Theorem divne0d 12002

Description: The ratio of nonzero numbers is nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
divcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
divne0d.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
divne0d.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
divne0d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)

Proof of Theorem divne0d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		divne0d.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
3		divcld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
4		divne0d.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≠ 0)
5		divne0 11880	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)
6	1, 2, 3, 4, 5	syl22anc 837	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 𝐵) ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106   / cdiv 11867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868

This theorem is referenced by:  ntrivcvgtail  15842  tanval3  16073  lcmgcdlem  16539  pcdiv  16781  pcqdiv  16786  sylow1lem1  19460  fincygsubgodd  19976  i1fmulc  25212  itg1mulc  25213  dvcnvlem  25484  plydivlem4  25800  tanarg  26118  logcnlem4  26144  angcld  26299  angrteqvd  26300  cosangneg2d  26301  angrtmuld  26302  ang180lem1  26303  ang180lem2  26304  ang180lem3  26305  ang180lem4  26306  ang180lem5  26307  lawcoslem1  26309  lawcos  26310  isosctrlem2  26313  isosctrlem3  26314  angpieqvdlem2  26323  mcubic  26341  cubic2  26342  cubic  26343  quartlem4  26354  tanatan  26413  dmgmdivn0  26521  lgamgulmlem2  26523  gamcvg2lem  26552  qqhval2lem  32949  iprodgam  34700  recbothd  40846  aks4d1p1p7  40927  aks6d1c2p2  40945  pellexlem6  41557  bccm1k  43086  ioodvbdlimc1lem2  44634  ioodvbdlimc2lem  44636  wallispilem4  44770  stirlinglem1  44776  stirlinglem3  44778  stirlinglem4  44779  stirlinglem7  44782  stirlinglem13  44788  stirlinglem14  44789  stirlinglem15  44790