Theorem divcld 11405

Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcl 11293	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  0cc0 10526   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  dmdcan2d  11435  mulsubdivbinom2  13618  hashf1  13811  abs1m  14687  abslem2  14691  sqreulem  14711  sqreu  14712  o1fsum  15160  divrcnv  15199  divcnv  15200  geolim  15218  geolim2  15219  geo2sum  15221  geo2lim  15223  fproddiv  15307  bpolycl  15398  bpolysum  15399  bpolydiflem  15400  bpoly4  15405  eftcl  15419  efaddlem  15438  tancl  15474  tanval2  15478  qredeq  15991  pcaddlem  16214  pjthlem1  24041  iblss  24408  itgeqa  24417  iblconst  24421  iblabsr  24433  iblmulc2  24434  itgsplit  24439  dvlem  24499  dvmulbr  24542  dvcobr  24549  dvrec  24558  dvrecg  24576  dvmptdiv  24577  dvcnvlem  24579  dveflem  24582  dvsincos  24584  dvlip  24596  c1liplem1  24599  lhop1lem  24616  lhop1  24617  lhop2  24618  lhop  24619  ftc1lem4  24642  vieta1lem2  24907  vieta1  24908  elqaalem3  24917  aareccl  24922  aalioulem1  24928  taylfvallem1  24952  tayl0  24957  taylply2  24963  taylply  24964  dvtaylp  24965  taylthlem2  24969  ulmdvlem1  24995  tanregt0  25131  eff1olem  25140  argregt0  25201  argrege0  25202  argimgt0  25203  logcnlem4  25236  advlogexp  25246  logtaylsum  25252  logtayl2  25253  root1eq1  25344  logbcl  25353  cxplogb  25372  logbf  25375  angcld  25391  angrteqvd  25392  cosangneg2d  25393  angrtmuld  25394  ang180lem1  25395  ang180lem2  25396  ang180lem3  25397  ang180lem4  25398  ang180lem5  25399  lawcoslem1  25401  lawcos  25402  isosctrlem2  25405  isosctrlem3  25406  angpieqvdlem  25414  angpieqvdlem2  25415  angpieqvd  25417  dcubic1lem  25429  dcubic2  25430  dcubic1  25431  dcubic  25432  mcubic  25433  cubic2  25434  dquartlem1  25437  dquartlem2  25438  dquart  25439  quart1cl  25440  quart1lem  25441  quart1  25442  quartlem3  25445  quartlem4  25446  quart  25447  tanatan  25505  atantayl  25523  atantayl2  25524  atantayl3  25525  log2cnv  25530  birthdaylem2  25538  efrlim  25555  dfef2  25556  cxploglim2  25564  fsumharmonic  25597  lgamgulmlem2  25615  lgamgulmlem3  25616  lgamgulmlem4  25617  lgamgulmlem5  25618  lgamgulmlem6  25619  lgamgulm2  25621  lgamcvg2  25640  gamcvg  25641  gamcvg2lem  25644  ftalem4  25661  ftalem5  25662  basellem8  25673  logexprlim  25809  bposlem9  25876  2lgslem3d  25983  2sqlem3  26004  dchrmusum2  26078  dchrvmasum2lem  26080  dchrvmasumiflem1  26085  dchrvmasumiflem2  26086  dchrvmaeq0  26088  dchrisum0re  26097  dchrisum0lem1b  26099  dchrisum0lem1  26100  dchrisum0lem2a  26101  dchrisum0lem2  26102  dchrisum0lem3  26103  dchrisum0  26104  mudivsum  26114  vmalogdivsum2  26122  vmalogdivsum  26123  2vmadivsumlem  26124  selberg2  26135  selberg3lem1  26141  selberg3  26143  selberg4lem1  26144  selbergr  26152  selberg3r  26153  selberg4r  26154  selberg34r  26155  pntrlog2bndlem1  26161  pntrlog2bndlem2  26162  pntrlog2bndlem3  26163  pntrlog2bndlem4  26164  pntrlog2bndlem5  26165  colinearalg  26704  axcontlem8  26765  pjhthlem1  29174  eigvalcl  29744  riesz3i  29845  bcm1n  30544  divnumden2  30560  oddpwdc  31722  signsplypnf  31930  signsply0  31931  itgexpif  31987  hgt750leme  32039  subfacval2  32547  divcnvlin  33077  bcprod  33083  iprodgam  33087  unbdqndv2lem1  33961  knoppndvlem2  33965  knoppndvlem7  33970  knoppndvlem9  33972  knoppndvlem10  33973  knoppndvlem16  33979  knoppndvlem17  33980  itg2addnclem  35108  iblmulc2nc  35122  ftc1cnnclem  35128  areacirclem1  35145  areacirclem4  35148  areacirc  35150  cntotbnd  35234  recbothd  39280  lcmineqlem12  39328  lcmineqlem18  39334  2ap1caineq  39349  pellexlem2  39771  pellexlem6  39775  jm2.19  39934  jm2.27c  39948  proot1ex  40145  cvgdvgrat  41017  radcnvrat  41018  hashnzfzclim  41026  bcccl  41043  bccm1k  41046  binomcxplemrat  41054  binomcxplemfrat  41055  binomcxplemnotnn0  41060  xralrple2  41986  mccllem  42239  clim1fr1  42243  0ellimcdiv  42291  coseq0  42506  fperdvper  42561  dvdivbd  42565  dvnmptdivc  42580  dvnxpaek  42584  dvnprodlem2  42589  iblsplit  42608  itgcoscmulx  42611  itgsincmulx  42616  stoweidlem11  42653  stoweidlem26  42668  stoweidlem42  42684  wallispilem4  42710  wallispilem5  42711  wallispi  42712  wallispi2lem1  42713  wallispi2lem2  42714  wallispi2  42715  stirlinglem1  42716  stirlinglem3  42718  stirlinglem4  42719  stirlinglem5  42720  stirlinglem6  42721  stirlinglem7  42722  stirlinglem13  42728  stirlinglem14  42729  stirlinglem15  42730  dirkeritg  42744  dirkercncflem1  42745  dirkercncflem2  42746  fourierdlem26  42775  fourierdlem39  42788  fourierdlem56  42804  fourierdlem62  42810  fourierdlem72  42820  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem76  42824  fourierdlem80  42828  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fouriersw  42873  elaa2lem  42875  etransclem15  42891  etransclem20  42896  etransclem21  42897  etransclem22  42898  etransclem23  42899  etransclem24  42900  etransclem25  42901  etransclem31  42907  etransclem32  42908  etransclem33  42909  etransclem34  42910  etransclem35  42911  etransclem47  42923  etransclem48  42924  hoiqssbllem2  43262  sigardiv  43475  sharhght  43479  cndivrenred  43863  fmtnoprmfac2lem1  44083  quad1  44138  requad01  44139  requad1  44140  fdivmptf  44955  affinecomb2  45117  eenglngeehlnmlem1  45151  eenglngeehlnmlem2  45152  itscnhlc0xyqsol  45179  itschlc0xyqsol1  45180  cotcl  45278