MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgr1e Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgr1e 29071
Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that 𝐵𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
uspgr1e.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a (𝜑𝐴𝑋)
uspgr1e.b (𝜑𝐵𝑉)
uspgr1e.c (𝜑𝐶𝑉)
uspgr1e.e (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e (𝜑𝐵𝐶)
Assertion
Ref Expression
usgr1e (𝜑𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr1e
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uspgr1e.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2 uspgr1e.a . . 3 (𝜑𝐴𝑋)
3 uspgr1e.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 uspgr1e.c . . 3 (𝜑𝐶𝑉)
5 uspgr1e.e . . 3 (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
61, 2, 3, 4, 5uspgr1e 29070 . 2 (𝜑𝐺 ∈ USPGraph)
7 usgr1e.e . . . . 5 (𝜑𝐵𝐶)
8 hashprg 14387 . . . . . 6 ((𝐵𝑉𝐶𝑉) → (𝐵𝐶 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
93, 4, 8syl2anc 583 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝐶 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
107, 9mpbid 231 . . . 4 (𝜑 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
11 prex 5434 . . . . 5 {𝐵, 𝐶} ∈ V
12 fveqeq2 6906 . . . . 5 (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
1311, 12ralsn 4686 . . . 4 (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
1410, 13sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2)
15 edgval 28875 . . . . . 6 (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
1615a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
175rneqd 5940 . . . . 5 (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18 rnsnopg 6225 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
192, 18syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
2016, 17, 193eqtrd 2772 . . . 4 (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
2120raleqdv 3322 . . 3 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2 ↔ ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2))
2214, 21mpbird 257 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2)
23 usgruspgrb 29009 . 2 (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2))
246, 22, 23sylanbrc 582 1 (𝜑𝐺 ∈ USGraph)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  {csn 4629  {cpr 4631  cop 4635  ran crn 5679  cfv 6548  2c2 12298  chash 14322  Vtxcvtx 28822  iEdgciedg 28823  Edgcedg 28873  USPGraphcuspgr 28974  USGraphcusgr 28975
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-hash 14323  df-edg 28874  df-uspgr 28976  df-usgr 28977
This theorem is referenced by:  usgr1eop  29076  1egrvtxdg1  29336  1egrvtxdg0  29338
  Copyright terms: Public domain W3C validator