Theorem reltre 13056

Description: For all real numbers there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reltre	⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem reltre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2rem 11271	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
2		breq1 5081	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑥))
3	2	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 − 1)) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑥))
4		ltm1 11800	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) < 𝑥)
5	1, 3, 4	rspcedvd 3563	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
6	5	rgen 3075	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3065  ∃wrex 3066   class class class wbr 5078  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  1c1 10856   < clt 10993   − cmin 11188

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191

This theorem is referenced by:  reltxrnmnf  13058