MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reltre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reltre 13256
Description: For all real numbers there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
reltre 𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem reltre
StepHypRef Expression
1 peano2rem 11465 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
2 breq1 5107 . . . 4 (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑥))
32adantl 482 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 − 1)) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑥))
4 ltm1 11994 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) < 𝑥)
51, 3, 4rspcedvd 3582 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
65rgen 3065 1 𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3063  wrex 3072   class class class wbr 5104  (class class class)co 7354  cr 11047  1c1 11049   < clt 11186  cmin 11382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5530  df-po 5544  df-so 5545  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-er 8645  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385
This theorem is referenced by:  reltxrnmnf  13258
  Copyright terms: Public domain W3C validator