Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  recbothd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem recbothd 41993
Description: Take reciprocal on both sides. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
recbothd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
recbothd.2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
recbothd.3 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
recbothd.4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
recbothd.5 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
recbothd.6 (𝜑𝐶 ≠ 0)
recbothd.7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
recbothd.8 (𝜑𝐷 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
recbothd (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Proof of Theorem recbothd
StepHypRef Expression
1 recbothd.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 recbothd.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3 recbothd.4 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ≠ 0)
41, 2, 3divcld 12043 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5 recbothd.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ≠ 0)
61, 2, 5, 3divne0d 12059 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
74, 6jca 511 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0))
8 recbothd.5 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
9 recbothd.7 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
10 recbothd.8 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ≠ 0)
118, 9, 10divcld 12043 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
12 recbothd.6 . . . . . . 7 (𝜑𝐶 ≠ 0)
138, 9, 12, 10divne0d 12059 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)
1411, 13jca 511 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0))
157, 14jca 511 . . . 4 (𝜑 → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)))
16 rec11 11965 . . . 4 ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
1715, 16syl 17 . . 3 (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
1817bicomd 223 . 2 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷))))
191, 2, 5, 3recdivd 12060 . . 3 (𝜑 → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
208, 9, 12, 10recdivd 12060 . . 3 (𝜑 → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
2119, 20eqeq12d 2753 . 2 (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))
2218, 21bitrd 279 1 (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   / cdiv 11920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921
This theorem is referenced by:  lcmineqlem11  42040
  Copyright terms: Public domain W3C validator