Theorem recbothd 39929

Description: Take reciprocal on both sides. (Contributed by metakunt, 12-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
recbothd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
recbothd.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
recbothd.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
recbothd.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
recbothd.5	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
recbothd.6	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
recbothd.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
recbothd.8	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
recbothd	⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Proof of Theorem recbothd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recbothd.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		recbothd.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		recbothd.4	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4	1, 2, 3	divcld 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5		recbothd.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
6	1, 2, 5, 3	divne0d 11697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
7	4, 6	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0))
8		recbothd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
9		recbothd.7	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
10		recbothd.8	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≠ 0)
11	8, 9, 10	divcld 11681	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ)
12		recbothd.6	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
13	8, 9, 12, 10	divne0d 11697	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)
14	11, 13	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0))
15	7, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)))
16		rec11 11603	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐴 / 𝐵) ≠ 0) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐶 / 𝐷) ≠ 0)) → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
17	15, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷)))
18	17	bicomd 222	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷))))
19	1, 2, 5, 3	recdivd 11698	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
20	8, 9, 12, 10	recdivd 11698	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
21	19, 20	eqeq12d 2754	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1 / (𝐴 / 𝐵)) = (1 / (𝐶 / 𝐷)) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))
22	18, 21	bitrd 278	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 / 𝐵) = (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐵 / 𝐴) = (𝐷 / 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   / cdiv 11562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563

This theorem is referenced by:  lcmineqlem11  39975