Theorem divcld 11990

Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcl 11878	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110   / cdiv 11871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872

This theorem is referenced by:  dmdcan2d  12020  mulsubdivbinom2  14222  hashf1  14418  abs1m  15282  abslem2  15286  sqreulem  15306  sqreu  15307  o1fsum  15759  divrcnv  15798  divcnv  15799  geolim  15816  geolim2  15817  geo2sum  15819  geo2lim  15821  fproddiv  15905  bpolycl  15996  bpolysum  15997  bpolydiflem  15998  bpoly4  16003  eftcl  16017  efaddlem  16036  tancl  16072  tanval2  16076  qredeq  16594  pcaddlem  16821  pjthlem1  24954  iblss  25322  itgeqa  25331  iblconst  25335  iblabsr  25347  iblmulc2  25348  itgsplit  25353  dvlem  25413  dvmulbr  25456  dvcobr  25463  dvrec  25472  dvrecg  25490  dvmptdiv  25491  dvcnvlem  25493  dveflem  25496  dvsincos  25498  dvlip  25510  c1liplem1  25513  lhop1lem  25530  lhop1  25531  lhop2  25532  lhop  25533  ftc1lem4  25556  vieta1lem2  25824  vieta1  25825  elqaalem3  25834  aareccl  25839  aalioulem1  25845  taylfvallem1  25869  tayl0  25874  taylply2  25880  taylply  25881  dvtaylp  25882  taylthlem2  25886  ulmdvlem1  25912  tanregt0  26048  eff1olem  26057  argregt0  26118  argrege0  26119  argimgt0  26120  logcnlem4  26153  advlogexp  26163  logtaylsum  26169  logtayl2  26170  root1eq1  26263  logbcl  26272  cxplogb  26291  logbf  26294  angcld  26310  angrteqvd  26311  cosangneg2d  26312  angrtmuld  26313  ang180lem1  26314  ang180lem2  26315  ang180lem3  26316  ang180lem4  26317  ang180lem5  26318  lawcoslem1  26320  lawcos  26321  isosctrlem2  26324  isosctrlem3  26325  angpieqvdlem  26333  angpieqvdlem2  26334  angpieqvd  26336  dcubic1lem  26348  dcubic2  26349  dcubic1  26350  dcubic  26351  mcubic  26352  cubic2  26353  dquartlem1  26356  dquartlem2  26357  dquart  26358  quart1cl  26359  quart1lem  26360  quart1  26361  quartlem3  26364  quartlem4  26365  quart  26366  tanatan  26424  atantayl  26442  atantayl2  26443  atantayl3  26444  log2cnv  26449  birthdaylem2  26457  efrlim  26474  dfef2  26475  cxploglim2  26483  fsumharmonic  26516  lgamgulmlem2  26534  lgamgulmlem3  26535  lgamgulmlem4  26536  lgamgulmlem5  26537  lgamgulmlem6  26538  lgamgulm2  26540  lgamcvg2  26559  gamcvg  26560  gamcvg2lem  26563  ftalem4  26580  ftalem5  26581  basellem8  26592  logexprlim  26728  bposlem9  26795  2lgslem3d  26902  2sqlem3  26923  dchrmusum2  26997  dchrvmasum2lem  26999  dchrvmasumiflem1  27004  dchrvmasumiflem2  27005  dchrvmaeq0  27007  dchrisum0re  27016  dchrisum0lem1b  27018  dchrisum0lem1  27019  dchrisum0lem2a  27020  dchrisum0lem2  27021  dchrisum0lem3  27022  dchrisum0  27023  mudivsum  27033  vmalogdivsum2  27041  vmalogdivsum  27042  2vmadivsumlem  27043  selberg2  27054  selberg3lem1  27060  selberg3  27062  selberg4lem1  27063  selbergr  27071  selberg3r  27072  selberg4r  27073  selberg34r  27074  pntrlog2bndlem1  27080  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem3  27082  pntrlog2bndlem4  27083  pntrlog2bndlem5  27084  colinearalg  28168  axcontlem8  28229  nrt2irr  29726  pjhthlem1  30644  eigvalcl  31214  riesz3i  31315  bcm1n  32006  divnumden2  32024  oddpwdc  33353  signsplypnf  33561  signsply0  33562  itgexpif  33618  hgt750leme  33670  subfacval2  34178  divcnvlin  34702  bcprod  34708  iprodgam  34712  gg-dvmulbr  35175  gg-dvcobr  35176  unbdqndv2lem1  35385  knoppndvlem2  35389  knoppndvlem7  35394  knoppndvlem9  35396  knoppndvlem10  35397  knoppndvlem16  35403  knoppndvlem17  35404  itg2addnclem  36539  iblmulc2nc  36553  ftc1cnnclem  36559  areacirclem1  36576  areacirclem4  36579  areacirc  36581  cntotbnd  36664  recbothd  40858  lcmineqlem12  40905  lcmineqlem18  40911  dvrelogpow2b  40933  aks4d1p1p2  40935  aks4d1p1p7  40939  aks6d1c2p2  40957  2ap1caineq  40961  pellexlem2  41568  pellexlem6  41572  jm2.19  41732  jm2.27c  41746  proot1ex  41943  cvgdvgrat  43072  radcnvrat  43073  hashnzfzclim  43081  bcccl  43098  bccm1k  43101  binomcxplemrat  43109  binomcxplemfrat  43110  binomcxplemnotnn0  43115  xralrple2  44064  mccllem  44313  clim1fr1  44317  0ellimcdiv  44365  coseq0  44580  fperdvper  44635  dvdivbd  44639  dvnmptdivc  44654  dvnxpaek  44658  dvnprodlem2  44663  iblsplit  44682  itgcoscmulx  44685  itgsincmulx  44690  stoweidlem11  44727  stoweidlem26  44742  stoweidlem42  44758  wallispilem4  44784  wallispilem5  44785  wallispi  44786  wallispi2lem1  44787  wallispi2lem2  44788  wallispi2  44789  stirlinglem1  44790  stirlinglem3  44792  stirlinglem4  44793  stirlinglem5  44794  stirlinglem6  44795  stirlinglem7  44796  stirlinglem13  44802  stirlinglem14  44803  stirlinglem15  44804  dirkeritg  44818  dirkercncflem1  44819  dirkercncflem2  44820  fourierdlem26  44849  fourierdlem39  44862  fourierdlem56  44878  fourierdlem62  44884  fourierdlem72  44894  fourierdlem74  44896  fourierdlem75  44897  fourierdlem76  44898  fourierdlem80  44902  fourierdlem103  44925  fourierdlem104  44926  fouriersw  44947  elaa2lem  44949  etransclem15  44965  etransclem20  44970  etransclem21  44971  etransclem22  44972  etransclem23  44973  etransclem24  44974  etransclem25  44975  etransclem31  44981  etransclem32  44982  etransclem33  44983  etransclem34  44984  etransclem35  44985  etransclem47  44997  etransclem48  44998  hoiqssbllem2  45339  sigardiv  45577  sharhght  45581  cndivrenred  46014  fmtnoprmfac2lem1  46234  quad1  46288  requad01  46289  requad1  46290  fdivmptf  47227  affinecomb2  47389  eenglngeehlnmlem1  47423  eenglngeehlnmlem2  47424  itscnhlc0xyqsol  47451  itschlc0xyqsol1  47452  cotcl  47797