Theorem usgr1e 29179

Description: A simple graph with one edge (with additional assumption that 𝐵 ≠ 𝐶 since otherwise the edge is a loop!). (Contributed by Alexander van der Vekens, 10-Aug-2017.) (Revised by AV, 18-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
uspgr1e.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
uspgr1e.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
uspgr1e.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
uspgr1e.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
uspgr1e.e	⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
usgr1e.e	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
usgr1e	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Proof of Theorem usgr1e

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uspgr1e.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
2		uspgr1e.a	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		uspgr1e.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
4		uspgr1e.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
5		uspgr1e.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (iEdg‘𝐺) = {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
6	1, 2, 3, 4, 5	uspgr1e 29178	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USPGraph)
7		usgr1e.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 𝐶)
8		hashprg 14367	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉) → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
9	3, 4, 8	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ≠ 𝐶 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
10	7, 9	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
11		prex 5395	. . . . 5 ⊢ {𝐵, 𝐶} ∈ V
12		fveqeq2 6870	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = {𝐵, 𝐶} → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2))
13	11, 12	ralsn 4648	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝐵, 𝐶}) = 2)
14	10, 13	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ {{𝐵, 𝐶}} (♯‘𝑥) = 2)
15		edgval 28983	. . . . 5 ⊢ (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺)
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = ran (iEdg‘𝐺))
17	5	rneqd 5905	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran (iEdg‘𝐺) = ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩})
18		rnsnopg 6197	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
19	2, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ran {⟨𝐴, {𝐵, 𝐶}⟩} = {{𝐵, 𝐶}})
20	16, 17, 19	3eqtrd 2769	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Edg‘𝐺) = {{𝐵, 𝐶}})
21	14, 20	raleqtrrdv 3305	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2)
22		usgruspgrb 29117	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ USGraph ↔ (𝐺 ∈ USPGraph ∧ ∀𝑥 ∈ (Edg‘𝐺)(♯‘𝑥) = 2))
23	6, 21, 22	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ USGraph)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045  {csn 4592  {cpr 4594  ⟨cop 4598  ran crn 5642  ‘cfv 6514  2c2 12248  ♯chash 14302  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  Edgcedg 28981  USPGraphcuspgr 29082  USGraphcusgr 29083

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-hash 14303  df-edg 28982  df-uspgr 29084  df-usgr 29085

This theorem is referenced by:  usgr1eop  29184  1egrvtxdg1  29444  1egrvtxdg0  29446