Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem11 15625
 Description: Lemma for rpnnen2 15627. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
rpnnen2.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
rpnnen2.6 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem11 (𝜑 → ¬ 𝜓)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem11
StepHypRef Expression
1 rpnnen2.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
2 rpnnen2.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
3 rpnnen2.4 . . . . 5 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
4 eldifi 4032 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑚𝐴)
5 ssel2 3887 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
64, 5sylan2 595 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
72, 3, 6syl2anc 587 . . . 4 (𝜑𝑚 ∈ ℕ)
8 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
98rpnnen2lem6 15620 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
101, 7, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
11 3nn 11753 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
12 nnrecre 11716 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℝ)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℝ
147nnnn0d 11994 . . . . 5 (𝜑𝑚 ∈ ℕ0)
15 reexpcl 13496 . . . . 5 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancr 590 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
178rpnnen2lem6 15620 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
182, 7, 17syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
19 nnrp 12441 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
20 rpreccl 12456 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℝ+ → (1 / 3) ∈ ℝ+)
2111, 19, 20mp2b 10 . . . . . . . 8 (1 / 3) ∈ ℝ+
227nnzd 12125 . . . . . . . 8 (𝜑𝑚 ∈ ℤ)
23 rpexpcl 13498 . . . . . . . 8 (((1 / 3) ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
2421, 22, 23sylancr 590 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
2524rpred 12472 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
2625rehalfcld 11921 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℝ)
273snssd 4699 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (𝐴𝐵))
282ssdifd 4046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
2927, 28sstrd 3902 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
307snssd 4699 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑚} ⊆ ℕ)
31 ssconb 4043 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ {𝑚} ⊆ ℕ) → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
321, 30, 31syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
3329, 32mpbird 260 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}))
34 difssd 4038 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ)
358rpnnen2lem7 15621 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ∧ (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
3633, 34, 7, 35syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
378rpnnen2lem9 15623 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
387, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
3913recni 10693 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
40 expp1 13486 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4139, 14, 40sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4225recnd 10707 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
43 3cn 11755 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
44 3ne0 11780 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
45 divrec 11352 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4643, 44, 45mp3an23 1450 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4742, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4841, 47eqtr4d 2796 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 3))
4948oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))))
50 ax-1cn 10633 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5143, 44pm3.2i 474 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
52 divsubdir 11372 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
5343, 50, 51, 52mp3an 1458 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
54 3m1e2 11802 . . . . . . . . . . . . 13 (3 − 1) = 2
5554oveq1i 7160 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
5643, 44dividi 11411 . . . . . . . . . . . . 13 (3 / 3) = 1
5756oveq1i 7160 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
5853, 55, 573eqtr3ri 2790 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
5958oveq2i 7161 . . . . . . . . . 10 ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3))
60 2cnne0 11884 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61 divcan7 11387 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6260, 51, 61mp3an23 1450 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6342, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6459, 63syl5eq 2805 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6549, 64eqtrd 2793 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6665oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))) = (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)))
6726recnd 10707 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℂ)
6867addid2d 10879 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6938, 66, 683eqtrd 2797 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
7036, 69breqtrd 5058 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
71 rphalflt 12459 . . . . . 6 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+ → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
7224, 71syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
7310, 26, 25, 70, 72lelttrd 10836 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) < ((1 / 3)↑𝑚))
74 eluznn 12358 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
757, 74sylan 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
768rpnnen2lem1 15615 . . . . . . . 8 (({𝑚} ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7730, 75, 76syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7877sumeq2dv 15108 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
79 uzid 12297 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
8022, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
8180snssd 4699 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℤ𝑚))
82 vex 3413 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ V
83 oveq2 7158 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
8483eleq1d 2836 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ))
8582, 84ralsn 4576 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
8642, 85sylibr 237 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ)
87 ssidd 3915 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚))
8887orcd 870 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚) ∨ (ℤ𝑚) ∈ Fin))
89 sumss2 15131 . . . . . . 7 ((({𝑚} ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚) ∨ (ℤ𝑚) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
9081, 86, 88, 89syl21anc 836 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
9183sumsn 15149 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
927, 42, 91syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
9378, 90, 923eqtr2d 2799 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
943, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑚𝐴)
9594snssd 4699 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
968rpnnen2lem7 15621 . . . . . 6 (({𝑚} ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
9795, 2, 7, 96syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
9893, 97eqbrtrrd 5056 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
9910, 16, 18, 73, 98ltletrd 10838 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) < Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
10010, 99gtned 10813 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
101 rpnnen2.5 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
102 rpnnen2.6 . . . . 5 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
1038, 2, 1, 3, 101, 102rpnnen2lem10 15624 . . . 4 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
104103ex 416 . . 3 (𝜑 → (𝜓 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
105104necon3ad 2964 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) → ¬ 𝜓))
106100, 105mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝜓)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ∀wral 3070   ∖ cdif 3855   ⊆ wss 3858  ifcif 4420  𝒫 cpw 4494  {csn 4522   class class class wbr 5032   ↦ cmpt 5112  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  Fincfn 8527  ℂcc 10573  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   + caddc 10578   · cmul 10580   < clt 10713   ≤ cle 10714   − cmin 10908   / cdiv 11335  ℕcn 11674  2c2 11729  3c3 11730  ℕ0cn0 11934  ℤcz 12020  ℤ≥cuz 12282  ℝ+crp 12430  ↑cexp 13479  Σcsu 15090 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-inf2 9137  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652  ax-pre-sup 10653 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-int 4839  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-isom 6344  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-1o 8112  df-er 8299  df-pm 8419  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-fin 8531  df-sup 8939  df-inf 8940  df-oi 9007  df-card 9401  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-n0 11935  df-z 12021  df-uz 12283  df-rp 12431  df-ico 12785  df-fz 12940  df-fzo 13083  df-fl 13211  df-seq 13419  df-exp 13480  df-hash 13741  df-cj 14506  df-re 14507  df-im 14508  df-sqrt 14642  df-abs 14643  df-limsup 14876  df-clim 14893  df-rlim 14894  df-sum 15091 This theorem is referenced by:  rpnnen2lem12  15626
 Copyright terms: Public domain W3C validator