Theorem recbothd 41974

Description: Take reciprocal on both sides. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
recbothd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
recbothd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
recbothd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
recbothd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
recbothd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
recbothd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
recbothd.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
recbothd.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
recbothd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Proof of Theorem recbothd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recbothd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recbothd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recbothd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcld 12041	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5		recbothd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
6	1, 2, 5, 3	divne0d 12057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
7	4, 6	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0))
8		recbothd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
9		recbothd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10		recbothd.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
11	8, 9, 10	divcld 12041	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
12		recbothd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
13	8, 9, 12, 10	divne0d 12057	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)
14	11, 13	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0))
15	7, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)))
16		rec11 11963	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
18	17	bicomd 223	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷))))
19	1, 2, 5, 3	recdivd 12058	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
20	8, 9, 12, 10	recdivd 12058	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
21	19, 20	eqeq12d 2751	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))
22	18, 21	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   / cdiv 11918

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919

This theorem is referenced by:  lcmineqlem11  42021