MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem11 16113
Description: Lemma for rpnnen2 16115. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ โ„• โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ ๐‘ฅ, ((1 / 3)โ†‘๐‘›), 0)))
rpnnen2.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„•)
rpnnen2.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„•)
rpnnen2.4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘š โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต))
rpnnen2.5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› < ๐‘š โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘› โˆˆ ๐ต)))
rpnnen2.6 (๐œ“ โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem11 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐œ“)
Distinct variable groups:   ๐‘š,๐‘›,๐‘ฅ,๐‘˜   ๐ด,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฅ   ๐ต,๐‘˜,๐‘›,๐‘ฅ   ๐‘˜,๐‘š,๐น   ๐œ‘,๐‘˜
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘š,๐‘›)   ๐œ“(๐‘ฅ,๐‘˜,๐‘š,๐‘›)   ๐ด(๐‘š)   ๐ต(๐‘š)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘›)

Proof of Theorem rpnnen2lem11
StepHypRef Expression
1 rpnnen2.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† โ„•)
2 rpnnen2.2 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โŠ† โ„•)
3 rpnnen2.4 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘š โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต))
4 eldifi 4091 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต) โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ด)
5 ssel2 3944 . . . . . 6 ((๐ด โŠ† โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ ๐ด) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
64, 5sylan2 594 . . . . 5 ((๐ด โŠ† โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ (๐ด โˆ– ๐ต)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
72, 3, 6syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
8 rpnnen2.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ ๐’ซ โ„• โ†ฆ (๐‘› โˆˆ โ„• โ†ฆ if(๐‘› โˆˆ ๐‘ฅ, ((1 / 3)โ†‘๐‘›), 0)))
98rpnnen2lem6 16108 . . . 4 ((๐ต โŠ† โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
101, 7, 9syl2anc 585 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
11 3nn 12239 . . . . . 6 3 โˆˆ โ„•
12 nnrecre 12202 . . . . . 6 (3 โˆˆ โ„• โ†’ (1 / 3) โˆˆ โ„)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 / 3) โˆˆ โ„
147nnnn0d 12480 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
15 reexpcl 13991 . . . . 5 (((1 / 3) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
1613, 14, 15sylancr 588 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
178rpnnen2lem6 16108 . . . . 5 ((๐ด โŠ† โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
182, 7, 17syl2anc 585 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
19 nnrp 12933 . . . . . . . . 9 (3 โˆˆ โ„• โ†’ 3 โˆˆ โ„+)
20 rpreccl 12948 . . . . . . . . 9 (3 โˆˆ โ„+ โ†’ (1 / 3) โˆˆ โ„+)
2111, 19, 20mp2b 10 . . . . . . . 8 (1 / 3) โˆˆ โ„+
227nnzd 12533 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„ค)
23 rpexpcl 13993 . . . . . . . 8 (((1 / 3) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„ค) โ†’ ((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„+)
2421, 22, 23sylancr 588 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„+)
2524rpred 12964 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„)
2625rehalfcld 12407 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2) โˆˆ โ„)
273snssd 4774 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ {๐‘š} โŠ† (๐ด โˆ– ๐ต))
282ssdifd 4105 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆ– ๐ต) โŠ† (โ„• โˆ– ๐ต))
2927, 28sstrd 3959 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ {๐‘š} โŠ† (โ„• โˆ– ๐ต))
307snssd 4774 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ {๐‘š} โŠ† โ„•)
31 ssconb 4102 . . . . . . . . 9 ((๐ต โŠ† โ„• โˆง {๐‘š} โŠ† โ„•) โ†’ (๐ต โŠ† (โ„• โˆ– {๐‘š}) โ†” {๐‘š} โŠ† (โ„• โˆ– ๐ต)))
321, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โŠ† (โ„• โˆ– {๐‘š}) โ†” {๐‘š} โŠ† (โ„• โˆ– ๐ต)))
3329, 32mpbird 257 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โŠ† (โ„• โˆ– {๐‘š}))
34 difssd 4097 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ„• โˆ– {๐‘š}) โŠ† โ„•)
358rpnnen2lem7 16109 . . . . . . 7 ((๐ต โŠ† (โ„• โˆ– {๐‘š}) โˆง (โ„• โˆ– {๐‘š}) โŠ† โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜(โ„• โˆ– {๐‘š}))โ€˜๐‘˜))
3633, 34, 7, 35syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜(โ„• โˆ– {๐‘š}))โ€˜๐‘˜))
378rpnnen2lem9 16111 . . . . . . . 8 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜(โ„• โˆ– {๐‘š}))โ€˜๐‘˜) = (0 + (((1 / 3)โ†‘(๐‘š + 1)) / (1 โˆ’ (1 / 3)))))
387, 37syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜(โ„• โˆ– {๐‘š}))โ€˜๐‘˜) = (0 + (((1 / 3)โ†‘(๐‘š + 1)) / (1 โˆ’ (1 / 3)))))
3913recni 11176 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) โˆˆ โ„‚
40 expp1 13981 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•0) โ†’ ((1 / 3)โ†‘(๐‘š + 1)) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) ยท (1 / 3)))
4139, 14, 40sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3)โ†‘(๐‘š + 1)) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) ยท (1 / 3)))
4225recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
43 3cn 12241 . . . . . . . . . . . . 13 3 โˆˆ โ„‚
44 3ne0 12266 . . . . . . . . . . . . 13 3 โ‰  0
45 divrec 11836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0) โ†’ (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 3) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) ยท (1 / 3)))
4643, 44, 45mp3an23 1454 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 3) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) ยท (1 / 3)))
4742, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 3) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) ยท (1 / 3)))
4841, 47eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3)โ†‘(๐‘š + 1)) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 3))
4948oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3)โ†‘(๐‘š + 1)) / (1 โˆ’ (1 / 3))) = ((((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 3) / (1 โˆ’ (1 / 3))))
50 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
5143, 44pm3.2i 472 . . . . . . . . . . . . 13 (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)
52 divsubdir 11856 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)) โ†’ ((3 โˆ’ 1) / 3) = ((3 / 3) โˆ’ (1 / 3)))
5343, 50, 51, 52mp3an 1462 . . . . . . . . . . . 12 ((3 โˆ’ 1) / 3) = ((3 / 3) โˆ’ (1 / 3))
54 3m1e2 12288 . . . . . . . . . . . . 13 (3 โˆ’ 1) = 2
5554oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((3 โˆ’ 1) / 3) = (2 / 3)
5643, 44dividi 11895 . . . . . . . . . . . . 13 (3 / 3) = 1
5756oveq1i 7372 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) โˆ’ (1 / 3)) = (1 โˆ’ (1 / 3))
5853, 55, 573eqtr3ri 2774 . . . . . . . . . . 11 (1 โˆ’ (1 / 3)) = (2 / 3)
5958oveq2i 7373 . . . . . . . . . 10 ((((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 3) / (1 โˆ’ (1 / 3))) = ((((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 3) / (2 / 3))
60 2cnne0 12370 . . . . . . . . . . . 12 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
61 divcan7 11871 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (3 โˆˆ โ„‚ โˆง 3 โ‰  0)) โ†’ ((((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2))
6260, 51, 61mp3an23 1454 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2))
6342, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2))
6459, 63eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 3) / (1 โˆ’ (1 / 3))) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2))
6549, 64eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3)โ†‘(๐‘š + 1)) / (1 โˆ’ (1 / 3))) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2))
6665oveq2d 7378 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 + (((1 / 3)โ†‘(๐‘š + 1)) / (1 โˆ’ (1 / 3)))) = (0 + (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2)))
6726recnd 11190 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2) โˆˆ โ„‚)
6867addid2d 11363 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (0 + (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2)) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2))
6938, 66, 683eqtrd 2781 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜(โ„• โˆ– {๐‘š}))โ€˜๐‘˜) = (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2))
7036, 69breqtrd 5136 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) โ‰ค (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2))
71 rphalflt 12951 . . . . . 6 (((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„+ โ†’ (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2) < ((1 / 3)โ†‘๐‘š))
7224, 71syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (((1 / 3)โ†‘๐‘š) / 2) < ((1 / 3)โ†‘๐‘š))
7310, 26, 25, 70, 72lelttrd 11320 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) < ((1 / 3)โ†‘๐‘š))
74 eluznn 12850 . . . . . . . . 9 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
757, 74sylan 581 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
768rpnnen2lem1 16103 . . . . . . . 8 (({๐‘š} โŠ† โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐นโ€˜{๐‘š})โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ {๐‘š}, ((1 / 3)โ†‘๐‘˜), 0))
7730, 75, 76syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)) โ†’ ((๐นโ€˜{๐‘š})โ€˜๐‘˜) = if(๐‘˜ โˆˆ {๐‘š}, ((1 / 3)โ†‘๐‘˜), 0))
7877sumeq2dv 15595 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜{๐‘š})โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)if(๐‘˜ โˆˆ {๐‘š}, ((1 / 3)โ†‘๐‘˜), 0))
79 uzid 12785 . . . . . . . . 9 (๐‘š โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
8022, 79syl 17 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘š โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
8180snssd 4774 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ {๐‘š} โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
82 vex 3452 . . . . . . . . 9 ๐‘š โˆˆ V
83 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ ((1 / 3)โ†‘๐‘˜) = ((1 / 3)โ†‘๐‘š))
8483eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘š โ†’ (((1 / 3)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” ((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚))
8582, 84ralsn 4647 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘š} ((1 / 3)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚ โ†” ((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚)
8642, 85sylibr 233 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘š} ((1 / 3)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
87 ssidd 3972 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š))
8887orcd 872 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆจ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆˆ Fin))
89 sumss2 15618 . . . . . . 7 ((({๐‘š} โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ {๐‘š} ((1 / 3)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚) โˆง ((โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โŠ† (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆจ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š) โˆˆ Fin)) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘š} ((1 / 3)โ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)if(๐‘˜ โˆˆ {๐‘š}, ((1 / 3)โ†‘๐‘˜), 0))
9081, 86, 88, 89syl21anc 837 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘š} ((1 / 3)โ†‘๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)if(๐‘˜ โˆˆ {๐‘š}, ((1 / 3)โ†‘๐‘˜), 0))
9183sumsn 15638 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ((1 / 3)โ†‘๐‘š) โˆˆ โ„‚) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘š} ((1 / 3)โ†‘๐‘˜) = ((1 / 3)โ†‘๐‘š))
927, 42, 91syl2anc 585 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ {๐‘š} ((1 / 3)โ†‘๐‘˜) = ((1 / 3)โ†‘๐‘š))
9378, 90, 923eqtr2d 2783 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜{๐‘š})โ€˜๐‘˜) = ((1 / 3)โ†‘๐‘š))
943, 4syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘š โˆˆ ๐ด)
9594snssd 4774 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ {๐‘š} โŠ† ๐ด)
968rpnnen2lem7 16109 . . . . . 6 (({๐‘š} โŠ† ๐ด โˆง ๐ด โŠ† โ„• โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜{๐‘š})โ€˜๐‘˜) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜))
9795, 2, 7, 96syl3anc 1372 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜{๐‘š})โ€˜๐‘˜) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜))
9893, 97eqbrtrrd 5134 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((1 / 3)โ†‘๐‘š) โ‰ค ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜))
9910, 16, 18, 73, 98ltletrd 11322 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) < ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜))
10010, 99gtned 11297 . 2 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜) โ‰  ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜))
101 rpnnen2.5 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„• (๐‘› < ๐‘š โ†’ (๐‘› โˆˆ ๐ด โ†” ๐‘› โˆˆ ๐ต)))
102 rpnnen2.6 . . . . 5 (๐œ“ โ†” ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ โ„• ((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜))
1038, 2, 1, 3, 101, 102rpnnen2lem10 16112 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐œ“) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜))
104103ex 414 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐œ“ โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜)))
105104necon3ad 2957 . 2 (๐œ‘ โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ด)โ€˜๐‘˜) โ‰  ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘š)((๐นโ€˜๐ต)โ€˜๐‘˜) โ†’ ยฌ ๐œ“))
106100, 105mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐œ“)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065   โˆ– cdif 3912   โŠ† wss 3915  ifcif 4491  ๐’ซ cpw 4565  {csn 4591   class class class wbr 5110   โ†ฆ cmpt 5193  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  โ„•0cn0 12420  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  โ†‘cexp 13974  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem12  16114
  Copyright terms: Public domain W3C validator