Theorem divcld 11958

Description: Closure law for division. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divcld	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Proof of Theorem divcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
3		divcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
4		divcl 11843	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068   / cdiv 11835

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836

This theorem is referenced by:  dmdcan2d  11988  mulsubdivbinom2  14227  hashf1  14422  abs1m  15302  abslem2  15306  sqreulem  15326  sqreu  15327  o1fsum  15779  divrcnv  15818  divcnv  15819  geolim  15836  geolim2  15837  geo2sum  15839  geo2lim  15841  fproddiv  15927  bpolycl  16018  bpolysum  16019  bpolydiflem  16020  bpoly4  16025  eftcl  16039  efaddlem  16059  tancl  16097  tanval2  16101  qredeq  16627  pcaddlem  16859  pjthlem1  25337  iblss  25706  itgeqa  25715  iblconst  25719  iblabsr  25731  iblmulc2  25732  itgsplit  25737  dvlem  25797  dvmulbr  25841  dvmulbrOLD  25842  dvcobr  25849  dvcobrOLD  25850  dvrec  25859  dvrecg  25877  dvmptdiv  25878  dvcnvlem  25880  dveflem  25883  dvsincos  25885  dvlip  25898  c1liplem1  25901  lhop1lem  25918  lhop1  25919  lhop2  25920  lhop  25921  ftc1lem4  25946  vieta1lem2  26219  vieta1  26220  elqaalem3  26229  aareccl  26234  aalioulem1  26240  taylfvallem1  26264  tayl0  26269  taylply2  26275  taylply2OLD  26276  taylply  26277  dvtaylp  26278  taylthlem2  26282  taylthlem2OLD  26283  ulmdvlem1  26309  tanregt0  26448  eff1olem  26457  argregt0  26519  argrege0  26520  argimgt0  26521  logcnlem4  26554  advlogexp  26564  logtaylsum  26570  logtayl2  26571  root1eq1  26665  logbcl  26677  cxplogb  26696  logbf  26699  angcld  26715  angrteqvd  26716  cosangneg2d  26717  angrtmuld  26718  ang180lem1  26719  ang180lem2  26720  ang180lem3  26721  ang180lem4  26722  ang180lem5  26723  lawcoslem1  26725  lawcos  26726  isosctrlem2  26729  isosctrlem3  26730  angpieqvdlem  26738  angpieqvdlem2  26739  angpieqvd  26741  dcubic1lem  26753  dcubic2  26754  dcubic1  26755  dcubic  26756  mcubic  26757  cubic2  26758  dquartlem1  26761  dquartlem2  26762  dquart  26763  quart1cl  26764  quart1lem  26765  quart1  26766  quartlem3  26769  quartlem4  26770  quart  26771  tanatan  26829  atantayl  26847  atantayl2  26848  atantayl3  26849  log2cnv  26854  birthdaylem2  26862  efrlim  26879  efrlimOLD  26880  dfef2  26881  cxploglim2  26889  fsumharmonic  26922  lgamgulmlem2  26940  lgamgulmlem3  26941  lgamgulmlem4  26942  lgamgulmlem5  26943  lgamgulmlem6  26944  lgamgulm2  26946  lgamcvg2  26965  gamcvg  26966  gamcvg2lem  26969  ftalem4  26986  ftalem5  26987  basellem8  26998  logexprlim  27136  bposlem9  27203  2lgslem3d  27310  2sqlem3  27331  dchrmusum2  27405  dchrvmasum2lem  27407  dchrvmasumiflem1  27412  dchrvmasumiflem2  27413  dchrvmaeq0  27415  dchrisum0re  27424  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem2a  27428  dchrisum0lem2  27429  dchrisum0lem3  27430  dchrisum0  27431  mudivsum  27441  vmalogdivsum2  27449  vmalogdivsum  27450  2vmadivsumlem  27451  selberg2  27462  selberg3lem1  27468  selberg3  27470  selberg4lem1  27471  selbergr  27479  selberg3r  27480  selberg4r  27481  selberg34r  27482  pntrlog2bndlem1  27488  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem3  27490  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem5  27492  colinearalg  28837  axcontlem8  28898  nrt2irr  30402  pjhthlem1  31320  eigvalcl  31890  riesz3i  31991  quad3d  32673  bcm1n  32718  divnumden2  32740  zringfrac  33525  constrrtlc1  33722  constrrtcclem  33724  constrfin  33736  constrdircl  33755  constrreinvcl  33762  constrsqrtcl  33769  cos9thpiminplylem2  33773  cos9thpiminplylem3  33774  cos9thpiminply  33778  cos9thpinconstrlem1  33779  cos9thpinconstrlem2  33780  cos9thpinconstr  33781  oddpwdc  34345  signsplypnf  34541  signsply0  34542  itgexpif  34597  hgt750leme  34649  subfacval2  35174  divcnvlin  35720  bcprod  35725  iprodgam  35729  unbdqndv2lem1  36497  knoppndvlem2  36501  knoppndvlem7  36506  knoppndvlem9  36508  knoppndvlem10  36509  knoppndvlem16  36515  knoppndvlem17  36516  itg2addnclem  37665  iblmulc2nc  37679  ftc1cnnclem  37685  areacirclem1  37702  areacirclem4  37705  areacirc  37707  cntotbnd  37790  recbothd  41980  lcmineqlem12  42028  lcmineqlem18  42034  dvrelogpow2b  42056  aks4d1p1p2  42058  aks4d1p1p7  42062  aks6d1c2p2  42107  aks6d1c4  42112  2ap1caineq  42133  aks6d1c7lem1  42168  pellexlem2  42818  pellexlem6  42822  jm2.19  42982  jm2.27c  42996  proot1ex  43185  cvgdvgrat  44302  radcnvrat  44303  hashnzfzclim  44311  bcccl  44328  bccm1k  44331  binomcxplemrat  44339  binomcxplemfrat  44340  binomcxplemnotnn0  44345  xralrple2  45350  mccllem  45595  clim1fr1  45599  0ellimcdiv  45647  coseq0  45862  fperdvper  45917  dvdivbd  45921  dvnmptdivc  45936  dvnxpaek  45940  dvnprodlem2  45945  iblsplit  45964  itgcoscmulx  45967  itgsincmulx  45972  stoweidlem11  46009  stoweidlem26  46024  stoweidlem42  46040  wallispilem4  46066  wallispilem5  46067  wallispi  46068  wallispi2lem1  46069  wallispi2lem2  46070  wallispi2  46071  stirlinglem1  46072  stirlinglem3  46074  stirlinglem4  46075  stirlinglem5  46076  stirlinglem6  46077  stirlinglem7  46078  stirlinglem13  46084  stirlinglem14  46085  stirlinglem15  46086  dirkeritg  46100  dirkercncflem1  46101  dirkercncflem2  46102  fourierdlem26  46131  fourierdlem39  46144  fourierdlem56  46160  fourierdlem62  46166  fourierdlem72  46176  fourierdlem74  46178  fourierdlem75  46179  fourierdlem76  46180  fourierdlem80  46184  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fouriersw  46229  elaa2lem  46231  etransclem15  46247  etransclem20  46252  etransclem21  46253  etransclem22  46254  etransclem23  46255  etransclem24  46256  etransclem25  46257  etransclem31  46263  etransclem32  46264  etransclem33  46265  etransclem34  46266  etransclem35  46267  etransclem47  46279  etransclem48  46280  hoiqssbllem2  46621  sigardiv  46859  sharhght  46863  cndivrenred  47307  fmtnoprmfac2lem1  47567  quad1  47621  requad01  47622  requad1  47623  fdivmptf  48530  affinecomb2  48692  eenglngeehlnmlem1  48726  eenglngeehlnmlem2  48727  itscnhlc0xyqsol  48754  itschlc0xyqsol1  48755  cotcl  49741