Theorem recbothd 42431

Description: Take reciprocal on both sides. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
recbothd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
recbothd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
recbothd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
recbothd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
recbothd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
recbothd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
recbothd.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
recbothd.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
recbothd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Proof of Theorem recbothd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recbothd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recbothd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recbothd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcld 11931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5		recbothd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
6	1, 2, 5, 3	divne0d 11947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
7	4, 6	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0))
8		recbothd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
9		recbothd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10		recbothd.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
11	8, 9, 10	divcld 11931	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
12		recbothd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
13	8, 9, 12, 10	divne0d 11947	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)
14	11, 13	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0))
15	7, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)))
16		rec11 11853	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
18	17	bicomd 223	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷))))
19	1, 2, 5, 3	recdivd 11948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
20	8, 9, 12, 10	recdivd 11948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
21	19, 20	eqeq12d 2752	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))
22	18, 21	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  lcmineqlem11  42478