MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rusgrnumwwlkl1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rusgrnumwwlkl1 27663
Description: In a k-regular graph, there are k walks (as word) of length 1 starting at each vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
rusgrnumwwlkl1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
rusgrnumwwlkl1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)
Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉

Proof of Theorem rusgrnumwwlkl1
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 11905 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℕ0
2 iswwlksn 27532 . . . . . . . . 9 (1 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1))))
31, 2ax-mp 5 . . . . . . . 8 (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
4 rusgrnumwwlkl1.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5 eqid 2825 . . . . . . . . . 10 (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
64, 5iswwlks 27530 . . . . . . . . 9 (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
76anbi1i 623 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
83, 7bitri 276 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
98a1i 11 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1))))
109anbi1d 629 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
11 1p1e2 11754 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
1211eqeq2i 2838 . . . . . . . . . 10 ((♯‘𝑤) = (1 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 2)
1312a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((♯‘𝑤) = (1 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 2))
1413anbi2d 628 . . . . . . . 8 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
15 3anass 1089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
1615a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
17 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
18 hash0 13721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (♯‘∅) = 0
1917, 18syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
20 2ne0 11733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ≠ 0
2120nesymi 3077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ¬ 0 = 2
22 eqeq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑤) = 0 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ 0 = 2))
2321, 22mtbiri 328 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑤) = 0 → ¬ (♯‘𝑤) = 2)
2419, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = ∅ → ¬ (♯‘𝑤) = 2)
2524necon2ai 3049 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑤) = 2 → 𝑤 ≠ ∅)
2625adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → 𝑤 ≠ ∅)
2726biantrurd 533 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
28 oveq1 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑤) = 2 → ((♯‘𝑤) − 1) = (2 − 1))
29 2m1e1 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 − 1) = 1
3028, 29syl6eq 2876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑤) = 2 → ((♯‘𝑤) − 1) = 1)
3130oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑤) = 2 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^1))
3231adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^1))
3332raleqdv 3420 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
34 fzo01 13112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0..^1) = {0}
3534raleqi 3418 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ {0} {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
36 c0ex 10627 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ V
37 fveq2 6666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 → (𝑤𝑖) = (𝑤‘0))
38 fv0p1e1 11752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 = 0 → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘1))
3937, 38preq12d 4675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 = 0 → {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘1)})
4039eleq1d 2901 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 = 0 → ({(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4136, 40ralsn 4617 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑖 ∈ {0} {(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
4235, 41bitri 276 . . . . . . . . . . . . 13 (∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
4333, 42syl6bb 288 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
4443anbi2d 628 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
4516, 27, 443bitr2d 308 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
4645ex 413 . . . . . . . . 9 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((♯‘𝑤) = 2 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
4746pm5.32rd 578 . . . . . . . 8 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
4814, 47bitrd 280 . . . . . . 7 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
4948anbi1d 629 . . . . . 6 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
50 anass 469 . . . . . 6 ((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
5149, 50syl6bb 288 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))))
52 anass 469 . . . . . . 7 (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))))
53 ancom 461 . . . . . . . . 9 (({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
54 df-3an 1083 . . . . . . . . 9 (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
5553, 54bitr4i 279 . . . . . . . 8 (({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
5655anbi2i 622 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
5752, 56bitri 276 . . . . . 6 (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
5857a1i 11 . . . . 5 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
5910, 51, 583bitrd 306 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → ((𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
6059rabbidva2 3481 . . 3 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → {𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))})
6160fveq2d 6670 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}))
624rusgrnumwrdl2 27284 . 2 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)
6361, 62eqtrd 2860 1 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑃𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  {crab 3146  c0 4294  {csn 4563  {cpr 4565   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532  cmin 10862  2c2 11684  0cn0 11889  ..^cfzo 13026  chash 13683  Word cword 13854  Vtxcvtx 26697  Edgcedg 26748   RegUSGraph crusgr 27254  WWalkscwwlks 27519   WWalksN cwwlksn 27520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-uz 12236  df-xadd 12501  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-hash 13684  df-word 13855  df-edg 26749  df-uhgr 26759  df-ushgr 26760  df-upgr 26783  df-umgr 26784  df-uspgr 26851  df-usgr 26852  df-nbgr 27031  df-vtxdg 27164  df-rgr 27255  df-rusgr 27256  df-wwlks 27524  df-wwlksn 27525
This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlkb1  27667
  Copyright terms: Public domain W3C validator