Theorem divcld 11929

Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcl 11814	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  dmdcan2d  11959  mulsubdivbinom2  14197  hashf1  14392  abs1m  15271  abslem2  15275  sqreulem  15295  sqreu  15296  o1fsum  15748  divrcnv  15787  divcnv  15788  geolim  15805  geolim2  15806  geo2sum  15808  geo2lim  15810  fproddiv  15896  bpolycl  15987  bpolysum  15988  bpolydiflem  15989  bpoly4  15994  eftcl  16008  efaddlem  16028  tancl  16066  tanval2  16070  qredeq  16596  pcaddlem  16828  pjthlem1  25405  iblss  25774  itgeqa  25783  iblconst  25787  iblabsr  25799  iblmulc2  25800  itgsplit  25805  dvlem  25865  dvmulbr  25909  dvmulbrOLD  25910  dvcobr  25917  dvcobrOLD  25918  dvrec  25927  dvrecg  25945  dvmptdiv  25946  dvcnvlem  25948  dveflem  25951  dvsincos  25953  dvlip  25966  c1liplem1  25969  lhop1lem  25986  lhop1  25987  lhop2  25988  lhop  25989  ftc1lem4  26014  vieta1lem2  26287  vieta1  26288  elqaalem3  26297  aareccl  26302  aalioulem1  26308  taylfvallem1  26332  tayl0  26337  taylply2  26343  taylply2OLD  26344  taylply  26345  dvtaylp  26346  taylthlem2  26350  taylthlem2OLD  26351  ulmdvlem1  26377  tanregt0  26516  eff1olem  26525  argregt0  26587  argrege0  26588  argimgt0  26589  logcnlem4  26622  advlogexp  26632  logtaylsum  26638  logtayl2  26639  root1eq1  26733  logbcl  26745  cxplogb  26764  logbf  26767  angcld  26783  angrteqvd  26784  cosangneg2d  26785  angrtmuld  26786  ang180lem1  26787  ang180lem2  26788  ang180lem3  26789  ang180lem4  26790  ang180lem5  26791  lawcoslem1  26793  lawcos  26794  isosctrlem2  26797  isosctrlem3  26798  angpieqvdlem  26806  angpieqvdlem2  26807  angpieqvd  26809  dcubic1lem  26821  dcubic2  26822  dcubic1  26823  dcubic  26824  mcubic  26825  cubic2  26826  dquartlem1  26829  dquartlem2  26830  dquart  26831  quart1cl  26832  quart1lem  26833  quart1  26834  quartlem3  26837  quartlem4  26838  quart  26839  tanatan  26897  atantayl  26915  atantayl2  26916  atantayl3  26917  log2cnv  26922  birthdaylem2  26930  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  dfef2  26949  cxploglim2  26957  fsumharmonic  26990  lgamgulmlem2  27008  lgamgulmlem3  27009  lgamgulmlem4  27010  lgamgulmlem5  27011  lgamgulmlem6  27012  lgamgulm2  27014  lgamcvg2  27033  gamcvg  27034  gamcvg2lem  27037  ftalem4  27054  ftalem5  27055  basellem8  27066  logexprlim  27204  bposlem9  27271  2lgslem3d  27378  2sqlem3  27399  dchrmusum2  27473  dchrvmasum2lem  27475  dchrvmasumiflem1  27480  dchrvmasumiflem2  27481  dchrvmaeq0  27483  dchrisum0re  27492  dchrisum0lem1b  27494  dchrisum0lem1  27495  dchrisum0lem2a  27496  dchrisum0lem2  27497  dchrisum0lem3  27498  dchrisum0  27499  mudivsum  27509  vmalogdivsum2  27517  vmalogdivsum  27518  2vmadivsumlem  27519  selberg2  27530  selberg3lem1  27536  selberg3  27538  selberg4lem1  27539  selbergr  27547  selberg3r  27548  selberg4r  27549  selberg34r  27550  pntrlog2bndlem1  27556  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem3  27558  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  colinearalg  28995  axcontlem8  29056  nrt2irr  30560  pjhthlem1  31479  eigvalcl  32049  riesz3i  32150  quad3d  32840  bcm1n  32886  divnumden2  32907  zringfrac  33647  constrrtlc1  33910  constrrtcclem  33912  constrfin  33924  constrdircl  33943  constrreinvcl  33950  constrsqrtcl  33957  cos9thpiminplylem2  33961  cos9thpiminplylem3  33962  cos9thpiminply  33966  cos9thpinconstrlem1  33967  cos9thpinconstrlem2  33968  cos9thpinconstr  33969  oddpwdc  34532  signsplypnf  34728  signsply0  34729  itgexpif  34784  hgt750leme  34836  subfacval2  35403  divcnvlin  35949  bcprod  35954  iprodgam  35958  unbdqndv2lem1  36731  knoppndvlem2  36735  knoppndvlem7  36740  knoppndvlem9  36742  knoppndvlem10  36743  knoppndvlem16  36749  knoppndvlem17  36750  itg2addnclem  37922  iblmulc2nc  37936  ftc1cnnclem  37942  areacirclem1  37959  areacirclem4  37962  areacirc  37964  cntotbnd  38047  recbothd  42362  lcmineqlem12  42410  lcmineqlem18  42416  dvrelogpow2b  42438  aks4d1p1p2  42440  aks4d1p1p7  42444  aks6d1c2p2  42489  aks6d1c4  42494  2ap1caineq  42515  aks6d1c7lem1  42550  pellexlem2  43187  pellexlem6  43191  jm2.19  43350  jm2.27c  43364  proot1ex  43553  cvgdvgrat  44669  radcnvrat  44670  hashnzfzclim  44678  bcccl  44695  bccm1k  44698  binomcxplemrat  44706  binomcxplemfrat  44707  binomcxplemnotnn0  44712  xralrple2  45713  mccllem  45957  clim1fr1  45961  0ellimcdiv  46007  coseq0  46222  fperdvper  46277  dvdivbd  46281  dvnmptdivc  46296  dvnxpaek  46300  dvnprodlem2  46305  iblsplit  46324  itgcoscmulx  46327  itgsincmulx  46332  stoweidlem11  46369  stoweidlem26  46384  stoweidlem42  46400  wallispilem4  46426  wallispilem5  46427  wallispi  46428  wallispi2lem1  46429  wallispi2lem2  46430  wallispi2  46431  stirlinglem1  46432  stirlinglem3  46434  stirlinglem4  46435  stirlinglem5  46436  stirlinglem6  46437  stirlinglem7  46438  stirlinglem13  46444  stirlinglem14  46445  stirlinglem15  46446  dirkeritg  46460  dirkercncflem1  46461  dirkercncflem2  46462  fourierdlem26  46491  fourierdlem39  46504  fourierdlem56  46520  fourierdlem62  46526  fourierdlem72  46536  fourierdlem74  46538  fourierdlem75  46539  fourierdlem76  46540  fourierdlem80  46544  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  fouriersw  46589  elaa2lem  46591  etransclem15  46607  etransclem20  46612  etransclem21  46613  etransclem22  46614  etransclem23  46615  etransclem24  46616  etransclem25  46617  etransclem31  46623  etransclem32  46624  etransclem33  46625  etransclem34  46626  etransclem35  46627  etransclem47  46639  etransclem48  46640  hoiqssbllem2  46981  sigardiv  47219  sharhght  47223  cndivrenred  47666  fmtnoprmfac2lem1  47926  quad1  47980  requad01  47981  requad1  47982  fdivmptf  48901  affinecomb2  49063  eenglngeehlnmlem1  49097  eenglngeehlnmlem2  49098  itscnhlc0xyqsol  49125  itschlc0xyqsol1  49126  cotcl  50111