Theorem divcld 12070

Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcl 11955	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1371	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184   / cdiv 11947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948

This theorem is referenced by:  dmdcan2d  12100  mulsubdivbinom2  14311  hashf1  14506  abs1m  15384  abslem2  15388  sqreulem  15408  sqreu  15409  o1fsum  15861  divrcnv  15900  divcnv  15901  geolim  15918  geolim2  15919  geo2sum  15921  geo2lim  15923  fproddiv  16009  bpolycl  16100  bpolysum  16101  bpolydiflem  16102  bpoly4  16107  eftcl  16121  efaddlem  16141  tancl  16177  tanval2  16181  qredeq  16704  pcaddlem  16935  pjthlem1  25490  iblss  25860  itgeqa  25869  iblconst  25873  iblabsr  25885  iblmulc2  25886  itgsplit  25891  dvlem  25951  dvmulbr  25995  dvmulbrOLD  25996  dvcobr  26003  dvcobrOLD  26004  dvrec  26013  dvrecg  26031  dvmptdiv  26032  dvcnvlem  26034  dveflem  26037  dvsincos  26039  dvlip  26052  c1liplem1  26055  lhop1lem  26072  lhop1  26073  lhop2  26074  lhop  26075  ftc1lem4  26100  vieta1lem2  26371  vieta1  26372  elqaalem3  26381  aareccl  26386  aalioulem1  26392  taylfvallem1  26416  tayl0  26421  taylply2  26427  taylply2OLD  26428  taylply  26429  dvtaylp  26430  taylthlem2  26434  taylthlem2OLD  26435  ulmdvlem1  26461  tanregt0  26599  eff1olem  26608  argregt0  26670  argrege0  26671  argimgt0  26672  logcnlem4  26705  advlogexp  26715  logtaylsum  26721  logtayl2  26722  root1eq1  26816  logbcl  26828  cxplogb  26847  logbf  26850  angcld  26866  angrteqvd  26867  cosangneg2d  26868  angrtmuld  26869  ang180lem1  26870  ang180lem2  26871  ang180lem3  26872  ang180lem4  26873  ang180lem5  26874  lawcoslem1  26876  lawcos  26877  isosctrlem2  26880  isosctrlem3  26881  angpieqvdlem  26889  angpieqvdlem2  26890  angpieqvd  26892  dcubic1lem  26904  dcubic2  26905  dcubic1  26906  dcubic  26907  mcubic  26908  cubic2  26909  dquartlem1  26912  dquartlem2  26913  dquart  26914  quart1cl  26915  quart1lem  26916  quart1  26917  quartlem3  26920  quartlem4  26921  quart  26922  tanatan  26980  atantayl  26998  atantayl2  26999  atantayl3  27000  log2cnv  27005  birthdaylem2  27013  efrlim  27030  efrlimOLD  27031  dfef2  27032  cxploglim2  27040  fsumharmonic  27073  lgamgulmlem2  27091  lgamgulmlem3  27092  lgamgulmlem4  27093  lgamgulmlem5  27094  lgamgulmlem6  27095  lgamgulm2  27097  lgamcvg2  27116  gamcvg  27117  gamcvg2lem  27120  ftalem4  27137  ftalem5  27138  basellem8  27149  logexprlim  27287  bposlem9  27354  2lgslem3d  27461  2sqlem3  27482  dchrmusum2  27556  dchrvmasum2lem  27558  dchrvmasumiflem1  27563  dchrvmasumiflem2  27564  dchrvmaeq0  27566  dchrisum0re  27575  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem2a  27579  dchrisum0lem2  27580  dchrisum0lem3  27581  dchrisum0  27582  mudivsum  27592  vmalogdivsum2  27600  vmalogdivsum  27601  2vmadivsumlem  27602  selberg2  27613  selberg3lem1  27619  selberg3  27621  selberg4lem1  27622  selbergr  27630  selberg3r  27631  selberg4r  27632  selberg34r  27633  pntrlog2bndlem1  27639  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem3  27641  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem5  27643  colinearalg  28943  axcontlem8  29004  nrt2irr  30505  pjhthlem1  31423  eigvalcl  31993  riesz3i  32094  quad3d  32757  bcm1n  32800  divnumden2  32819  zringfrac  33547  constrrtlc1  33723  constrrtcclem  33725  constrfin  33736  oddpwdc  34319  signsplypnf  34527  signsply0  34528  itgexpif  34583  hgt750leme  34635  subfacval2  35155  divcnvlin  35695  bcprod  35700  iprodgam  35704  unbdqndv2lem1  36475  knoppndvlem2  36479  knoppndvlem7  36484  knoppndvlem9  36486  knoppndvlem10  36487  knoppndvlem16  36493  knoppndvlem17  36494  itg2addnclem  37631  iblmulc2nc  37645  ftc1cnnclem  37651  areacirclem1  37668  areacirclem4  37671  areacirc  37673  cntotbnd  37756  recbothd  41949  lcmineqlem12  41997  lcmineqlem18  42003  dvrelogpow2b  42025  aks4d1p1p2  42027  aks4d1p1p7  42031  aks6d1c2p2  42076  aks6d1c4  42081  2ap1caineq  42102  aks6d1c7lem1  42137  pellexlem2  42786  pellexlem6  42790  jm2.19  42950  jm2.27c  42964  proot1ex  43157  cvgdvgrat  44282  radcnvrat  44283  hashnzfzclim  44291  bcccl  44308  bccm1k  44311  binomcxplemrat  44319  binomcxplemfrat  44320  binomcxplemnotnn0  44325  xralrple2  45269  mccllem  45518  clim1fr1  45522  0ellimcdiv  45570  coseq0  45785  fperdvper  45840  dvdivbd  45844  dvnmptdivc  45859  dvnxpaek  45863  dvnprodlem2  45868  iblsplit  45887  itgcoscmulx  45890  itgsincmulx  45895  stoweidlem11  45932  stoweidlem26  45947  stoweidlem42  45963  wallispilem4  45989  wallispilem5  45990  wallispi  45991  wallispi2lem1  45992  wallispi2lem2  45993  wallispi2  45994  stirlinglem1  45995  stirlinglem3  45997  stirlinglem4  45998  stirlinglem5  45999  stirlinglem6  46000  stirlinglem7  46001  stirlinglem13  46007  stirlinglem14  46008  stirlinglem15  46009  dirkeritg  46023  dirkercncflem1  46024  dirkercncflem2  46025  fourierdlem26  46054  fourierdlem39  46067  fourierdlem56  46083  fourierdlem62  46089  fourierdlem72  46099  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem76  46103  fourierdlem80  46107  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fouriersw  46152  elaa2lem  46154  etransclem15  46170  etransclem20  46175  etransclem21  46176  etransclem22  46177  etransclem23  46178  etransclem24  46179  etransclem25  46180  etransclem31  46186  etransclem32  46187  etransclem33  46188  etransclem34  46189  etransclem35  46190  etransclem47  46202  etransclem48  46203  hoiqssbllem2  46544  sigardiv  46782  sharhght  46786  cndivrenred  47221  fmtnoprmfac2lem1  47440  quad1  47494  requad01  47495  requad1  47496  fdivmptf  48275  affinecomb2  48437  eenglngeehlnmlem1  48471  eenglngeehlnmlem2  48472  itscnhlc0xyqsol  48499  itschlc0xyqsol1  48500  cotcl  48844