MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1e 29006
Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that 𝐵𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uspgr1e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a (𝜑𝐴𝑋)
uspgr1e.b (𝜑𝐵𝑉)
uspgr1e.c (𝜑𝐶𝑉)
uspgr1e.e (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
usgr1e (𝜑𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr1e
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uspgr1e.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 uspgr1e.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
3 uspgr1e.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 uspgr1e.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
5 uspgr1e.e . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
61, 2, 3, 4, 5uspgr1e 29005 . 2 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph)
7 usgr1e.e . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
8 hashprg 14358 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵𝐶 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
93, 4, 8syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
107, 9mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
11 prex 5425 . . . . 5 {𝐵, 𝐶} ∈ V
12 fveqeq2 6893 . . . . 5 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
1311, 12ralsn 4680 . . . 4 (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
1410, 13sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2)
15 edgval 28813 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
175rneqd 5930 . . . . 5 (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18 rnsnopg 6213 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
192, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
2016, 17, 193eqtrd 2770 . . . 4 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
2120raleqdv 3319 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2 ↔ ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2))
2214, 21mpbird 257 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2)
23 usgruspgrb 28945 . 2 (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2))
246, 22, 23sylanbrc 582 1 (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wral 3055  {csn 4623  {cpr 4625  cop 4629  ran crn 5670  cfv 6536  2c2 12268  chash 14293  Vtxcvtx 28760  iEdgciedg 28761  Edgcedg 28811  USPGraphcuspgr 28912  USGraphcusgr 28913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-oadd 8468  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-dju 9895  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-hash 14294  df-edg 28812  df-uspgr 28914  df-usgr 28915
This theorem is referenced by:  usgr1eop  29011  1egrvtxdg1  29271  1egrvtxdg0  29273
  Copyright terms: Public domain W3C validator