Theorem divne0d 11483

Description: The ratio of nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
divne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem divne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		divne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5		divne0 11361	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  (class class class)co 7156  ℂcc 10586  0cc0 10588   / cdiv 11348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349

This theorem is referenced by:  ntrivcvgtail  15317  tanval3  15548  lcmgcdlem  16015  pcdiv  16257  pcqdiv  16262  sylow1lem1  18803  fincygsubgodd  19315  i1fmulc  24416  itg1mulc  24417  dvcnvlem  24688  plydivlem4  25004  tanarg  25322  logcnlem4  25348  angcld  25503  angrteqvd  25504  cosangneg2d  25505  angrtmuld  25506  ang180lem1  25507  ang180lem2  25508  ang180lem3  25509  ang180lem4  25510  ang180lem5  25511  lawcoslem1  25513  lawcos  25514  isosctrlem2  25517  isosctrlem3  25518  angpieqvdlem2  25527  mcubic  25545  cubic2  25546  cubic  25547  quartlem4  25558  tanatan  25617  dmgmdivn0  25725  lgamgulmlem2  25727  gamcvg2lem  25756  qqhval2lem  31462  iprodgam  33235  recbothd  39594  aks4d1p1p7  39674  pellexlem6  40183  bccm1k  41454  ioodvbdlimc1lem2  42975  ioodvbdlimc2lem  42977  wallispilem4  43111  stirlinglem1  43117  stirlinglem3  43119  stirlinglem4  43120  stirlinglem7  43123  stirlinglem13  43129  stirlinglem14  43130  stirlinglem15  43131