Theorem recbothd 42445

Description: Take reciprocal on both sides. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
recbothd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
recbothd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
recbothd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
recbothd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
recbothd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
recbothd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
recbothd.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
recbothd.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
recbothd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Proof of Theorem recbothd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recbothd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recbothd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recbothd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcld 11922	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5		recbothd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
6	1, 2, 5, 3	divne0d 11938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
7	4, 6	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0))
8		recbothd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
9		recbothd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10		recbothd.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
11	8, 9, 10	divcld 11922	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
12		recbothd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
13	8, 9, 12, 10	divne0d 11938	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)
14	11, 13	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0))
15	7, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)))
16		rec11 11844	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
18	17	bicomd 223	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷))))
19	1, 2, 5, 3	recdivd 11939	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
20	8, 9, 12, 10	recdivd 11939	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
21	19, 20	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))
22	18, 21	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  lcmineqlem11  42492