MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgrnumwwlkl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgrnumwwlkl1 29902
Description: In a k-regular graph, there are k walks (as word) of length 1 starting at each vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rusgrnumwwlkl1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
rusgrnumwwlkl1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉

Proof of Theorem rusgrnumwwlkl1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 12540 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
2 iswwlksn 29772 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1))))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
4 rusgrnumwwlkl1.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
64, 5iswwlks 29770 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
76anbi1i 622 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
83, 7bitri 274 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1))))
109anbi1d 629 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
11 1p1e2 12389 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
1211eqeq2i 2739 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑤) = (1 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 2)
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((♯‘𝑤) = (1 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 2))
1413anbi2d 628 . . . . . . . 8 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
15 3anass 1092 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
17 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
18 hash0 14384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (♯‘∅) = 0
1917, 18eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
20 2ne0 12368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
2120nesymi 2988 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 0 = 2
22 eqeq1 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑤) = 0 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ 0 = 2))
2321, 22mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑤) = 0 → ¬ (♯‘𝑤) = 2)
2419, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = ∅ → ¬ (♯‘𝑤) = 2)
2524necon2ai 2960 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑤) = 2 → 𝑤 ≠ ∅)
2625adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → 𝑤 ≠ ∅)
2726biantrurd 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
28 oveq1 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑤) = 2 → ((♯‘𝑤) − 1) = (2 − 1))
29 2m1e1 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
3028, 29eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑤) = 2 → ((♯‘𝑤) − 1) = 1)
3130oveq2d 7440 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑤) = 2 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^1))
3231adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^1))
3332raleqdv 3315 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
34 fzo01 13768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^1) = {0}
3534raleqi 3313 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ {0} {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
36 c0ex 11258 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
37 fveq2 6901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 → (𝑤𝑖) = (𝑤‘0))
38 fv0p1e1 12387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘1))
3937, 38preq12d 4750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘1)})
4039eleq1d 2811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4136, 40ralsn 4690 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ {0} {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
4235, 41bitri 274 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
4333, 42bitrdi 286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4443anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
4516, 27, 443bitr2d 306 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
4645ex 411 . . . . . . . . 9 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((♯‘𝑤) = 2 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
4746pm5.32rd 576 . . . . . . . 8 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
4814, 47bitrd 278 . . . . . . 7 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
4948anbi1d 629 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
50 anass 467 . . . . . 6 ((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
5149, 50bitrdi 286 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))))
52 anass 467 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))))
53 ancom 459 . . . . . . . . 9 (({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
54 df-3an 1086 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
5553, 54bitr4i 277 . . . . . . . 8 (({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
5655anbi2i 621 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
5752, 56bitri 274 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
5857a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
5910, 51, 583bitrd 304 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
6059rabbidva2 3421 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → {𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))})
6160fveq2d 6905 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}))
624rusgrnumwrdl2 29523 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)
6361, 62eqtrd 2766 1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  {crab 3419  c0 4325  {csn 4633  {cpr 4635   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161  cmin 11494  2c2 12319  0cn0 12524  ..^cfzo 13681  chash 14347  Word cword 14522  Vtxcvtx 28932  Edgcedg 28983   RegUSGraph crusgr 29493  WWalkscwwlks 29759   WWalksN cwwlksn 29760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-er 8734  df-map 8857  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9944  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-uz 12875  df-xadd 13147  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-hash 14348  df-word 14523  df-edg 28984  df-uhgr 28994  df-ushgr 28995  df-upgr 29018  df-umgr 29019  df-uspgr 29086  df-usgr 29087  df-nbgr 29269  df-vtxdg 29403  df-rgr 29494  df-rusgr 29495  df-wwlks 29764  df-wwlksn 29765
This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlkb1  29906
  Copyright terms: Public domain W3C validator