Theorem recbothd 40846

Description: Take reciprocal on both sides. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
recbothd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
recbothd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
recbothd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
recbothd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
recbothd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
recbothd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
recbothd.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
recbothd.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
recbothd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Proof of Theorem recbothd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recbothd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recbothd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recbothd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcld 11986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5		recbothd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
6	1, 2, 5, 3	divne0d 12002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
7	4, 6	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0))
8		recbothd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
9		recbothd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10		recbothd.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
11	8, 9, 10	divcld 11986	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
12		recbothd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
13	8, 9, 12, 10	divne0d 12002	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)
14	11, 13	jca 512	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0))
15	7, 14	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)))
16		rec11 11908	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
18	17	bicomd 222	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷))))
19	1, 2, 5, 3	recdivd 12003	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
20	8, 9, 12, 10	recdivd 12003	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
21	19, 20	eqeq12d 2748	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))
22	18, 21	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   / cdiv 11867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868

This theorem is referenced by:  lcmineqlem11  40892