MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divne0d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divne0d 11424
Description: The ratio of nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
div1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
divne0d.3 (𝜑𝐴 ≠ 0)
divne0d.4 (𝜑𝐵 ≠ 0)
Assertion
Ref Expression
divne0d (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem divne0d
StepHypRef Expression
1 div1d.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 divne0d.3 . 2 (𝜑𝐴 ≠ 0)
3 divcld.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4 divne0d.4 . 2 (𝜑𝐵 ≠ 0)
5 divne0 11302 . 2 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
61, 2, 3, 4, 5syl22anc 836 1 (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  wne 3020  (class class class)co 7151  cc 10527  0cc0 10529   / cdiv 11289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290
This theorem is referenced by:  ntrivcvgtail  15248  tanval3  15479  lcmgcdlem  15942  pcdiv  16181  pcqdiv  16186  sylow1lem1  18645  fincygsubgodd  19156  i1fmulc  24221  itg1mulc  24222  dvcnvlem  24490  plydivlem4  24802  tanarg  25117  logcnlem4  25143  angcld  25298  angrteqvd  25299  cosangneg2d  25300  angrtmuld  25301  ang180lem1  25302  ang180lem2  25303  ang180lem3  25304  ang180lem4  25305  ang180lem5  25306  lawcoslem1  25308  lawcos  25309  isosctrlem2  25312  isosctrlem3  25313  angpieqvdlem2  25322  mcubic  25340  cubic2  25341  cubic  25342  quartlem4  25353  tanatan  25412  dmgmdivn0  25521  lgamgulmlem2  25523  gamcvg2lem  25552  qqhval2lem  31110  iprodgam  32860  pellexlem6  39298  bccm1k  40541  ioodvbdlimc1lem2  42084  ioodvbdlimc2lem  42086  wallispilem4  42221  stirlinglem1  42227  stirlinglem3  42229  stirlinglem4  42230  stirlinglem7  42233  stirlinglem13  42239  stirlinglem14  42240  stirlinglem15  42241
  Copyright terms: Public domain W3C validator