → ({((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝐵‘(𝑖 − (♯‘𝐴))), (𝐵‘((𝑖 − (♯‘𝐴)) + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
15191, 150sylibrd 260 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ 𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
152151impancom 452 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → (𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) → {((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
153152ralrimiv 3186 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
154153exp31 420 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
155154expcom 414 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
156155com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
157156com24 95 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
158157imp 407 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
1591583adant3 1126 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
160159com12 32 . . . . 5 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
1611603ad2ant1 1127 . . . 4 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → (((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) → ((𝐴‘0) = (𝐵‘0) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
1621613imp 1105 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
163 ralunb 4171 . . 3 (∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝐴)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ∀𝑖 ∈ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
16477, 162, 163sylanbrc 583 . 2 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
165 ccatlen 13917 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → (♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) = ((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)))
166165oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺)) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
167166ad2ant2r 743 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = (((♯‘𝐴) + (♯‘𝐵)) − 1))
168167, 107eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → ((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1) = ((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))
169168oveq2d 7164 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))))
170 elnn0uz 12272 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘0))
1713, 170sylib 219 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘0))
172171adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → (♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘0))
173 lennncl 13874 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → (♯‘𝐵) ∈ ℕ)
174 nnm1nn0 11927 . . . . . . . . 9 ((♯‘𝐵) ∈ ℕ → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ0)
175173, 174syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) → ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ0)
176 fzoun 13064 . . . . . . . 8 (((♯‘𝐴) ∈ (ℤ‘0) ∧ ((♯‘𝐵) − 1) ∈ ℕ0) → (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
177172, 175, 176syl2an 595 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1))) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
178169, 177eqtrd 2861 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ (𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
1791783ad2antr1 1182 . . . . 5 (((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
1801793ad2antl1 1179 . . . 4 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺))) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
1811803adant3 1126 . . 3 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)) = ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))))
182181raleqdv 3421 . 2 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ ((0..^(♯‘𝐴)) ∪ ((♯‘𝐴)..^((♯‘𝐴) + ((♯‘𝐵) − 1)))){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
183164, 182mpbird 258 1 ((((𝐴 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐴 ≠ ∅) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝐴) − 1)){(𝐴𝑖), (𝐴‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐴), (𝐴‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((𝐵 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ 𝐵 ≠ ∅) ∧ ∀𝑗 ∈ (0..^((♯‘𝐵) − 1)){(𝐵𝑗), (𝐵‘(𝑗 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ {(lastS‘𝐵), (𝐵‘0)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (𝐴‘0) = (𝐵‘0)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝐴 ++ 𝐵)) − 1)){((𝐴 ++ 𝐵)‘𝑖), ((𝐴 ++ 𝐵)‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1081   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ≠ wne 3021  ∀wral 3143   ∪ cun 3938   ⊆ wss 3940  ∅c0 4295  {csn 4564  {cpr 4566  ‘cfv 6352  (class class class)co 7148  ℂcc 10524  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   − cmin 10859  ℕcn 11627  ℕ0cn0 11886  ℤcz 11970  ℤ≥cuz 12232  ..^cfzo 13023  ♯chash 13680  Word cword 13851  lastSclsw 13904   ++ cconcat 13912  Vtxcvtx 26698  Edgcedg 26749 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-hash 13681  df-word 13852  df-lsw 13905  df-concat 13913 This theorem is referenced by:  clwwlkccat  27685
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