MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2pthdlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2pthdlem1 29049
Description: Lemma 1 for 2pthd 29059. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2wlkd.p 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
2wlkd.n (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
Assertion
Ref Expression
2pthdlem1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑃,𝑘   𝑘,𝑉   𝑗,𝐹,𝑘   𝑃,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)   𝐴(𝑗,𝑘)   𝐵(𝑗,𝑘)   𝐶(𝑗,𝑘)   𝐽(𝑗,𝑘)   𝐾(𝑗,𝑘)   𝑉(𝑗)

Proof of Theorem 2pthdlem1
StepHypRef Expression
1 2wlkd.n . . . 4 (𝜑 → (𝐴𝐵𝐵𝐶))
2 2wlkd.p . . . . 5 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3 2wlkd.f . . . . 5 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
4 2wlkd.s . . . . 5 (𝜑 → (𝐴𝑉𝐵𝑉𝐶𝑉))
52, 3, 42wlkdlem3 29046 . . . 4 (𝜑 → ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶))
6 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘0) = 𝐴)
7 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝑃‘1) = 𝐵)
86, 7neeq12d 3001 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → ((𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐴𝐵))
98bicomd 222 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵) → (𝐴𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1093adant3 1132 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝐴𝐵 ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1110biimpcd 248 . . . . . . . 8 (𝐴𝐵 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1211adantr 481 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
1312imp 407 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))
1413a1d 25 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
15 eqid 2731 . . . . . 6 1 = 1
16 eqneqall 2950 . . . . . 6 (1 = 1 → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
1715, 16mp1i 13 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
18 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) = 𝐶)
19 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘1) = 𝐵)
2018, 19neeq12d 3001 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → ((𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1) ↔ 𝐶𝐵))
21 necom 2993 . . . . . . . . . . 11 (𝐶𝐵𝐵𝐶)
2220, 21bitr2di 287 . . . . . . . . . 10 (((𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝐵𝐶 ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
23223adant1 1130 . . . . . . . . 9 (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝐵𝐶 ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2423biimpcd 248 . . . . . . . 8 (𝐵𝐶 → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2524adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → (((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2625imp 407 . . . . . 6 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))
2726a1d 25 . . . . 5 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
2814, 17, 273jca 1128 . . . 4 (((𝐴𝐵𝐵𝐶) ∧ ((𝑃‘0) = 𝐴 ∧ (𝑃‘1) = 𝐵 ∧ (𝑃‘2) = 𝐶)) → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
291, 5, 28syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
302fveq2i 6881 . . . . . . . 8 (♯‘𝑃) = (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩)
31 s3len 14827 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩) = 3
3230, 31eqtri 2759 . . . . . . 7 (♯‘𝑃) = 3
3332oveq2i 7404 . . . . . 6 (0..^(♯‘𝑃)) = (0..^3)
34 fzo0to3tp 13700 . . . . . 6 (0..^3) = {0, 1, 2}
3533, 34eqtri 2759 . . . . 5 (0..^(♯‘𝑃)) = {0, 1, 2}
3635raleqi 3322 . . . 4 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ ∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
37 c0ex 11190 . . . . 5 0 ∈ V
38 1ex 11192 . . . . 5 1 ∈ V
39 2ex 12271 . . . . 5 2 ∈ V
40 neeq1 3002 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 0 ≠ 1))
41 fveq2 6878 . . . . . . 7 (𝑘 = 0 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘0))
4241neeq1d 2999 . . . . . 6 (𝑘 = 0 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)))
4340, 42imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 0 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1))))
44 neeq1 3002 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 1))
45 fveq2 6878 . . . . . . 7 (𝑘 = 1 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘1))
4645neeq1d 2999 . . . . . 6 (𝑘 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)))
4744, 46imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 1 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1))))
48 neeq1 3002 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → (𝑘 ≠ 1 ↔ 2 ≠ 1))
49 fveq2 6878 . . . . . . 7 (𝑘 = 2 → (𝑃𝑘) = (𝑃‘2))
5049neeq1d 2999 . . . . . 6 (𝑘 = 2 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1) ↔ (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1)))
5148, 50imbi12d 344 . . . . 5 (𝑘 = 2 → ((𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
5237, 38, 39, 43, 47, 51raltp 4702 . . . 4 (∀𝑘 ∈ {0, 1, 2} (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
5336, 52bitri 274 . . 3 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)) ↔ ((0 ≠ 1 → (𝑃‘0) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (1 ≠ 1 → (𝑃‘1) ≠ (𝑃‘1)) ∧ (2 ≠ 1 → (𝑃‘2) ≠ (𝑃‘1))))
5429, 53sylibr 233 . 2 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
553fveq2i 6881 . . . . . . . 8 (♯‘𝐹) = (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩)
56 s2len 14822 . . . . . . . 8 (♯‘⟨“𝐽𝐾”⟩) = 2
5755, 56eqtri 2759 . . . . . . 7 (♯‘𝐹) = 2
5857oveq2i 7404 . . . . . 6 (1..^(♯‘𝐹)) = (1..^2)
59 fzo12sn 13697 . . . . . 6 (1..^2) = {1}
6058, 59eqtri 2759 . . . . 5 (1..^(♯‘𝐹)) = {1}
6160raleqi 3322 . . . 4 (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑗 ∈ {1} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
62 neeq2 3003 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → (𝑘𝑗𝑘 ≠ 1))
63 fveq2 6878 . . . . . . 7 (𝑗 = 1 → (𝑃𝑗) = (𝑃‘1))
6463neeq2d 3000 . . . . . 6 (𝑗 = 1 → ((𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗) ↔ (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6562, 64imbi12d 344 . . . . 5 (𝑗 = 1 → ((𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1))))
6638, 65ralsn 4678 . . . 4 (∀𝑗 ∈ {1} (𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6761, 66bitri 274 . . 3 (∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ (𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6867ralbii 3092 . 2 (∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)) ↔ ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))(𝑘 ≠ 1 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃‘1)))
6954, 68sylibr 233 1 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (0..^(♯‘𝑃))∀𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝐹))(𝑘𝑗 → (𝑃𝑘) ≠ (𝑃𝑗)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939  wral 3060  {csn 4622  {ctp 4626  cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  1c1 11093  2c2 12249  3c3 12250  ..^cfzo 13609  chash 14272  ⟨“cs2 14774  ⟨“cs3 14775
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-1o 8448  df-er 8686  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-fin 8926  df-card 9916  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-nn 12195  df-2 12257  df-3 12258  df-n0 12455  df-z 12541  df-uz 12805  df-fz 13467  df-fzo 13610  df-hash 14273  df-word 14447  df-concat 14503  df-s1 14528  df-s2 14781  df-s3 14782
This theorem is referenced by:  2pthd  29059
  Copyright terms: Public domain W3C validator