Theorem divcld 11931

Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcl 11815	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038   / cdiv 11807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808

This theorem is referenced by:  dmdcan2d  11961  mulsubdivbinom2  14224  hashf1  14419  abs1m  15298  abslem2  15302  sqreulem  15322  sqreu  15323  o1fsum  15776  divrcnv  15817  divcnv  15818  geolim  15835  geolim2  15836  geo2sum  15838  geo2lim  15840  fproddiv  15926  bpolycl  16017  bpolysum  16018  bpolydiflem  16019  bpoly4  16024  eftcl  16038  efaddlem  16058  tancl  16096  tanval2  16100  qredeq  16626  pcaddlem  16859  pjthlem1  25404  iblss  25772  itgeqa  25781  iblconst  25785  iblabsr  25797  iblmulc2  25798  itgsplit  25803  dvlem  25863  dvmulbr  25906  dvcobr  25913  dvrec  25922  dvrecg  25940  dvmptdiv  25941  dvcnvlem  25943  dveflem  25946  dvsincos  25948  dvlip  25960  c1liplem1  25963  lhop1lem  25980  lhop1  25981  lhop2  25982  lhop  25983  ftc1lem4  26006  vieta1lem2  26277  vieta1  26278  elqaalem3  26287  aareccl  26292  aalioulem1  26298  taylfvallem1  26322  tayl0  26327  taylply2  26333  taylply  26334  dvtaylp  26335  taylthlem2  26339  ulmdvlem1  26365  tanregt0  26503  eff1olem  26512  argregt0  26574  argrege0  26575  argimgt0  26576  logcnlem4  26609  advlogexp  26619  logtaylsum  26625  logtayl2  26626  root1eq1  26719  logbcl  26731  cxplogb  26750  logbf  26753  angcld  26769  angrteqvd  26770  cosangneg2d  26771  angrtmuld  26772  ang180lem1  26773  ang180lem2  26774  ang180lem3  26775  ang180lem4  26776  ang180lem5  26777  lawcoslem1  26779  lawcos  26780  isosctrlem2  26783  isosctrlem3  26784  angpieqvdlem  26792  angpieqvdlem2  26793  angpieqvd  26795  dcubic1lem  26807  dcubic2  26808  dcubic1  26809  dcubic  26810  mcubic  26811  cubic2  26812  dquartlem1  26815  dquartlem2  26816  dquart  26817  quart1cl  26818  quart1lem  26819  quart1  26820  quartlem3  26823  quartlem4  26824  quart  26825  tanatan  26883  atantayl  26901  atantayl2  26902  atantayl3  26903  log2cnv  26908  birthdaylem2  26916  efrlim  26933  dfef2  26934  cxploglim2  26942  fsumharmonic  26975  lgamgulmlem2  26993  lgamgulmlem3  26994  lgamgulmlem4  26995  lgamgulmlem5  26996  lgamgulmlem6  26997  lgamgulm2  26999  lgamcvg2  27018  gamcvg  27019  gamcvg2lem  27022  ftalem4  27039  ftalem5  27040  basellem8  27051  logexprlim  27188  bposlem9  27255  2lgslem3d  27362  2sqlem3  27383  dchrmusum2  27457  dchrvmasum2lem  27459  dchrvmasumiflem1  27464  dchrvmasumiflem2  27465  dchrvmaeq0  27467  dchrisum0re  27476  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem2a  27480  dchrisum0lem2  27481  dchrisum0lem3  27482  dchrisum0  27483  mudivsum  27493  vmalogdivsum2  27501  vmalogdivsum  27502  2vmadivsumlem  27503  selberg2  27514  selberg3lem1  27520  selberg3  27522  selberg4lem1  27523  selbergr  27531  selberg3r  27532  selberg4r  27533  selberg34r  27534  pntrlog2bndlem1  27540  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem3  27542  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem5  27544  colinearalg  28979  axcontlem8  29040  nrt2irr  30543  pjhthlem1  31462  eigvalcl  32032  riesz3i  32133  quad3d  32822  bcm1n  32868  divnumden2  32889  zringfrac  33614  constrrtlc1  33876  constrrtcclem  33878  constrfin  33890  constrdircl  33909  constrreinvcl  33916  constrsqrtcl  33923  cos9thpiminplylem2  33927  cos9thpiminplylem3  33928  cos9thpiminply  33932  cos9thpinconstrlem1  33933  cos9thpinconstrlem2  33934  cos9thpinconstr  33935  oddpwdc  34498  signsplypnf  34694  signsply0  34695  itgexpif  34750  hgt750leme  34802  subfacval2  35369  divcnvlin  35915  bcprod  35920  iprodgam  35924  unbdqndv2lem1  36769  knoppndvlem2  36773  knoppndvlem7  36778  knoppndvlem9  36780  knoppndvlem10  36781  knoppndvlem16  36787  knoppndvlem17  36788  itg2addnclem  37992  iblmulc2nc  38006  ftc1cnnclem  38012  areacirclem1  38029  areacirclem4  38032  areacirc  38034  cntotbnd  38117  recbothd  42431  lcmineqlem12  42479  lcmineqlem18  42485  dvrelogpow2b  42507  aks4d1p1p2  42509  aks4d1p1p7  42513  aks6d1c2p2  42558  aks6d1c4  42563  2ap1caineq  42584  aks6d1c7lem1  42619  pellexlem2  43258  pellexlem6  43262  jm2.19  43421  jm2.27c  43435  proot1ex  43624  cvgdvgrat  44740  radcnvrat  44741  hashnzfzclim  44749  bcccl  44766  bccm1k  44769  binomcxplemrat  44777  binomcxplemfrat  44778  binomcxplemnotnn0  44783  xralrple2  45784  mccllem  46027  clim1fr1  46031  0ellimcdiv  46077  coseq0  46292  fperdvper  46347  dvdivbd  46351  dvnmptdivc  46366  dvnxpaek  46370  dvnprodlem2  46375  iblsplit  46394  itgcoscmulx  46397  itgsincmulx  46402  stoweidlem11  46439  stoweidlem26  46454  stoweidlem42  46470  wallispilem4  46496  wallispilem5  46497  wallispi  46498  wallispi2lem1  46499  wallispi2lem2  46500  wallispi2  46501  stirlinglem1  46502  stirlinglem3  46504  stirlinglem4  46505  stirlinglem5  46506  stirlinglem6  46507  stirlinglem7  46508  stirlinglem13  46514  stirlinglem14  46515  stirlinglem15  46516  dirkeritg  46530  dirkercncflem1  46531  dirkercncflem2  46532  fourierdlem26  46561  fourierdlem39  46574  fourierdlem56  46590  fourierdlem62  46596  fourierdlem72  46606  fourierdlem74  46608  fourierdlem75  46609  fourierdlem76  46610  fourierdlem80  46614  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638  fouriersw  46659  elaa2lem  46661  etransclem15  46677  etransclem20  46682  etransclem21  46683  etransclem22  46684  etransclem23  46685  etransclem24  46686  etransclem25  46687  etransclem31  46693  etransclem32  46694  etransclem33  46695  etransclem34  46696  etransclem35  46697  etransclem47  46709  etransclem48  46710  hoiqssbllem2  47051  sigardiv  47289  sharhght  47293  cndivrenred  47754  fmtnoprmfac2lem1  48029  quad1  48096  requad01  48097  requad1  48098  fdivmptf  49017  affinecomb2  49179  eenglngeehlnmlem1  49213  eenglngeehlnmlem2  49214  itscnhlc0xyqsol  49241  itschlc0xyqsol1  49242  cotcl  50227