MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1e 29277
Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that 𝐵𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uspgr1e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a (𝜑𝐴𝑋)
uspgr1e.b (𝜑𝐵𝑉)
uspgr1e.c (𝜑𝐶𝑉)
uspgr1e.e (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
usgr1e (𝜑𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr1e
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uspgr1e.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 uspgr1e.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
3 uspgr1e.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 uspgr1e.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
5 uspgr1e.e . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
61, 2, 3, 4, 5uspgr1e 29276 . 2 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph)
7 usgr1e.e . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
8 hashprg 14431 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵𝐶 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
93, 4, 8syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
107, 9mpbid 232 . . . 4 (𝜑 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
11 prex 5443 . . . . 5 {𝐵, 𝐶} ∈ V
12 fveqeq2 6916 . . . . 5 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
1311, 12ralsn 4686 . . . 4 (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
1410, 13sylibr 234 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2)
15 edgval 29081 . . . . 5 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
1615a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
175rneqd 5952 . . . 4 (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18 rnsnopg 6243 . . . . 5 (𝐴𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
192, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
2016, 17, 193eqtrd 2779 . . 3 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
2114, 20raleqtrrdv 3328 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2)
22 usgruspgrb 29215 . 2 (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2))
236, 21, 22sylanbrc 583 1 (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {csn 4631  {cpr 4633  cop 4637  ran crn 5690  cfv 6563  2c2 12319  chash 14366  Vtxcvtx 29028  iEdgciedg 29029  Edgcedg 29079  USPGraphcuspgr 29180  USGraphcusgr 29181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-edg 29080  df-uspgr 29182  df-usgr 29183
This theorem is referenced by:  usgr1eop  29282  1egrvtxdg1  29542  1egrvtxdg0  29544
  Copyright terms: Public domain W3C validator