Theorem divcld 12086

Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcl 11973	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  0cc0 11193   / cdiv 11966

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967

This theorem is used by:  dmdcan2d  12116  mulsubdivbinom2  14399  hashf1  14595  abs1m  15496  abslem2  15500  sqreulem  15520  sqreu  15521  o1fsum  15973  divrcnv  16014  divcnv  16015  geolim  16032  geolim2  16033  geo2sum  16035  geo2lim  16037  fproddiv  16121  bpolycl  16211  bpolysum  16212  bpolydiflem  16213  bpoly4  16218  eftcl  16232  efaddlem  16252  tancl  16290  tanval2  16294  qredeq  16825  pcaddlem  17059  pjthlem1  25751  iblss  26118  itgeqa  26127  iblconst  26131  iblabsr  26143  iblmulc2  26144  itgsplit  26149  dvlem  26209  dvmulbr  26252  dvcobr  26259  dvrec  26268  dvrecg  26286  dvmptdiv  26287  dvcnvlem  26289  dveflem  26292  dvsincos  26294  dvlip  26306  c1liplem1  26309  lhop1lem  26326  lhop1  26327  lhop2  26328  lhop  26329  ftc1lem4  26352  vieta1lem2  26627  vieta1  26628  elqaalem3  26637  aareccl  26646  aalioulem1  26652  taylfvallem1  26677  tayl0  26682  taylply2  26688  taylply  26689  dvtaylp  26690  taylthlem2  26694  ulmdvlem1  26720  tanregt0  26860  eff1olem  26869  argregt0  26931  argrege0  26932  argimgt0  26933  logcnlem4  26966  advlogexp  26976  logtaylsum  26982  logtayl2  26983  root1eq1  27076  logbcl  27088  cxplogb  27107  logbf  27110  angcld  27126  angrteqvd  27127  cosangneg2d  27128  angrtmuld  27129  ang180lem1  27130  ang180lem2  27131  ang180lem3  27132  ang180lem4  27133  ang180lem5  27134  lawcoslem1  27136  lawcos  27137  isosctrlem2  27140  isosctrlem3  27141  angpieqvdlem  27149  angpieqvdlem2  27150  angpieqvd  27152  dcubic1lem  27164  dcubic2  27165  dcubic1  27166  dcubic  27167  mcubic  27168  cubic2  27169  dquartlem1  27172  dquartlem2  27173  dquart  27174  quart1cl  27175  quart1lem  27176  quart1  27177  quartlem3  27180  quartlem4  27181  quart  27182  tanatan  27240  atantayl  27258  atantayl2  27259  atantayl3  27260  log2cnv  27265  birthdaylem2  27273  efrlim  27290  dfef2  27291  cxploglim2  27299  fsumharmonic  27332  lgamgulmlem2  27350  lgamgulmlem3  27351  lgamgulmlem4  27352  lgamgulmlem5  27353  lgamgulmlem6  27354  lgamgulm2  27356  lgamcvg2  27375  gamcvg  27376  gamcvg2lem  27379  ftalem4  27396  ftalem5  27397  basellem8  27408  logexprlim  27545  bposlem9  27612  2lgslem3d  27719  2sqlem3  27740  dchrmusum2  27814  dchrvmasum2lem  27816  dchrvmasumiflem1  27821  dchrvmasumiflem2  27822  dchrvmaeq0  27824  dchrisum0re  27833  dchrisum0lem1b  27835  dchrisum0lem1  27836  dchrisum0lem2a  27837  dchrisum0lem2  27838  dchrisum0lem3  27839  dchrisum0  27840  mudivsum  27850  vmalogdivsum2  27858  vmalogdivsum  27859  2vmadivsumlem  27860  selberg2  27871  selberg3lem1  27877  selberg3  27879  selberg4lem1  27880  selbergr  27888  selberg3r  27889  selberg4r  27890  selberg34r  27891  pntrlog2bndlem1  27897  pntrlog2bndlem2  27898  pntrlog2bndlem3  27899  pntrlog2bndlem4  27900  pntrlog2bndlem5  27901  colinearalg  29481  axcontlem8  29542  nrt2irr  31067  pjhthlem1  31986  eigvalcl  32556  riesz3i  32657  quad3d  33334  bcm1n  33380  divnumden2  33400  zringfrac  34079  constrrtlc1  34357  constrrtcclem  34359  constrfin  34371  constrdircl  34390  constrreinvcl  34397  constrsqrtcl  34404  cos9thpiminplylem2  34408  cos9thpiminplylem3  34409  cos9thpiminply  34413  cos9thpinconstrlem1  34414  cos9thpinconstrlem2  34415  cos9thpinconstr  34416  oddpwdc  34979  signsplypnf  35172  signsply0  35173  itgexpif  35228  hgt750leme  35280  subfacval2  35931  divcnvlin  36477  bcprod  36482  iprodgam  36486  unbdqndv2lem1  37355  knoppndvlem2  37359  knoppndvlem7  37364  knoppndvlem9  37366  knoppndvlem10  37367  knoppndvlem16  37373  knoppndvlem17  37374  itg2addnclem  38569  iblmulc2nc  38583  ftc1cnnclem  38589  areacirclem1  38606  areacirclem4  38609  areacirc  38611  cntotbnd  38710  recbothd  43022  lcmineqlem12  43070  lcmineqlem18  43076  dvrelogpow2b  43098  aks4d1p1p2  43100  aks4d1p1p7  43104  aks6d1c2p2  43149  aks6d1c4  43154  2ap1caineq  43175  aks6d1c7lem1  43210  quadfac  43235  pellexlem2  43816  pellexlem6  43820  jm2.19  43979  jm2.27c  43993  proot1ex  44182  cvgdvgrat  45282  radcnvrat  45283  hashnzfzclim  45291  bcccl  45308  bccm1k  45311  binomcxplemrat  45319  binomcxplemfrat  45320  binomcxplemnotnn0  45325  xralrple2  46335  mccllem  46578  clim1fr1  46582  0ellimcdiv  46628  coseq0  46843  fperdvper  46898  dvdivbd  46902  dvnmptdivc  46917  dvnxpaek  46921  dvnprodlem2  46926  iblsplit  46945  itgcoscmulx  46948  itgsincmulx  46953  stoweidlem11  46990  stoweidlem26  47005  stoweidlem42  47021  wallispilem4  47047  wallispilem5  47048  wallispi  47049  wallispi2lem1  47050  wallispi2lem2  47051  wallispi2  47052  stirlinglem1  47053  stirlinglem3  47055  stirlinglem4  47056  stirlinglem5  47057  stirlinglem6  47058  stirlinglem7  47059  stirlinglem13  47065  stirlinglem14  47066  stirlinglem15  47067  dirkeritg  47081  dirkercncflem1  47082  dirkercncflem2  47083  fourierdlem26  47112  fourierdlem39  47125  fourierdlem56  47141  fourierdlem62  47147  fourierdlem72  47157  fourierdlem74  47159  fourierdlem75  47160  fourierdlem76  47161  fourierdlem80  47165  fourierdlem103  47188  fourierdlem104  47189  fouriersw  47210  elaa2lem  47212  etransclem15  47228  etransclem20  47233  etransclem21  47234  etransclem22  47235  etransclem23  47236  etransclem24  47237  etransclem25  47238  etransclem31  47244  etransclem32  47245  etransclem33  47246  etransclem34  47247  etransclem35  47248  etransclem47  47260  etransclem48  47261  hoiqssbllem2  47602  sigardiv  47840  sharhght  47844  cndivrenred  48345  fmtnoprmfac2lem1  48620  quad1  48687  requad01  48688  requad1  48689  fdivmptf  49622  affinecomb2  49784  eenglngeehlnmlem1  49818  eenglngeehlnmlem2  49819  itscnhlc0xyqsol  49846  itschlc0xyqsol1  49847  cotcl  50814  dvsec  50825  dvcsc  50826  dvcot  50827