Theorem divne0d 12010

Description: The ratio of nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
divne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem divne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		divne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5		divne0 11888	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7411  ℂcc 11110  0cc0 11112   / cdiv 11875

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876

This theorem is referenced by:  ntrivcvgtail  15850  tanval3  16081  lcmgcdlem  16547  pcdiv  16789  pcqdiv  16794  sylow1lem1  19507  fincygsubgodd  20023  i1fmulc  25445  itg1mulc  25446  dvcnvlem  25717  plydivlem4  26033  tanarg  26351  logcnlem4  26377  angcld  26534  angrteqvd  26535  cosangneg2d  26536  angrtmuld  26537  ang180lem1  26538  ang180lem2  26539  ang180lem3  26540  ang180lem4  26541  ang180lem5  26542  lawcoslem1  26544  lawcos  26545  isosctrlem2  26548  isosctrlem3  26549  angpieqvdlem2  26558  mcubic  26576  cubic2  26577  cubic  26578  quartlem4  26589  tanatan  26648  dmgmdivn0  26756  lgamgulmlem2  26758  gamcvg2lem  26787  nrt2irr  29981  qqhval2lem  33247  iprodgam  35004  recbothd  41164  aks4d1p1p7  41245  aks6d1c2p2  41263  pellexlem6  41874  bccm1k  43403  ioodvbdlimc1lem2  44947  ioodvbdlimc2lem  44949  wallispilem4  45083  stirlinglem1  45089  stirlinglem3  45091  stirlinglem4  45092  stirlinglem7  45095  stirlinglem13  45101  stirlinglem14  45102  stirlinglem15  45103