Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  recbothd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recbothd 39431
 Description: Take reciprocal on both sides. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
recbothd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
recbothd.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
recbothd.3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
recbothd.4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
recbothd.5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
recbothd.6 (𝜑𝐶 ≠ 0)
recbothd.7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
recbothd.8 (𝜑𝐷 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
recbothd (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Proof of Theorem recbothd
StepHypRef Expression
1 recbothd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 recbothd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 recbothd.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
41, 2, 3divcld 11423 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5 recbothd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
61, 2, 5, 3divne0d 11439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
74, 6jca 515 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0))
8 recbothd.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9 recbothd.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
10 recbothd.8 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ≠ 0)
118, 9, 10divcld 11423 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
12 recbothd.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ≠ 0)
138, 9, 12, 10divne0d 11439 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)
1411, 13jca 515 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0))
157, 14jca 515 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)))
16 rec11 11345 . . . 4 ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
1817bicomd 226 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷))))
191, 2, 5, 3recdivd 11440 . . 3 (𝜑 → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
208, 9, 12, 10recdivd 11440 . . 3 (𝜑 → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
2119, 20eqeq12d 2814 . 2 (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))
2218, 21bitrd 282 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7145  ℂcc 10542  0cc0 10544  1c1 10545   / cdiv 11304 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305 This theorem is referenced by:  lcmineqlem11  39478
 Copyright terms: Public domain W3C validator