MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimcrng 21803
Description: The algebra of matrices with dimension 0 (over an arbitrary ring!) is a commutative ring. (Contributed by AV, 10-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0dimcrng (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat0dimcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0fin 9111 . . 3 ∅ ∈ Fin
2 mat0dim.a . . . 4 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
32matring 21776 . . 3 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
41, 3mpan 688 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Ring)
5 mat0dimbas0 21799 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
62eqcomi 2745 . . . . . 6 (∅ Mat 𝑅) = 𝐴
76fveq2i 6842 . . . . 5 (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
87eqeq1i 2741 . . . 4 ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} ↔ (Base‘𝐴) = {∅})
9 eqidd 2737 . . . . . . 7 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
10 0ex 5262 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
11 oveq1 7360 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (∅(.r𝐴)𝑦))
12 oveq2 7361 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = (𝑦(.r𝐴)∅))
1311, 12eqeq12d 2752 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅)))
1413ralbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅)))
1510, 14ralsn 4640 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅))
16 oveq2 7361 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (∅(.r𝐴)𝑦) = (∅(.r𝐴)∅))
17 oveq1 7360 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (𝑦(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
1816, 17eqeq12d 2752 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ((∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅)))
1910, 18ralsn 4640 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
2015, 19bitri 274 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
219, 20sylibr 233 . . . . . 6 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
22 raleq 3307 . . . . . . . 8 ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2322raleqbi1dv 3305 . . . . . . 7 ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2423adantr 481 . . . . . 6 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2521, 24mpbird 256 . . . . 5 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
2625ex 413 . . . 4 ((Base‘𝐴) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
278, 26sylbi 216 . . 3 ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
285, 27mpcom 38 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
29 eqid 2736 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30 eqid 2736 . . 3 (.r𝐴) = (.r𝐴)
3129, 30iscrng2 19969 . 2 (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
324, 28, 31sylanbrc 583 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  c0 4280  {csn 4584  cfv 6493  (class class class)co 7353  Fincfn 8879  Basecbs 17075  .rcmulr 17126  Ringcrg 19950  CRingccrg 19951   Mat cmat 21738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7613  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-supp 8089  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-1o 8408  df-er 8644  df-map 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9302  df-sup 9374  df-oi 9442  df-card 9871  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12410  df-z 12496  df-dec 12615  df-uz 12760  df-fz 13417  df-fzo 13560  df-seq 13899  df-hash 14223  df-struct 17011  df-sets 17028  df-slot 17046  df-ndx 17058  df-base 17076  df-ress 17105  df-plusg 17138  df-mulr 17139  df-sca 17141  df-vsca 17142  df-ip 17143  df-tset 17144  df-ple 17145  df-ds 17147  df-hom 17149  df-cco 17150  df-0g 17315  df-gsum 17316  df-prds 17321  df-pws 17323  df-mre 17458  df-mrc 17459  df-acs 17461  df-mgm 18489  df-sgrp 18538  df-mnd 18549  df-mhm 18593  df-submnd 18594  df-grp 18743  df-minusg 18744  df-sbg 18745  df-mulg 18864  df-subg 18916  df-ghm 18997  df-cntz 19088  df-cmn 19555  df-abl 19556  df-mgp 19888  df-ur 19905  df-ring 19952  df-cring 19953  df-subrg 20205  df-lmod 20309  df-lss 20378  df-sra 20618  df-rgmod 20619  df-dsmm 21123  df-frlm 21138  df-mamu 21717  df-mat 21739
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator