Theorem rpnnen2lem11 15961

Description: Lemma for rpnnen2 15963. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4	⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
rpnnen2.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
rpnnen2.6	⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem11	⊢ (𝜑 → ¬ 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
2		rpnnen2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		rpnnen2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
4		eldifi 4064	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐴)
5		ssel2 3918	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
7	2, 3, 6	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ)
8		rpnnen2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
9	8	rpnnen2lem6 15956	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
10	1, 7, 9	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
11		3nn 12080	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		nnrecre 12043	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℝ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
14	7	nnnn0d 12321	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ0)
15		reexpcl 13827	. . . . 5 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
16	13, 14, 15	sylancr 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
17	8	rpnnen2lem6 15956	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
18	2, 7, 17	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
19		nnrp 12769	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
20		rpreccl 12784	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ+ → (1 / 3) ∈ ℝ+)
21	11, 19, 20	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ+
22	7	nnzd 12453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℤ)
23		rpexpcl 13829	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
24	21, 22, 23	sylancr 586	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 12800	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
26	25	rehalfcld 12248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℝ)
27	3	snssd 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
28	2	ssdifd 4078	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
29	27, 28	sstrd 3933	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
30	7	snssd 4745	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ ℕ)
31		ssconb 4075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ {𝑚} ⊆ ℕ) → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
32	1, 30, 31	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
33	29, 32	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}))
34		difssd 4070	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ)
35	8	rpnnen2lem7 15957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ∧ (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
36	33, 34, 7, 35	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
37	8	rpnnen2lem9 15959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
38	7, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
39	13	recni 11017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
40		expp1 13817	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
41	39, 14, 40	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
42	25	recnd 11031	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
43		3cn 12082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
44		3ne0 12107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
45		divrec 11677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
46	43, 44, 45	mp3an23 1451	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
48	41, 47	eqtr4d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 3))
49	48	oveq1d 7310	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))))
50		ax-1cn 10957	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
51	43, 44	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
52		divsubdir 11697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
53	43, 50, 51, 52	mp3an 1459	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
54		3m1e2 12129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 − 1) = 2
55	54	oveq1i 7305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
56	43, 44	dividi 11736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / 3) = 1
57	56	oveq1i 7305	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
58	53, 55, 57	3eqtr3ri 2770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
59	58	oveq2i 7306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3))
60		2cnne0 12211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61		divcan7 11712	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
62	60, 51, 61	mp3an23 1451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
63	42, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
64	59, 63	eqtrid 2785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
65	49, 64	eqtrd 2773	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
66	65	oveq2d 7311	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))) = (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)))
67	26	recnd 11031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℂ)
68	67	addid2d 11204	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
69	38, 66, 68	3eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
70	36, 69	breqtrd 5103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
71		rphalflt 12787	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+ → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
72	24, 71	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
73	10, 26, 25, 70, 72	lelttrd 11161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) < ((1 / 3)↑𝑚))
74		eluznn 12686	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
75	7, 74	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
76	8	rpnnen2lem1 15951	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑚} ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
77	30, 75, 76	syl2an2r 681	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
78	77	sumeq2dv 15443	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
79		uzid 12625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
80	22, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
81	80	snssd 4745	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℤ≥‘𝑚))
82		vex 3438	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑚 ∈ V
83		oveq2 7303	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
84	83	eleq1d 2818	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ))
85	82, 84	ralsn 4620	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
86	42, 85	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ)
87		ssidd 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚))
88	87	orcd 869	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∨ (ℤ≥‘𝑚) ∈ Fin))
89		sumss2 15466	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝑚} ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∨ (ℤ≥‘𝑚) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
90	81, 86, 88, 89	syl21anc 834	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
91	83	sumsn 15486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
92	7, 42, 91	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
93	78, 90, 92	3eqtr2d 2779	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
94	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ 𝐴)
95	94	snssd 4745	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
96	8	rpnnen2lem7 15957	. . . . . 6 ⊢ (({𝑚} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
97	95, 2, 7, 96	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
98	93, 97	eqbrtrrd 5101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
99	10, 16, 18, 73, 98	ltletrd 11163	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) < Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
100	10, 99	gtned 11138	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
101		rpnnen2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
102		rpnnen2.6	. . . . 5 ⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
103	8, 2, 1, 3, 101, 102	rpnnen2lem10 15960	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
104	103	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
105	104	necon3ad 2951	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) → ¬ 𝜓))
106	100, 105	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ≠ wne 2938  ∀wral 3059   ∖ cdif 3886   ⊆ wss 3889  ifcif 4462  𝒫 cpw 4536  {csn 4564   class class class wbr 5077   ↦ cmpt 5160  ‘cfv 6447  (class class class)co 7295  Fincfn 8753  ℂcc 10897  ℝcr 10898  0cc0 10899  1c1 10900   + caddc 10902   · cmul 10904   < clt 11037   ≤ cle 11038   − cmin 11233   / cdiv 11660  ℕcn 12001  2c2 12056  3c3 12057  ℕ₀cn0 12261  ℤcz 12347  ℤ_≥cuz 12610  ℝ⁺crp 12758  ↑cexp 13810  Σcsu 15425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-inf2 9427  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-er 8518  df-pm 8638  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-sup 9229  df-inf 9230  df-oi 9297  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-n0 12262  df-z 12348  df-uz 12611  df-rp 12759  df-ico 13113  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-fl 13540  df-seq 13750  df-exp 13811  df-hash 14073  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-limsup 15208  df-clim 15225  df-rlim 15226  df-sum 15426

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem12  15962