Theorem rpnnen2lem11 16147

Description: Lemma for rpnnen2 16149. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
rpnnen2.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4	⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
rpnnen2.5	⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
rpnnen2.6	⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))

Assertion

Ref	Expression
rpnnen2lem11	⊢ (𝜑 → ¬ 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rpnnen2.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ)
2		rpnnen2.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ)
3		rpnnen2.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵))
4		eldifi 4081	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵) → 𝑚 ∈ 𝐴)
5		ssel2 3926	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ 𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
6	4, 5	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴 ∖ 𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
7	2, 3, 6	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ)
8		rpnnen2.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛 ∈ 𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
9	8	rpnnen2lem6 16142	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
10	1, 7, 9	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
11		3nn 12222	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ ℕ
12		nnrecre 12185	. . . . . 6 ⊢ (3 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℝ)
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ
14	7	nnnn0d 12460	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℕ0)
15		reexpcl 13999	. . . . 5 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
16	13, 14, 15	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
17	8	rpnnen2lem6 16142	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
18	2, 7, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
19		nnrp 12915	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
20		rpreccl 12931	. . . . . . . . 9 ⊢ (3 ∈ ℝ+ → (1 / 3) ∈ ℝ+)
21	11, 19, 20	mp2b 10	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / 3) ∈ ℝ+
22	7	nnzd 12512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ ℤ)
23		rpexpcl 14001	. . . . . . . 8 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℝ+ ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
24	21, 22, 23	sylancr 587	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
25	24	rpred 12947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
26	25	rehalfcld 12386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℝ)
27	3	snssd 4763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (𝐴 ∖ 𝐵))
28	2	ssdifd 4095	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∖ 𝐵) ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
29	27, 28	sstrd 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
30	7	snssd 4763	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ ℕ)
31		ssconb 4092	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ {𝑚} ⊆ ℕ) → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
32	1, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
33	29, 32	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}))
34		difssd 4087	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ)
35	8	rpnnen2lem7 16143	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ∧ (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
36	33, 34, 7, 35	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
37	8	rpnnen2lem9 16145	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
38	7, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
39	13	recni 11144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1 / 3) ∈ ℂ
40		expp1 13989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
41	39, 14, 40	sylancr 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
42	25	recnd 11158	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
43		3cn 12224	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ∈ ℂ
44		3ne0 12249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 3 ≠ 0
45		divrec 11810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
46	43, 44, 45	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
47	42, 46	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
48	41, 47	eqtr4d 2772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 3))
49	48	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))))
50		ax-1cn 11082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
51	43, 44	pm3.2i 470	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
52		divsubdir 11833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
53	43, 50, 51, 52	mp3an 1463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
54		3m1e2 12266	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 − 1) = 2
55	54	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
56	43, 44	dividi 11872	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (3 / 3) = 1
57	56	oveq1i 7366	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
58	53, 55, 57	3eqtr3ri 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
59	58	oveq2i 7367	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3))
60		2cnne0 12348	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61		divcan7 11848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
62	60, 51, 61	mp3an23 1455	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
63	42, 62	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
64	59, 63	eqtrid 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
65	49, 64	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
66	65	oveq2d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))) = (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)))
67	26	recnd 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℂ)
68	67	addlidd 11332	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
69	38, 66, 68	3eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
70	36, 69	breqtrd 5122	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) ≤ (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
71		rphalflt 12934	. . . . . 6 ⊢ (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+ → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
72	24, 71	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
73	10, 26, 25, 70, 72	lelttrd 11289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) < ((1 / 3)↑𝑚))
74		eluznn 12829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
75	7, 74	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
76	8	rpnnen2lem1 16137	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑚} ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
77	30, 75, 76	syl2an2r 685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
78	77	sumeq2dv 15623	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
79		uzid 12764	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
80	22, 79	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ (ℤ≥‘𝑚))
81	80	snssd 4763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℤ≥‘𝑚))
82		vex 3442	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑚 ∈ V
83		oveq2 7364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
84	83	eleq1d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ))
85	82, 84	ralsn 4636	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
86	42, 85	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ)
87		ssidd 3955	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚))
88	87	orcd 873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∨ (ℤ≥‘𝑚) ∈ Fin))
89		sumss2 15647	. . . . . . 7 ⊢ ((({𝑚} ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((ℤ≥‘𝑚) ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∨ (ℤ≥‘𝑚) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
90	81, 86, 88, 89	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
91	83	sumsn 15667	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
92	7, 42, 91	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
93	78, 90, 92	3eqtr2d 2775	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
94	3, 4	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑚 ∈ 𝐴)
95	94	snssd 4763	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
96	8	rpnnen2lem7 16143	. . . . . 6 ⊢ (({𝑚} ⊆ 𝐴 ∧ 𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
97	95, 2, 7, 96	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
98	93, 97	eqbrtrrd 5120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
99	10, 16, 18, 73, 98	ltletrd 11291	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) < Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘))
100	10, 99	gtned 11266	. 2 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
101		rpnnen2.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛 ∈ 𝐴 ↔ 𝑛 ∈ 𝐵)))
102		rpnnen2.6	. . . . 5 ⊢ (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
103	8, 2, 1, 3, 101, 102	rpnnen2lem10 16146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘))
104	103	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝜓 → Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘)))
105	104	necon3ad 2943	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑚)((𝐹‘𝐵)‘𝑘) → ¬ 𝜓))
106	100, 105	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝜓)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  ifcif 4477  𝒫 cpw 4552  {csn 4578   class class class wbr 5096   ↦ cmpt 5177  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  ℂcc 11022  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   < clt 11164   ≤ cle 11165   − cmin 11362   / cdiv 11792  ℕcn 12143  2c2 12198  3c3 12199  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ℝ⁺crp 12903  ↑cexp 13982  Σcsu 15607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-pm 8764  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-ico 13265  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-limsup 15392  df-clim 15409  df-rlim 15410  df-sum 15608

This theorem is referenced by:  rpnnen2lem12  16148