MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cshw1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cshw1 14768
Description: If cyclically shifting a word by 1 position results in the word itself, the word is build of identical symbols. Remark: also "valid" for an empty word! (Contributed by AV, 13-May-2018.) (Revised by AV, 7-Jun-2018.) (Proof shortened by AV, 1-Nov-2018.)
Assertion
Ref Expression
cshw1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑉   𝑖,𝑊

Proof of Theorem cshw1
StepHypRef Expression
1 ral0 4511 . . . 4 𝑖 ∈ ∅ (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)
2 oveq2 7412 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^0))
3 fzo0 13652 . . . . . 6 (0..^0) = ∅
42, 3eqtrdi 2789 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 0 → (0..^(♯‘𝑊)) = ∅)
54raleqdv 3326 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 0 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∀𝑖 ∈ ∅ (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
61, 5mpbiri 258 . . 3 ((♯‘𝑊) = 0 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
76a1d 25 . 2 ((♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
8 simprl 770 . . . . . . . 8 (((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
9 lencl 14479 . . . . . . . . . . 11 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
10 1nn0 12484 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℕ0
1110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1)) → 1 ∈ ℕ0)
12 df-ne 2942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑊) ≠ 0 ↔ ¬ (♯‘𝑊) = 0)
13 elnnne0 12482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ ↔ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0))
1413simplbi2com 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((♯‘𝑊) ≠ 0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
1512, 14sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (♯‘𝑊) = 0 → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) → ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ))
1716impcom 409 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
18 neqne 2949 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (♯‘𝑊) = 1 → (♯‘𝑊) ≠ 1)
1918ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1)) → (♯‘𝑊) ≠ 1)
20 nngt1ne1 12237 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (♯‘𝑊) ≠ 1))
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1)) → (1 < (♯‘𝑊) ↔ (♯‘𝑊) ≠ 1))
2219, 21mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1)) → 1 < (♯‘𝑊))
23 elfzo0 13669 . . . . . . . . . . . . 13 (1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ∈ ℕ ∧ 1 < (♯‘𝑊)))
2411, 17, 22, 23syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . 12 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1)) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
2524ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
269, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
2726adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊) → ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
2827impcom 409 . . . . . . . 8 (((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)) → 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
29 simprr 772 . . . . . . . 8 (((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)) → (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)
30 lbfzo0 13668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
3130, 13sylbbr 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 ∧ (♯‘𝑊) ≠ 0) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
3231ex 414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → ((♯‘𝑊) ≠ 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3312, 32biimtrrid 242 . . . . . . . . . . . . 13 ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (¬ (♯‘𝑊) = 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
349, 33syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (¬ (♯‘𝑊) = 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3534adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊) → (¬ (♯‘𝑊) = 0 → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3635com12 32 . . . . . . . . . 10 (¬ (♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))))
3837imp 408 . . . . . . . 8 (((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)) → 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
39 elfzoelz 13628 . . . . . . . . . 10 (1 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 1 ∈ ℤ)
40 cshweqrep 14767 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ ℤ) → (((𝑊 cyclShift 1) = 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊)))))
4139, 40sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (((𝑊 cyclShift 1) = 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊)))))
4241imp 408 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 1 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) ∧ ((𝑊 cyclShift 1) = 𝑊 ∧ 0 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))) → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))))
438, 28, 29, 38, 42syl22anc 838 . . . . . . 7 (((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)) → ∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))))
44 0nn0 12483 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℕ0
45 fzossnn0 13659 . . . . . . . . 9 (0 ∈ ℕ0 → (0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0)
46 ssralv 4049 . . . . . . . . 9 ((0..^(♯‘𝑊)) ⊆ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊)))))
4744, 45, 46mp2b 10 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))))
48 eqcom 2740 . . . . . . . . . 10 ((𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))) ↔ (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0))
49 elfzoelz 13628 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → 𝑖 ∈ ℤ)
50 zre 12558 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℝ)
51 ax-1rid 11176 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ ℝ → (𝑖 · 1) = 𝑖)
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℤ → (𝑖 · 1) = 𝑖)
5352oveq2d 7420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → (0 + (𝑖 · 1)) = (0 + 𝑖))
54 zcn 12559 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ ℤ → 𝑖 ∈ ℂ)
5554addlidd 11411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ ℤ → (0 + 𝑖) = 𝑖)
5653, 55eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑖 ∈ ℤ → (0 + (𝑖 · 1)) = 𝑖)
5749, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (0 + (𝑖 · 1)) = 𝑖)
5857oveq1d 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊)) = (𝑖 mod (♯‘𝑊)))
59 zmodidfzoimp 13862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → (𝑖 mod (♯‘𝑊)) = 𝑖)
6058, 59eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊)) = 𝑖)
6160fveqeq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0) ↔ (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
6261biimpd 228 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))) = (𝑊‘0) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
6348, 62biimtrid 241 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) → ((𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))) → (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
6463ralimia 3081 . . . . . . . 8 (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
6547, 64syl 17 . . . . . . 7 (∀𝑖 ∈ ℕ0 (𝑊‘0) = (𝑊‘((0 + (𝑖 · 1)) mod (♯‘𝑊))) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
6643, 65syl 17 . . . . . 6 (((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
6766ex 414 . . . . 5 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ ¬ (♯‘𝑊) = 1) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
6867impancom 453 . . . 4 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)) → (¬ (♯‘𝑊) = 1 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
69 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑊‘0) = (𝑊‘0)
70 c0ex 11204 . . . . . . 7 0 ∈ V
71 fveqeq2 6897 . . . . . . 7 (𝑖 = 0 → ((𝑊𝑖) = (𝑊‘0) ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0)))
7270, 71ralsn 4684 . . . . . 6 (∀𝑖 ∈ {0} (𝑊𝑖) = (𝑊‘0) ↔ (𝑊‘0) = (𝑊‘0))
7369, 72mpbir 230 . . . . 5 𝑖 ∈ {0} (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)
74 oveq2 7412 . . . . . . 7 ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^1))
75 fzo01 13710 . . . . . . 7 (0..^1) = {0}
7674, 75eqtrdi 2789 . . . . . 6 ((♯‘𝑊) = 1 → (0..^(♯‘𝑊)) = {0})
7776raleqdv 3326 . . . . 5 ((♯‘𝑊) = 1 → (∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0) ↔ ∀𝑖 ∈ {0} (𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
7873, 77mpbiri 258 . . . 4 ((♯‘𝑊) = 1 → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
7968, 78pm2.61d2 181 . . 3 ((¬ (♯‘𝑊) = 0 ∧ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊)) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
8079ex 414 . 2 (¬ (♯‘𝑊) = 0 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0)))
817, 80pm2.61i 182 1 ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑊 cyclShift 1) = 𝑊) → ∀𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))(𝑊𝑖) = (𝑊‘0))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wss 3947  c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554  ..^cfzo 13623   mod cmo 13830  chash 14286  Word cword 14460   cyclShift ccsh 14734
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-csh 14735
This theorem is referenced by:  cshw1repsw  14769
  Copyright terms: Public domain W3C validator