Theorem divcld 12044

Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcl 11929	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  0cc0 11156   / cdiv 11921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922

This theorem is referenced by:  dmdcan2d  12074  mulsubdivbinom2  14302  hashf1  14497  abs1m  15375  abslem2  15379  sqreulem  15399  sqreu  15400  o1fsum  15850  divrcnv  15889  divcnv  15890  geolim  15907  geolim2  15908  geo2sum  15910  geo2lim  15912  fproddiv  15998  bpolycl  16089  bpolysum  16090  bpolydiflem  16091  bpoly4  16096  eftcl  16110  efaddlem  16130  tancl  16166  tanval2  16170  qredeq  16695  pcaddlem  16927  pjthlem1  25472  iblss  25841  itgeqa  25850  iblconst  25854  iblabsr  25866  iblmulc2  25867  itgsplit  25872  dvlem  25932  dvmulbr  25976  dvmulbrOLD  25977  dvcobr  25984  dvcobrOLD  25985  dvrec  25994  dvrecg  26012  dvmptdiv  26013  dvcnvlem  26015  dveflem  26018  dvsincos  26020  dvlip  26033  c1liplem1  26036  lhop1lem  26053  lhop1  26054  lhop2  26055  lhop  26056  ftc1lem4  26081  vieta1lem2  26354  vieta1  26355  elqaalem3  26364  aareccl  26369  aalioulem1  26375  taylfvallem1  26399  tayl0  26404  taylply2  26410  taylply2OLD  26411  taylply  26412  dvtaylp  26413  taylthlem2  26417  taylthlem2OLD  26418  ulmdvlem1  26444  tanregt0  26582  eff1olem  26591  argregt0  26653  argrege0  26654  argimgt0  26655  logcnlem4  26688  advlogexp  26698  logtaylsum  26704  logtayl2  26705  root1eq1  26799  logbcl  26811  cxplogb  26830  logbf  26833  angcld  26849  angrteqvd  26850  cosangneg2d  26851  angrtmuld  26852  ang180lem1  26853  ang180lem2  26854  ang180lem3  26855  ang180lem4  26856  ang180lem5  26857  lawcoslem1  26859  lawcos  26860  isosctrlem2  26863  isosctrlem3  26864  angpieqvdlem  26872  angpieqvdlem2  26873  angpieqvd  26875  dcubic1lem  26887  dcubic2  26888  dcubic1  26889  dcubic  26890  mcubic  26891  cubic2  26892  dquartlem1  26895  dquartlem2  26896  dquart  26897  quart1cl  26898  quart1lem  26899  quart1  26900  quartlem3  26903  quartlem4  26904  quart  26905  tanatan  26963  atantayl  26981  atantayl2  26982  atantayl3  26983  log2cnv  26988  birthdaylem2  26996  efrlim  27013  efrlimOLD  27014  dfef2  27015  cxploglim2  27023  fsumharmonic  27056  lgamgulmlem2  27074  lgamgulmlem3  27075  lgamgulmlem4  27076  lgamgulmlem5  27077  lgamgulmlem6  27078  lgamgulm2  27080  lgamcvg2  27099  gamcvg  27100  gamcvg2lem  27103  ftalem4  27120  ftalem5  27121  basellem8  27132  logexprlim  27270  bposlem9  27337  2lgslem3d  27444  2sqlem3  27465  dchrmusum2  27539  dchrvmasum2lem  27541  dchrvmasumiflem1  27546  dchrvmasumiflem2  27547  dchrvmaeq0  27549  dchrisum0re  27558  dchrisum0lem1b  27560  dchrisum0lem1  27561  dchrisum0lem2a  27562  dchrisum0lem2  27563  dchrisum0lem3  27564  dchrisum0  27565  mudivsum  27575  vmalogdivsum2  27583  vmalogdivsum  27584  2vmadivsumlem  27585  selberg2  27596  selberg3lem1  27602  selberg3  27604  selberg4lem1  27605  selbergr  27613  selberg3r  27614  selberg4r  27615  selberg34r  27616  pntrlog2bndlem1  27622  pntrlog2bndlem2  27623  pntrlog2bndlem3  27624  pntrlog2bndlem4  27625  pntrlog2bndlem5  27626  colinearalg  28926  axcontlem8  28987  nrt2irr  30493  pjhthlem1  31411  eigvalcl  31981  riesz3i  32082  quad3d  32755  bcm1n  32798  divnumden2  32818  zringfrac  33583  constrrtlc1  33774  constrrtcclem  33776  constrfin  33788  oddpwdc  34357  signsplypnf  34566  signsply0  34567  itgexpif  34622  hgt750leme  34674  subfacval2  35193  divcnvlin  35734  bcprod  35739  iprodgam  35743  unbdqndv2lem1  36511  knoppndvlem2  36515  knoppndvlem7  36520  knoppndvlem9  36522  knoppndvlem10  36523  knoppndvlem16  36529  knoppndvlem17  36530  itg2addnclem  37679  iblmulc2nc  37693  ftc1cnnclem  37699  areacirclem1  37716  areacirclem4  37719  areacirc  37721  cntotbnd  37804  recbothd  41994  lcmineqlem12  42042  lcmineqlem18  42048  dvrelogpow2b  42070  aks4d1p1p2  42072  aks4d1p1p7  42076  aks6d1c2p2  42121  aks6d1c4  42126  2ap1caineq  42147  aks6d1c7lem1  42182  pellexlem2  42846  pellexlem6  42850  jm2.19  43010  jm2.27c  43024  proot1ex  43213  cvgdvgrat  44337  radcnvrat  44338  hashnzfzclim  44346  bcccl  44363  bccm1k  44366  binomcxplemrat  44374  binomcxplemfrat  44375  binomcxplemnotnn0  44380  xralrple2  45370  mccllem  45617  clim1fr1  45621  0ellimcdiv  45669  coseq0  45884  fperdvper  45939  dvdivbd  45943  dvnmptdivc  45958  dvnxpaek  45962  dvnprodlem2  45967  iblsplit  45986  itgcoscmulx  45989  itgsincmulx  45994  stoweidlem11  46031  stoweidlem26  46046  stoweidlem42  46062  wallispilem4  46088  wallispilem5  46089  wallispi  46090  wallispi2lem1  46091  wallispi2lem2  46092  wallispi2  46093  stirlinglem1  46094  stirlinglem3  46096  stirlinglem4  46097  stirlinglem5  46098  stirlinglem6  46099  stirlinglem7  46100  stirlinglem13  46106  stirlinglem14  46107  stirlinglem15  46108  dirkeritg  46122  dirkercncflem1  46123  dirkercncflem2  46124  fourierdlem26  46153  fourierdlem39  46166  fourierdlem56  46182  fourierdlem62  46188  fourierdlem72  46198  fourierdlem74  46200  fourierdlem75  46201  fourierdlem76  46202  fourierdlem80  46206  fourierdlem103  46229  fourierdlem104  46230  fouriersw  46251  elaa2lem  46253  etransclem15  46269  etransclem20  46274  etransclem21  46275  etransclem22  46276  etransclem23  46277  etransclem24  46278  etransclem25  46279  etransclem31  46285  etransclem32  46286  etransclem33  46287  etransclem34  46288  etransclem35  46289  etransclem47  46301  etransclem48  46302  hoiqssbllem2  46643  sigardiv  46881  sharhght  46885  cndivrenred  47323  fmtnoprmfac2lem1  47558  quad1  47612  requad01  47613  requad1  47614  fdivmptf  48467  affinecomb2  48629  eenglngeehlnmlem1  48663  eenglngeehlnmlem2  48664  itscnhlc0xyqsol  48691  itschlc0xyqsol1  48692  cotcl  49326