Theorem rusgrnumwwlkl1 30440

Description: In a k-regular graph, there are k walks (as word) of length 1 starting at each vertex. (Contributed by Alexander van der Vekens, 28-Jul-2018.) (Revised by AV, 7-May-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
rusgrnumwwlkl1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
rusgrnumwwlkl1	⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)

Distinct variable groups:   𝑤,𝐺   𝑤,𝐾   𝑤,𝑃   𝑤,𝑉

Proof of Theorem rusgrnumwwlkl1

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12545	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		iswwlksn 30307	. . . . . . . . 9 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1))))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
4		rusgrnumwwlkl1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
5		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Edg‘𝐺) = (Edg‘𝐺)
6	4, 5	iswwlks 30305	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
7	6	anbi1i 636	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑤 ∈ (WWalks‘𝐺) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
8	3, 7	bitri 278	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)))
9	8	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1))))
10	9	anbi1d 643	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
11		1p1e2 12389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 + 1) = 2
12	11	eqeq2i 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑤) = (1 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 2)
13	12	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑤) = (1 + 1) ↔ (♯‘𝑤) = 2))
14	13	anbi2d 642	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
15		3anass 1111	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))))
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
17		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = (♯‘∅))
18		hash0 14432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (♯‘∅) = 0
19	17, 18	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑤 = ∅ → (♯‘𝑤) = 0)
20		2ne0 12372	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ≠ 0
21	20	nesymi 3012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ¬ 0 = 2
22		eqeq1 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → ((♯‘𝑤) = 2 ↔ 0 = 2))
23	21, 22	mtbiri 330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = 0 → ¬ (♯‘𝑤) = 2)
24	19, 23	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = ∅ → ¬ (♯‘𝑤) = 2)
25	24	necon2ai 2984	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → 𝑤 ≠ ∅)
26	25	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → 𝑤 ≠ ∅)
27	26	biantrurd 542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ≠ ∅ ∧ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))))
28		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → ((♯‘𝑤) − 1) = (2 − 1))
29		2m1e1 12390	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (2 − 1) = 1
30	28, 29	eqtrdi 2811	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → ((♯‘𝑤) − 1) = 1)
31	30	oveq2d 7430	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((♯‘𝑤) = 2 → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^1))
32	31	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (0..^((♯‘𝑤) − 1)) = (0..^1))
33	32	raleqdv 3319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)))
34		fzo01 13804	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (0..^1) = {0}
35	34	raleqi 3317	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ ∀𝑖 ∈ {0} {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺))
36		c0ex 11225	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ V
37		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘𝑖) = (𝑤‘0))
38		fv0p1e1 12387	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑤‘(𝑖 + 1)) = (𝑤‘1))
39	37, 38	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 0 → {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} = {(𝑤‘0), (𝑤‘1)})
40	39	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑖 = 0 → ({(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
41	36, 40	ralsn 4642	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (∀𝑖 ∈ {0} {(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
42	35, 41	bitri 278	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ (0..^1){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))
43	33, 42	bitrdi 290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → (∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺) ↔ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
44	43	anbi2d 642	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
45	16, 27, 44	3bitr2d 310	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) ∧ (♯‘𝑤) = 2) → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
46	45	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((♯‘𝑤) = 2 → ((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
47	46	pm5.32rd 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
48	14, 47	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2)))
49	48	anbi1d 643	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
50		anass 474	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = 2) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)))
51	49, 50	bitrdi 290	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((((𝑤 ≠ ∅ ∧ 𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘𝑤) − 1)){(𝑤‘𝑖), (𝑤‘(𝑖 + 1))} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ (♯‘𝑤) = (1 + 1)) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))))
52		anass 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))))
53		ancom 466	. . . . . . . . 9 ⊢ (({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
54		df-3an 1105	. . . . . . . . 9 ⊢ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ↔ (((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
55	53, 54	bitr4i 281	. . . . . . . 8 ⊢ (({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))
56	55	anbi2i 635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ({(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃))) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
57	52, 56	bitri 278	. . . . . 6 ⊢ (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))))
58	57	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)) ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
59	10, 51, 58	3bitrd 308	. . . 4 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → ((𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑤‘0) = 𝑃) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺)))))
60	59	rabbidva2 3414	. . 3 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → {𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃} = {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))})
61	60	fveq2d 6883	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}))
62	4	rusgrnumwrdl2 30047	. 2 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ ((♯‘𝑤) = 2 ∧ (𝑤‘0) = 𝑃 ∧ {(𝑤‘0), (𝑤‘1)} ∈ (Edg‘𝐺))}) = 𝐾)
63	61, 62	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐺 RegUSGraph 𝐾 ∧ 𝑃 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑤 ∈ (1 WWalksN 𝐺) ∣ (𝑤‘0) = 𝑃}) = 𝐾)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  {crab 3412  ∅c0 4279  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11125  1c1 11126   + caddc 11128   − cmin 11466  2c2 12320  ℕ₀cn0 12529  ..^cfzo 13710  ♯chash 14395  Word cword 14579  Vtxcvtx 29454  Edgcedg 29505   RegUSGraph crusgr 30017  WWalkscwwlks 30294   WWalksN cwwlksn 30295

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-oadd 8460  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-dju 9907  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-n0 12530  df-xnn0 12603  df-z 12617  df-uz 12889  df-xadd 13165  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-hash 14396  df-word 14580  df-edg 29506  df-uhgr 29516  df-ushgr 29517  df-upgr 29540  df-umgr 29541  df-uspgr 29611  df-usgr 29612  df-nbgr 29794  df-vtxdg 29927  df-rgr 30018  df-rusgr 30019  df-wwlks 30299  df-wwlksn 30300

This theorem is used by:  rusgrnumwwlkb1  30444