MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen2lem11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen2lem11 15576
Description: Lemma for rpnnen2 15578. (Contributed by Mario Carneiro, 13-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen2.1 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
rpnnen2.2 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
rpnnen2.3 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
rpnnen2.4 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
rpnnen2.5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
rpnnen2.6 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
Assertion
Ref Expression
rpnnen2lem11 (𝜑 → ¬ 𝜓)
Distinct variable groups:   𝑚,𝑛,𝑥,𝑘   𝐴,𝑘,𝑛,𝑥   𝐵,𝑘,𝑛,𝑥   𝑘,𝑚,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑚,𝑛)   𝜓(𝑥,𝑘,𝑚,𝑛)   𝐴(𝑚)   𝐵(𝑚)   𝐹(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem rpnnen2lem11
StepHypRef Expression
1 rpnnen2.3 . . . 4 (𝜑𝐵 ⊆ ℕ)
2 rpnnen2.2 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ ℕ)
3 rpnnen2.4 . . . . 5 (𝜑𝑚 ∈ (𝐴𝐵))
4 eldifi 4102 . . . . . 6 (𝑚 ∈ (𝐴𝐵) → 𝑚𝐴)
5 ssel2 3961 . . . . . 6 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚𝐴) → 𝑚 ∈ ℕ)
64, 5sylan2 594 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (𝐴𝐵)) → 𝑚 ∈ ℕ)
72, 3, 6syl2anc 586 . . . 4 (𝜑𝑚 ∈ ℕ)
8 rpnnen2.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝒫 ℕ ↦ (𝑛 ∈ ℕ ↦ if(𝑛𝑥, ((1 / 3)↑𝑛), 0)))
98rpnnen2lem6 15571 . . . 4 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
101, 7, 9syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ∈ ℝ)
11 3nn 11715 . . . . . 6 3 ∈ ℕ
12 nnrecre 11678 . . . . . 6 (3 ∈ ℕ → (1 / 3) ∈ ℝ)
1311, 12ax-mp 5 . . . . 5 (1 / 3) ∈ ℝ
147nnnn0d 11954 . . . . 5 (𝜑𝑚 ∈ ℕ0)
15 reexpcl 13445 . . . . 5 (((1 / 3) ∈ ℝ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
1613, 14, 15sylancr 589 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
178rpnnen2lem6 15571 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
182, 7, 17syl2anc 586 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
19 nnrp 12399 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
20 rpreccl 12414 . . . . . . . . 9 (3 ∈ ℝ+ → (1 / 3) ∈ ℝ+)
2111, 19, 20mp2b 10 . . . . . . . 8 (1 / 3) ∈ ℝ+
227nnzd 12085 . . . . . . . 8 (𝜑𝑚 ∈ ℤ)
23 rpexpcl 13447 . . . . . . . 8 (((1 / 3) ∈ ℝ+𝑚 ∈ ℤ) → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
2421, 22, 23sylancr 589 . . . . . . 7 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+)
2524rpred 12430 . . . . . 6 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ)
2625rehalfcld 11883 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℝ)
273snssd 4741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (𝐴𝐵))
282ssdifd 4116 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴𝐵) ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
2927, 28sstrd 3976 . . . . . . . 8 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵))
307snssd 4741 . . . . . . . . 9 (𝜑 → {𝑚} ⊆ ℕ)
31 ssconb 4113 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ⊆ ℕ ∧ {𝑚} ⊆ ℕ) → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
321, 30, 31syl2anc 586 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ↔ {𝑚} ⊆ (ℕ ∖ 𝐵)))
3329, 32mpbird 259 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}))
34 difssd 4108 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ)
358rpnnen2lem7 15572 . . . . . . 7 ((𝐵 ⊆ (ℕ ∖ {𝑚}) ∧ (ℕ ∖ {𝑚}) ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
3633, 34, 7, 35syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘))
378rpnnen2lem9 15574 . . . . . . . 8 (𝑚 ∈ ℕ → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
387, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))))
3913recni 10654 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 3) ∈ ℂ
40 expp1 13435 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3) ∈ ℂ ∧ 𝑚 ∈ ℕ0) → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4139, 14, 40sylancr 589 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4225recnd 10668 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
43 3cn 11717 . . . . . . . . . . . . 13 3 ∈ ℂ
44 3ne0 11742 . . . . . . . . . . . . 13 3 ≠ 0
45 divrec 11313 . . . . . . . . . . . . 13 ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ 3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0) → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4643, 44, 45mp3an23 1449 . . . . . . . . . . . 12 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4742, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 3) = (((1 / 3)↑𝑚) · (1 / 3)))
4841, 47eqtr4d 2859 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 3))
4948oveq1d 7170 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))))
50 ax-1cn 10594 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℂ
5143, 44pm3.2i 473 . . . . . . . . . . . . 13 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
52 divsubdir 11333 . . . . . . . . . . . . 13 ((3 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3)))
5343, 50, 51, 52mp3an 1457 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = ((3 / 3) − (1 / 3))
54 3m1e2 11764 . . . . . . . . . . . . 13 (3 − 1) = 2
5554oveq1i 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((3 − 1) / 3) = (2 / 3)
5643, 44dividi 11372 . . . . . . . . . . . . 13 (3 / 3) = 1
5756oveq1i 7165 . . . . . . . . . . . 12 ((3 / 3) − (1 / 3)) = (1 − (1 / 3))
5853, 55, 573eqtr3ri 2853 . . . . . . . . . . 11 (1 − (1 / 3)) = (2 / 3)
5958oveq2i 7166 . . . . . . . . . 10 ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3))
60 2cnne0 11846 . . . . . . . . . . . 12 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
61 divcan7 11348 . . . . . . . . . . . 12 ((((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6260, 51, 61mp3an23 1449 . . . . . . . . . . 11 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6342, 62syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (2 / 3)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6459, 63syl5eq 2868 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((1 / 3)↑𝑚) / 3) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6549, 64eqtrd 2856 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3))) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6665oveq2d 7171 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑(𝑚 + 1)) / (1 − (1 / 3)))) = (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)))
6726recnd 10668 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) ∈ ℂ)
6867addid2d 10840 . . . . . . 7 (𝜑 → (0 + (((1 / 3)↑𝑚) / 2)) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
6938, 66, 683eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘(ℕ ∖ {𝑚}))‘𝑘) = (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
7036, 69breqtrd 5091 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) ≤ (((1 / 3)↑𝑚) / 2))
71 rphalflt 12417 . . . . . 6 (((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℝ+ → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
7224, 71syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (((1 / 3)↑𝑚) / 2) < ((1 / 3)↑𝑚))
7310, 26, 25, 70, 72lelttrd 10797 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) < ((1 / 3)↑𝑚))
74 eluznn 12317 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
757, 74sylan 582 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → 𝑘 ∈ ℕ)
768rpnnen2lem1 15566 . . . . . . . 8 (({𝑚} ⊆ ℕ ∧ 𝑘 ∈ ℕ) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7730, 75, 76syl2an2r 683 . . . . . . 7 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ𝑚)) → ((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
7877sumeq2dv 15059 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
79 uzid 12257 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ ℤ → 𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
8022, 79syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑚))
8180snssd 4741 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑚} ⊆ (ℤ𝑚))
82 vex 3497 . . . . . . . . 9 𝑚 ∈ V
83 oveq2 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑚 → ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
8483eleq1d 2897 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑚 → (((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ))
8582, 84ralsn 4618 . . . . . . . 8 (∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ ↔ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ)
8642, 85sylibr 236 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ)
87 ssidd 3989 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚))
8887orcd 869 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚) ∨ (ℤ𝑚) ∈ Fin))
89 sumss2 15082 . . . . . . 7 ((({𝑚} ⊆ (ℤ𝑚) ∧ ∀𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) ∈ ℂ) ∧ ((ℤ𝑚) ⊆ (ℤ𝑚) ∨ (ℤ𝑚) ∈ Fin)) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
9081, 86, 88, 89syl21anc 835 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)if(𝑘 ∈ {𝑚}, ((1 / 3)↑𝑘), 0))
9183sumsn 15100 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ ((1 / 3)↑𝑚) ∈ ℂ) → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
927, 42, 91syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ {𝑚} ((1 / 3)↑𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
9378, 90, 923eqtr2d 2862 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) = ((1 / 3)↑𝑚))
943, 4syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑚𝐴)
9594snssd 4741 . . . . . 6 (𝜑 → {𝑚} ⊆ 𝐴)
968rpnnen2lem7 15572 . . . . . 6 (({𝑚} ⊆ 𝐴𝐴 ⊆ ℕ ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
9795, 2, 7, 96syl3anc 1367 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹‘{𝑚})‘𝑘) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
9893, 97eqbrtrrd 5089 . . . 4 (𝜑 → ((1 / 3)↑𝑚) ≤ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
9910, 16, 18, 73, 98ltletrd 10799 . . 3 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) < Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘))
10010, 99gtned 10774 . 2 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
101 rpnnen2.5 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝑛 < 𝑚 → (𝑛𝐴𝑛𝐵)))
102 rpnnen2.6 . . . . 5 (𝜓 ↔ Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ ℕ ((𝐹𝐵)‘𝑘))
1038, 2, 1, 3, 101, 102rpnnen2lem10 15575 . . . 4 ((𝜑𝜓) → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘))
104103ex 415 . . 3 (𝜑 → (𝜓 → Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) = Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘)))
105104necon3ad 3029 . 2 (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐴)‘𝑘) ≠ Σ𝑘 ∈ (ℤ𝑚)((𝐹𝐵)‘𝑘) → ¬ 𝜓))
106100, 105mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝜓)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 208  wa 398  wo 843   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  wral 3138  cdif 3932  wss 3935  ifcif 4466  𝒫 cpw 4538  {csn 4566   class class class wbr 5065  cmpt 5145  cfv 6354  (class class class)co 7155  Fincfn 8508  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541   < clt 10674  cle 10675  cmin 10869   / cdiv 11296  cn 11637  2c2 11691  3c3 11692  0cn0 11896  cz 11980  cuz 12242  +crp 12388  cexp 13428  Σcsu 15041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-pm 8408  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-rp 12389  df-ico 12743  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13429  df-hash 13690  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042
This theorem is referenced by:  rpnnen2lem12  15577
  Copyright terms: Public domain W3C validator