Theorem mat0dimcrng 22431

Description: The algebra of matrices with dimension 0 (over an arbitrary ring!) is a commutative ring. (Contributed by AV, 10-Aug-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mat0dim.a	⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mat0dimcrng	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)

Proof of Theorem mat0dimcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0fi 8993	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
2		mat0dim.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (∅ Mat 𝑅)
3	2	matring 22404	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
4	1, 3	mpan 691	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ Ring)
5		mat0dimbas0 22427	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
6	2	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = 𝐴
7	6	fveq2i 6847	. . . . 5 ⊢ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = (Base‘𝐴)
8	7	eqeq1i 2742	. . . 4 ⊢ ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} ↔ (Base‘𝐴) = {∅})
9		eqidd 2738	. . . . . . 7 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
10		0ex 5256	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ V
11		oveq1 7377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (∅(.r‘𝐴)𝑦))
12		oveq2 7378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) = (𝑦(.r‘𝐴)∅))
13	11, 12	eqeq12d 2753	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅)))
14	13	ralbidv 3161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = ∅ → (∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅)))
15	10, 14	ralsn 4640	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅))
16		oveq2 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (∅(.r‘𝐴)∅))
17		oveq1 7377	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = ∅ → (𝑦(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
18	16, 17	eqeq12d 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = ∅ → ((∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅) ↔ (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅)))
19	10, 18	ralsn 4640	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ {∅} (∅(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)∅) ↔ (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
20	15, 19	bitri 275	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ (∅(.r‘𝐴)∅) = (∅(.r‘𝐴)∅))
21	9, 20	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
22		raleq 3295	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
23	22	raleqbi1dv 3310	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝐴) = {∅} → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥) ↔ ∀𝑥 ∈ {∅}∀𝑦 ∈ {∅} (𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
25	21, 24	mpbird 257	. . . . 5 ⊢ (((Base‘𝐴) = {∅} ∧ 𝑅 ∈ Ring) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
26	25	ex 412	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝐴) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
27	8, 26	sylbi 217	. . 3 ⊢ ((Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅} → (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
28	5, 27	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥))
29		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
30		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝐴) = (.r‘𝐴)
31	29, 30	iscrng2 20204	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ CRing ↔ (𝐴 ∈ Ring ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐴)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐴)(𝑥(.r‘𝐴)𝑦) = (𝑦(.r‘𝐴)𝑥)))
32	4, 28, 31	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐴 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∅c0 4287  {csn 4582  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Fincfn 8897  Basecbs 17150  ._rcmulr 17192  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186   Mat cmat 22368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-ixp 8850  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-sup 9359  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-hom 17215  df-cco 17216  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-prds 17381  df-pws 17383  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mhm 18722  df-submnd 18723  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-mulg 19015  df-subg 19070  df-ghm 19159  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20093  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-subrg 20520  df-lmod 20830  df-lss 20900  df-sra 21142  df-rgmod 21143  df-dsmm 21704  df-frlm 21719  df-mamu 22352  df-mat 22369

This theorem is referenced by: (None)