Theorem rusgrnumwwlkl1 28534

Description: In a k-regular graph, there are k walks (as word) of length 1 starting at each vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrnumwwlkl1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrnumwwlkl1	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉

Proof of Theorem rusgrnumwwlkl1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		iswwlksn 28404	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
4		rusgrnumwwlkl1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	iswwlks 28402	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7	6	anbi1i 624	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
8	3, 7	bitri 274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1))))
10	9	anbi1d 630	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
11		1p1e2 12191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
12	11	eqeq2i 2749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) = (1 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 2)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑤) = (1 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 2))
14	13	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
15		3anass 1094	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
17		fveq2 6819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
18		hash0 14174	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘∅) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
20		2ne0 12170	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
21	20	nesymi 2998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 0 = 2
22		eqeq1 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ 0 = 2))
23	21, 22	mtbiri 326	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → ¬ (♯‘𝑤) = 2)
24	19, 23	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ∅ → ¬ (♯‘𝑤) = 2)
25	24	necon2ai 2970	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → 𝑤 ≠ ∅)
26	25	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → 𝑤 ≠ ∅)
27	26	biantrurd 533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
28		oveq1 7336	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → ((♯‘𝑤) − 1) = (2 − 1))
29		2m1e1 12192	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2792	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → ((♯‘𝑤) − 1) = 1)
31	30	oveq2d 7345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^1))
32	31	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^1))
33	32	raleqdv 3309	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
34		fzo01 13562	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^1) = {0}
35	34	raleqi 3307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ {0} {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
36		c0ex 11062	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ V
37		fveq2 6819	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘𝑖) = (𝑤‘0))
38		fv0p1e1 12189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘1))
39	37, 38	preq12d 4688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 0 → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘1)})
40	39	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 0 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
41	36, 40	ralsn 4628	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ {0} {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
42	35, 41	bitri 274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
43	33, 42	bitrdi 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
44	43	anbi2d 629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
45	16, 27, 44	3bitr2d 306	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
46	45	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑤) = 2 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
47	46	pm5.32rd 578	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
48	14, 47	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
49	48	anbi1d 630	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
50		anass 469	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
51	49, 50	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))))
52		anass 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))))
53		ancom 461	. . . . . . . . 9 ⊢ (({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
54		df-3an 1088	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
55	53, 54	bitr4i 277	. . . . . . . 8 ⊢ (({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
56	55	anbi2i 623	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
57	52, 56	bitri 274	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
58	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
59	10, 51, 58	3bitrd 304	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
60	59	rabbidva2 3405	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → {𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))})
61	60	fveq2d 6823	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}))
62	4	rusgrnumwrdl2 28155	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)
63	61, 62	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3403  ∅c0 4268  {csn 4572  {cpr 4574   class class class wbr 5089  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  0cc0 10964  1c1 10965   + caddc 10967   − cmin 11298  2c2 12121  ℕ₀cn0 12326  ..^cfzo 13475  ♯chash 14137  Word cword 14309  Vtxcvtx 27568  Edgcedg 27619   RegUSGraph crusgr 28125  WWalkscwwlks 28391   WWalksN cwwlksn 28392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-2o 8360  df-oadd 8363  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-dju 9750  df-card 9788  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-n0 12327  df-xnn0 12399  df-z 12413  df-uz 12676  df-xadd 12942  df-fz 13333  df-fzo 13476  df-hash 14138  df-word 14310  df-edg 27620  df-uhgr 27630  df-ushgr 27631  df-upgr 27654  df-umgr 27655  df-uspgr 27722  df-usgr 27723  df-nbgr 27902  df-vtxdg 28035  df-rgr 28126  df-rusgr 28127  df-wwlks 28396  df-wwlksn 28397

This theorem is referenced by:  rusgrnumwwlkb1  28538