Theorem mat0dimcrng 21971

Description: The algebra of matrices with dimension 0 (over an arbitrary ring!) is a commutative ring. (Contributed by AV, 10-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mat0dim.a	⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat0dimcrng	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat0dimcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fin 9170	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		mat0dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
3	2	matring 21944	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
4	1, 3	mpan 688	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Ring)
5		mat0dimbas0 21967	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
6	2	eqcomi 2741	. . . . . 6 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = 𝐴
7	6	fveq2i 6894	. . . . 5 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
8	7	eqeq1i 2737	. . . 4 ⊢ ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} ↔ (Base‘𝐴) = {∅})
9		eqidd 2733	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
10		0ex 5307	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
11		oveq1 7415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (∅(.r‘𝐴)𝑦))
12		oveq2 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑦(.r‘𝐴)∅))
13	11, 12	eqeq12d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅)))
14	13	ralbidv 3177	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅)))
15	10, 14	ralsn 4685	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅))
16		oveq2 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (∅(.r‘𝐴)∅))
17		oveq1 7415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
18	16, 17	eqeq12d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅) ↔ (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅)))
19	10, 18	ralsn 4685	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅) ↔ (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
20	15, 19	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
21	9, 20	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
22		raleq 3322	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
23	22	raleqbi1dv 3333	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
24	23	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
25	21, 24	mpbird 256	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
26	25	ex 413	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝐴) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
27	8, 26	sylbi 216	. . 3 ⊢ ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
28	5, 27	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
29		eqid 2732	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30		eqid 2732	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
31	29, 30	iscrng2 20074	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
32	4, 28, 31	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∅c0 4322  {csn 4628  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  Fincfn 8938  Basecbs 17143  ._rcmulr 17197  Ringcrg 20055  CRingccrg 20056   Mat cmat 21906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-sra 20784  df-rgmod 20785  df-dsmm 21286  df-frlm 21301  df-mamu 21885  df-mat 21907

This theorem is referenced by: (None)