Theorem mat0dimcrng 22449

Description: The algebra of matrices with dimension 0 (over an arbitrary ring!) is a commutative ring. (Contributed by AV, 10-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mat0dim.a	⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat0dimcrng	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat0dimcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8984	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		mat0dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
3	2	matring 22422	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
4	1, 3	mpan 691	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Ring)
5		mat0dimbas0 22445	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
6	2	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = 𝐴
7	6	fveq2i 6839	. . . . 5 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
8	7	eqeq1i 2742	. . . 4 ⊢ ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} ↔ (Base‘𝐴) = {∅})
9		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
10		0ex 5243	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
11		oveq1 7369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (∅(.r‘𝐴)𝑦))
12		oveq2 7370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑦(.r‘𝐴)∅))
13	11, 12	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅)))
14	13	ralbidv 3161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅)))
15	10, 14	ralsn 4626	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅))
16		oveq2 7370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (∅(.r‘𝐴)∅))
17		oveq1 7369	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
18	16, 17	eqeq12d 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅) ↔ (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅)))
19	10, 18	ralsn 4626	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅) ↔ (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
20	15, 19	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
21	9, 20	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
22		raleq 3293	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
23	22	raleqbi1dv 3306	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
25	21, 24	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝐴) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
27	8, 26	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
28	5, 27	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
29		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
31	29, 30	iscrng2 20228	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
32	4, 28, 31	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∅c0 4274  {csn 4568  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362  Fincfn 8888  Basecbs 17174  ._rcmulr 17216  Ringcrg 20209  CRingccrg 20210   Mat cmat 22386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-se 5580  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-isom 6503  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7626  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-ixp 8841  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-oi 9420  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-hash 14288  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18746  df-submnd 18747  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-mulg 19039  df-subg 19094  df-ghm 19183  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-subrg 20542  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-sra 21164  df-rgmod 21165  df-dsmm 21726  df-frlm 21741  df-mamu 22370  df-mat 22387

This theorem is referenced by: (None)