Theorem rpnnen2lem11 16133

Description: Lemma for rpnnen2 16135. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4	⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
rpnnen2.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
rpnnen2.6	⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem11	⊢ (𝜑 → ¬ 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
2		rpnnen2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		rpnnen2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
4		eldifi 4082	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐴)
5		ssel2 3930	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ)
8		rpnnen2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
9	8	rpnnen2lem6 16128	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
10	1, 7, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
11		3nn 12207	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		nnrecre 12170	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℝ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
14	7	nnnn0d 12445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ0)
15		reexpcl 13985	. . . . 5 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
16	13, 14, 15	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
17	8	rpnnen2lem6 16128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
18	2, 7, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
19		nnrp 12905	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
20		rpreccl 12921	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ+ → (1 / 3) ∈ ℝ+)
21	11, 19, 20	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ+
22	7	nnzd 12498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℤ)
23		rpexpcl 13987	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
24	21, 22, 23	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 12937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
26	25	rehalfcld 12371	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℝ)
27	3	snssd 4760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
28	2	ssdifd 4096	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
29	27, 28	sstrd 3946	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
30	7	snssd 4760	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ ℕ)
31		ssconb 4093	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ {𝑚} ⊆ ℕ) → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
32	1, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
33	29, 32	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}))
34		difssd 4088	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ)
35	8	rpnnen2lem7 16129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ∧ (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
36	33, 34, 7, 35	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
37	8	rpnnen2lem9 16131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
38	7, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
39	13	recni 11129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
40		expp1 13975	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
41	39, 14, 40	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
42	25	recnd 11143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
43		3cn 12209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
44		3ne0 12234	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
45		divrec 11795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
46	43, 44, 45	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
48	41, 47	eqtr4d 2767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 3))
49	48	oveq1d 7364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))))
50		ax-1cn 11067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
51	43, 44	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
52		divsubdir 11818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
53	43, 50, 51, 52	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
54		3m1e2 12251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 − 1) = 2
55	54	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
56	43, 44	dividi 11857	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / 3) = 1
57	56	oveq1i 7359	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
58	53, 55, 57	3eqtr3ri 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
59	58	oveq2i 7360	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3))
60		2cnne0 12333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61		divcan7 11833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
62	60, 51, 61	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
63	42, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
64	59, 63	eqtrid 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
65	49, 64	eqtrd 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
66	65	oveq2d 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))) = (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)))
67	26	recnd 11143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℂ)
68	67	addlidd 11317	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
69	38, 66, 68	3eqtrd 2768	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
70	36, 69	breqtrd 5118	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
71		rphalflt 12924	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+ → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
72	24, 71	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
73	10, 26, 25, 70, 72	lelttrd 11274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) < ((1 / 3)↑𝑚))
74		eluznn 12819	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
75	7, 74	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
76	8	rpnnen2lem1 16123	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑚} ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
77	30, 75, 76	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
78	77	sumeq2dv 15609	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
79		uzid 12750	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
80	22, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
81	80	snssd 4760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℤ≥‘𝑚))
82		vex 3440	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑚 ∈ V
83		oveq2 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
84	83	eleq1d 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ))
85	82, 84	ralsn 4633	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
86	42, 85	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ)
87		ssidd 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚))
88	87	orcd 873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∨ (ℤ≥‘𝑚) ∈ Fin))
89		sumss2 15633	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝑚} ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∨ (ℤ≥‘𝑚) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
90	81, 86, 88, 89	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
91	83	sumsn 15653	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
92	7, 42, 91	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
93	78, 90, 92	3eqtr2d 2770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
94	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ 𝐴)
95	94	snssd 4760	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
96	8	rpnnen2lem7 16129	. . . . . 6 ⊢ (({𝑚} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
97	95, 2, 7, 96	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
98	93, 97	eqbrtrrd 5116	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
99	10, 16, 18, 73, 98	ltletrd 11276	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) < Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
100	10, 99	gtned 11251	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
101		rpnnen2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
102		rpnnen2.6	. . . . 5 ⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
103	8, 2, 1, 3, 101, 102	rpnnen2lem10 16132	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
104	103	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
105	104	necon3ad 2938	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) → ¬ 𝜓))
106	100, 105	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   ∖ cdif 3900   ⊆ wss 3903  ifcif 4476  𝒫 cpw 4551  {csn 4577   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Fincfn 8872  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347   / cdiv 11777  ℕcn 12128  2c2 12183  3c3 12184  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  ℝ⁺crp 12893  ↑cexp 13968  Σcsu 15593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-er 8625  df-pm 8756  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-ico 13254  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem12  16134