Theorem divcld 12094

Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcl 11981	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7421  ℂcc 11199  0cc0 11201   / cdiv 11974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975

This theorem is used by:  dmdcan2d  12124  mulsubdivbinom2  14407  hashf1  14603  abs1m  15504  abslem2  15508  sqreulem  15528  sqreu  15529  o1fsum  15981  divrcnv  16022  divcnv  16023  geolim  16040  geolim2  16041  geo2sum  16043  geo2lim  16045  fproddiv  16129  bpolycl  16219  bpolysum  16220  bpolydiflem  16221  bpoly4  16226  eftcl  16240  efaddlem  16260  tancl  16298  tanval2  16302  qredeq  16833  pcaddlem  17067  pjthlem1  25759  iblss  26126  itgeqa  26135  iblconst  26139  iblabsr  26151  iblmulc2  26152  itgsplit  26157  dvlem  26217  dvmulbr  26260  dvcobr  26267  dvrec  26276  dvrecg  26294  dvmptdiv  26295  dvcnvlem  26297  dveflem  26300  dvsincos  26302  dvlip  26314  c1liplem1  26317  lhop1lem  26334  lhop1  26335  lhop2  26336  lhop  26337  ftc1lem4  26360  vieta1lem2  26635  vieta1  26636  elqaalem3  26645  aareccl  26654  aalioulem1  26660  taylfvallem1  26685  tayl0  26690  taylply2  26696  taylply  26697  dvtaylp  26698  taylthlem2  26702  ulmdvlem1  26728  tanregt0  26868  eff1olem  26877  argregt0  26939  argrege0  26940  argimgt0  26941  logcnlem4  26974  advlogexp  26984  logtaylsum  26990  logtayl2  26991  root1eq1  27084  logbcl  27096  cxplogb  27115  logbf  27118  angcld  27134  angrteqvd  27135  cosangneg2d  27136  angrtmuld  27137  ang180lem1  27138  ang180lem2  27139  ang180lem3  27140  ang180lem4  27141  ang180lem5  27142  lawcoslem1  27144  lawcos  27145  isosctrlem2  27148  isosctrlem3  27149  angpieqvdlem  27157  angpieqvdlem2  27158  angpieqvd  27160  dcubic1lem  27172  dcubic2  27173  dcubic1  27174  dcubic  27175  mcubic  27176  cubic2  27177  dquartlem1  27180  dquartlem2  27181  dquart  27182  quart1cl  27183  quart1lem  27184  quart1  27185  quartlem3  27188  quartlem4  27189  quart  27190  tanatan  27248  atantayl  27266  atantayl2  27267  atantayl3  27268  log2cnv  27273  birthdaylem2  27281  efrlim  27298  dfef2  27299  cxploglim2  27307  fsumharmonic  27340  lgamgulmlem2  27358  lgamgulmlem3  27359  lgamgulmlem4  27360  lgamgulmlem5  27361  lgamgulmlem6  27362  lgamgulm2  27364  lgamcvg2  27383  gamcvg  27384  gamcvg2lem  27387  ftalem4  27404  ftalem5  27405  basellem8  27416  logexprlim  27553  bposlem9  27620  2lgslem3d  27727  2sqlem3  27748  dchrmusum2  27822  dchrvmasum2lem  27824  dchrvmasumiflem1  27829  dchrvmasumiflem2  27830  dchrvmaeq0  27832  dchrisum0re  27841  dchrisum0lem1b  27843  dchrisum0lem1  27844  dchrisum0lem2a  27845  dchrisum0lem2  27846  dchrisum0lem3  27847  dchrisum0  27848  mudivsum  27858  vmalogdivsum2  27866  vmalogdivsum  27867  2vmadivsumlem  27868  selberg2  27879  selberg3lem1  27885  selberg3  27887  selberg4lem1  27888  selbergr  27896  selberg3r  27897  selberg4r  27898  selberg34r  27899  pntrlog2bndlem1  27905  pntrlog2bndlem2  27906  pntrlog2bndlem3  27907  pntrlog2bndlem4  27908  pntrlog2bndlem5  27909  colinearalg  29489  axcontlem8  29550  nrt2irr  31075  pjhthlem1  31994  eigvalcl  32564  riesz3i  32665  quad3d  33342  bcm1n  33388  divnumden2  33408  zringfrac  34087  constrrtlc1  34365  constrrtcclem  34367  constrfin  34379  constrdircl  34398  constrreinvcl  34405  constrsqrtcl  34412  cos9thpiminplylem2  34416  cos9thpiminplylem3  34417  cos9thpiminply  34421  cos9thpinconstrlem1  34422  cos9thpinconstrlem2  34423  cos9thpinconstr  34424  oddpwdc  34987  signsplypnf  35180  signsply0  35181  itgexpif  35236  hgt750leme  35288  subfacval2  35953  divcnvlin  36499  bcprod  36504  iprodgam  36508  unbdqndv2lem1  37376  knoppndvlem2  37380  knoppndvlem7  37385  knoppndvlem9  37387  knoppndvlem10  37388  knoppndvlem16  37394  knoppndvlem17  37395  itg2addnclem  38591  iblmulc2nc  38605  ftc1cnnclem  38611  areacirclem1  38628  areacirclem4  38631  areacirc  38633  cntotbnd  38732  recbothd  43044  lcmineqlem12  43092  lcmineqlem18  43098  dvrelogpow2b  43120  aks4d1p1p2  43122  aks4d1p1p7  43126  aks6d1c2p2  43171  aks6d1c4  43176  2ap1caineq  43197  aks6d1c7lem1  43232  quadfac  43257  pellexlem2  43838  pellexlem6  43842  jm2.19  44001  jm2.27c  44015  proot1ex  44199  cvgdvgrat  45298  radcnvrat  45299  hashnzfzclim  45307  bcccl  45324  bccm1k  45327  binomcxplemrat  45335  binomcxplemfrat  45336  binomcxplemnotnn0  45341  xralrple2  46367  mccllem  46610  clim1fr1  46614  0ellimcdiv  46660  coseq0  46875  fperdvper  46930  dvdivbd  46934  dvnmptdivc  46949  dvnxpaek  46953  dvnprodlem2  46958  iblsplit  46977  itgcoscmulx  46980  itgsincmulx  46985  stoweidlem11  47022  stoweidlem26  47037  stoweidlem42  47053  wallispilem4  47079  wallispilem5  47080  wallispi  47081  wallispi2lem1  47082  wallispi2lem2  47083  wallispi2  47084  stirlinglem1  47085  stirlinglem3  47087  stirlinglem4  47088  stirlinglem5  47089  stirlinglem6  47090  stirlinglem7  47091  stirlinglem13  47097  stirlinglem14  47098  stirlinglem15  47099  dirkeritg  47113  dirkercncflem1  47114  dirkercncflem2  47115  fourierdlem26  47144  fourierdlem39  47157  fourierdlem56  47173  fourierdlem62  47179  fourierdlem72  47189  fourierdlem74  47191  fourierdlem75  47192  fourierdlem76  47193  fourierdlem80  47197  fourierdlem103  47220  fourierdlem104  47221  fouriersw  47242  elaa2lem  47244  etransclem15  47260  etransclem20  47265  etransclem21  47266  etransclem22  47267  etransclem23  47268  etransclem24  47269  etransclem25  47270  etransclem31  47276  etransclem32  47277  etransclem33  47278  etransclem34  47279  etransclem35  47280  etransclem47  47292  etransclem48  47293  hoiqssbllem2  47634  sigardiv  47872  sharhght  47876  cndivrenred  48377  fmtnoprmfac2lem1  48652  quad1  48719  requad01  48720  requad1  48721  fdivmptf  49654  affinecomb2  49816  eenglngeehlnmlem1  49850  eenglngeehlnmlem2  49851  itscnhlc0xyqsol  49878  itschlc0xyqsol1  49879  cotcl  50846  dvsec  50857  dvcsc  50858  dvcot  50859