Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimcrng 21175
 Description: The algebra of matrices with dimension 0 (over an arbitrary ring!) is a commutative ring. (Contributed by AV, 10-Aug-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mat0dim.a 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
Assertion
Ref Expression
mat0dimcrng (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat0dimcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0fin 8745 . . 3 ∅ ∈ Fin
2 mat0dim.a . . . 4 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
32matring 21148 . . 3 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
41, 3mpan 689 . 2 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Ring)
5 mat0dimbas0 21171 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
62eqcomi 2767 . . . . . 6 (∅ Mat 𝑅) = 𝐴
76fveq2i 6665 . . . . 5 (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
87eqeq1i 2763 . . . 4 ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} ↔ (Base‘𝐴) = {∅})
9 eqidd 2759 . . . . . . 7 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
10 0ex 5180 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ V
11 oveq1 7162 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (∅(.r𝐴)𝑦))
12 oveq2 7163 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = ∅ → (𝑦(.r𝐴)𝑥) = (𝑦(.r𝐴)∅))
1311, 12eqeq12d 2774 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = ∅ → ((𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅)))
1413ralbidv 3126 . . . . . . . . 9 (𝑥 = ∅ → (∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅)))
1510, 14ralsn 4579 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅))
16 oveq2 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (∅(.r𝐴)𝑦) = (∅(.r𝐴)∅))
17 oveq1 7162 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = ∅ → (𝑦(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
1816, 17eqeq12d 2774 . . . . . . . . 9 (𝑦 = ∅ → ((∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅)))
1910, 18ralsn 4579 . . . . . . . 8 (∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)∅) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
2015, 19bitri 278 . . . . . . 7 (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r𝐴)∅) = (∅(.r𝐴)∅))
219, 20sylibr 237 . . . . . 6 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
22 raleq 3323 . . . . . . . 8 ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2322raleqbi1dv 3321 . . . . . . 7 ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2423adantr 484 . . . . . 6 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
2521, 24mpbird 260 . . . . 5 (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
2625ex 416 . . . 4 ((Base‘𝐴) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
278, 26sylbi 220 . . 3 ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
285, 27mpcom 38 . 2 (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥))
29 eqid 2758 . . 3 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30 eqid 2758 . . 3 (.r𝐴) = (.r𝐴)
3129, 30iscrng2 19389 . 2 (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r𝐴)𝑦) = (𝑦(.r𝐴)𝑥)))
324, 28, 31sylanbrc 586 1 (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∅c0 4227  {csn 4525  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  Fincfn 8532  Basecbs 16546  .rcmulr 16629  Ringcrg 19370  CRingccrg 19371   Mat cmat 21112 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5159  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-se 5487  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7410  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-supp 7841  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-1o 8117  df-er 8304  df-map 8423  df-ixp 8485  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-fin 8536  df-fsupp 8872  df-sup 8944  df-oi 9012  df-card 9406  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-2 11742  df-3 11743  df-4 11744  df-5 11745  df-6 11746  df-7 11747  df-8 11748  df-9 11749  df-n0 11940  df-z 12026  df-dec 12143  df-uz 12288  df-fz 12945  df-fzo 13088  df-seq 13424  df-hash 13746  df-struct 16548  df-ndx 16549  df-slot 16550  df-base 16552  df-sets 16553  df-ress 16554  df-plusg 16641  df-mulr 16642  df-sca 16644  df-vsca 16645  df-ip 16646  df-tset 16647  df-ple 16648  df-ds 16650  df-hom 16652  df-cco 16653  df-0g 16778  df-gsum 16779  df-prds 16784  df-pws 16786  df-mre 16920  df-mrc 16921  df-acs 16923  df-mgm 17923  df-sgrp 17972  df-mnd 17983  df-mhm 18027  df-submnd 18028  df-grp 18177  df-minusg 18178  df-sbg 18179  df-mulg 18297  df-subg 18348  df-ghm 18428  df-cntz 18519  df-cmn 18980  df-abl 18981  df-mgp 19313  df-ur 19325  df-ring 19372  df-cring 19373  df-subrg 19606  df-lmod 19709  df-lss 19777  df-sra 20017  df-rgmod 20018  df-dsmm 20502  df-frlm 20517  df-mamu 21091  df-mat 21113 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator