MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshw1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshw1 14772
Description: If cyclically shifting a word by 1 position results in the word itself, the word is build of identical symbols. Remark: also "valid" for an empty word! (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshw1 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
Distinct variable groups:   ๐‘–,๐‘‰   ๐‘–,๐‘Š

Proof of Theorem cshw1
StepHypRef Expression
1 ral0 4513 . . . 4 โˆ€๐‘– โˆˆ โˆ… (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)
2 oveq2 7417 . . . . . 6 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = (0..^0))
3 fzo0 13656 . . . . . 6 (0..^0) = โˆ…
42, 3eqtrdi 2789 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = โˆ…)
54raleqdv 3326 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ โˆ… (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
61, 5mpbiri 258 . . 3 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
76a1d 25 . 2 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โ†’ ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
8 simprl 770 . . . . . . . 8 (((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โˆง (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š)) โ†’ ๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰)
9 lencl 14483 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0)
10 1nn0 12488 . . . . . . . . . . . . . 14 1 โˆˆ โ„•0
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โˆง (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ โ„•0)
12 df-ne 2942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โ‰  0 โ†” ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0)
13 elnnne0 12486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โ†” ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โ‰  0))
1413simplbi2com 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โ‰  0 โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•))
1512, 14sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•))
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•))
1716impcom 409 . . . . . . . . . . . . 13 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โˆง (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•)
18 neqne 2949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1 โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โ‰  1)
1918ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โˆง (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โ‰  1)
20 nngt1ne1 12241 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โ†’ (1 < (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โ‰  1))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โˆง (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1)) โ†’ (1 < (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โ‰  1))
2219, 21mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โˆง (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1)) โ†’ 1 < (โ™ฏโ€˜๐‘Š))
23 elfzo0 13673 . . . . . . . . . . . . 13 (1 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†” (1 โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„• โˆง 1 < (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
2411, 17, 22, 23syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . 12 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โˆง (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1)) โ†’ 1 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
2524ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โ†’ 1 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
269, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โ†’ ((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โ†’ 1 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
2726adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š) โ†’ ((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โ†’ 1 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
2827impcom 409 . . . . . . . 8 (((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โˆง (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š)) โ†’ 1 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
29 simprr 772 . . . . . . . 8 (((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โˆง (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š)) โ†’ (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š)
30 lbfzo0 13672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†” (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•)
3130, 13sylbbr 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โˆง (โ™ฏโ€˜๐‘Š) โ‰  0) โ†’ 0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
3231ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โ‰  0 โ†’ 0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
3312, 32biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) โˆˆ โ„•0 โ†’ (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โ†’ 0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
349, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โ†’ (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โ†’ 0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
3534adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š) โ†’ (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โ†’ 0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
3635com12 32 . . . . . . . . . 10 (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โ†’ ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š) โ†’ 0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 ((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โ†’ ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š) โ†’ 0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
3837imp 408 . . . . . . . 8 (((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โˆง (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š)) โ†’ 0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
39 elfzoelz 13632 . . . . . . . . . 10 (1 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
40 cshweqrep 14771 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง 1 โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š โˆง 0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
4139, 40sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง 1 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (((๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š โˆง 0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
4241imp 408 . . . . . . . 8 (((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง 1 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โˆง ((๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š โˆง 0 โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
438, 28, 29, 38, 42syl22anc 838 . . . . . . 7 (((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โˆง (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
44 0nn0 12487 . . . . . . . . 9 0 โˆˆ โ„•0
45 fzossnn0 13663 . . . . . . . . 9 (0 โˆˆ โ„•0 โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โŠ† โ„•0)
46 ssralv 4051 . . . . . . . . 9 ((0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โŠ† โ„•0 โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))))
4744, 45, 46mp2b 10 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))))
48 eqcom 2740 . . . . . . . . . 10 ((๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†” (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜0))
49 elfzoelz 13632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
50 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„)
51 ax-1rid 11180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘– โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘– ยท 1) = ๐‘–)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘– ยท 1) = ๐‘–)
5352oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (0 + (๐‘– ยท 1)) = (0 + ๐‘–))
54 zcn 12563 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„‚)
5554addlidd 11415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (0 + ๐‘–) = ๐‘–)
5653, 55eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘– โˆˆ โ„ค โ†’ (0 + (๐‘– ยท 1)) = ๐‘–)
5749, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ (0 + (๐‘– ยท 1)) = ๐‘–)
5857oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = (๐‘– mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)))
59 zmodidfzoimp 13866 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ (๐‘– mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ๐‘–)
6058, 59eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = ๐‘–)
6160fveqeq2d 6900 . . . . . . . . . . 11 (๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜0) โ†” (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
6261biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) = (๐‘Šโ€˜0) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
6348, 62biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) โ†’ ((๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
6463ralimia 3081 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
6547, 64syl 17 . . . . . . 7 (โˆ€๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜((0 + (๐‘– ยท 1)) mod (โ™ฏโ€˜๐‘Š))) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
6643, 65syl 17 . . . . . 6 (((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โˆง (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
6766ex 414 . . . . 5 ((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1) โ†’ ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
6867impancom 453 . . . 4 ((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š)) โ†’ (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1 โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
69 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜0)
70 c0ex 11208 . . . . . . 7 0 โˆˆ V
71 fveqeq2 6901 . . . . . . 7 (๐‘– = 0 โ†’ ((๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0) โ†” (๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜0)))
7270, 71ralsn 4686 . . . . . 6 (โˆ€๐‘– โˆˆ {0} (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0) โ†” (๐‘Šโ€˜0) = (๐‘Šโ€˜0))
7369, 72mpbir 230 . . . . 5 โˆ€๐‘– โˆˆ {0} (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)
74 oveq2 7417 . . . . . . 7 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1 โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = (0..^1))
75 fzo01 13714 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
7674, 75eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1 โ†’ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š)) = {0})
7776raleqdv 3326 . . . . 5 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1 โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ {0} (๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
7873, 77mpbiri 258 . . . 4 ((โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 1 โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
7968, 78pm2.61d2 181 . . 3 ((ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โˆง (๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š)) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
8079ex 414 . 2 (ยฌ (โ™ฏโ€˜๐‘Š) = 0 โ†’ ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0)))
817, 80pm2.61i 182 1 ((๐‘Š โˆˆ Word ๐‘‰ โˆง (๐‘Š cyclShift 1) = ๐‘Š) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ (0..^(โ™ฏโ€˜๐‘Š))(๐‘Šโ€˜๐‘–) = (๐‘Šโ€˜0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  ..^cfzo 13627   mod cmo 13834  โ™ฏchash 14290  Word cword 14464   cyclShift ccsh 14738
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-hash 14291  df-word 14465  df-concat 14521  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-csh 14739
This theorem is referenced by:  cshw1repsw  14773
  Copyright terms: Public domain W3C validator