Theorem rusgrnumwwlkl1 30320

Description: In a k-regular graph, there are k walks (as word) of length 1 starting at each vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrnumwwlkl1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrnumwwlkl1	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉

Proof of Theorem rusgrnumwwlkl1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12515	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		iswwlksn 30187	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
4		rusgrnumwwlkl1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	iswwlks 30185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7	6	anbi1i 635	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
8	3, 7	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1))))
10	9	anbi1d 642	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
11		1p1e2 12359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
12	11	eqeq2i 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) = (1 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 2)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑤) = (1 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 2))
14	13	anbi2d 641	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
15		3anass 1111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
17		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
18		hash0 14399	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘∅) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
20		2ne0 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
21	20	nesymi 3015	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 0 = 2
22		eqeq1 2767	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ 0 = 2))
23	21, 22	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → ¬ (♯‘𝑤) = 2)
24	19, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ∅ → ¬ (♯‘𝑤) = 2)
25	24	necon2ai 2987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → 𝑤 ≠ ∅)
26	25	adantl 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → 𝑤 ≠ ∅)
27	26	biantrurd 541	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
28		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → ((♯‘𝑤) − 1) = (2 − 1))
29		2m1e1 12360	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → ((♯‘𝑤) − 1) = 1)
31	30	oveq2d 7426	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^1))
32	31	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^1))
33	32	raleqdv 3323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
34		fzo01 13772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^1) = {0}
35	34	raleqi 3321	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ {0} {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
36		c0ex 11195	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ V
37		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘𝑖) = (𝑤‘0))
38		fv0p1e1 12357	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘1))
39	37, 38	preq12d 4707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 0 → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘1)})
40	39	eleq1d 2848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 0 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
41	36, 40	ralsn 4647	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ {0} {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
42	35, 41	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
43	33, 42	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
44	43	anbi2d 641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
45	16, 27, 44	3bitr2d 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
46	45	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑤) = 2 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
47	46	pm5.32rd 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
48	14, 47	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
49	48	anbi1d 642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
50		anass 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
51	49, 50	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))))
52		anass 473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))))
53		ancom 465	. . . . . . . . 9 ⊢ (({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
54		df-3an 1105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
55	53, 54	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ (({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
56	55	anbi2i 634	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
57	52, 56	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
58	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
59	10, 51, 58	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
60	59	rabbidva2 3418	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → {𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))})
61	60	fveq2d 6885	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}))
62	4	rusgrnumwrdl2 29936	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)
63	61, 62	eqtrd 2798	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∀wral 3079  {crab 3416  ∅c0 4286  {csn 4589  {cpr 4591   class class class wbr 5109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   − cmin 11436  2c2 12290  ℕ₀cn0 12499  ..^cfzo 13678  ♯chash 14362  Word cword 14546  Vtxcvtx 29346  Edgcedg 29397   RegUSGraph crusgr 29906  WWalkscwwlks 30174   WWalksN cwwlksn 30175

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-uz 12858  df-xadd 13133  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-hash 14363  df-word 14547  df-edg 29398  df-uhgr 29408  df-ushgr 29409  df-upgr 29432  df-umgr 29433  df-uspgr 29500  df-usgr 29501  df-nbgr 29683  df-vtxdg 29816  df-rgr 29907  df-rusgr 29908  df-wwlks 30179  df-wwlksn 30180

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlkb1  30324