Theorem reltre 12787

Description: For all real numbers there is a smaller real number. (Contributed by AV, 5-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
reltre	⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem reltre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2rem 11004	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) ∈ ℝ)
2		breq1 5039	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝑥 − 1) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑥))
3	2	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 = (𝑥 − 1)) → (𝑦 < 𝑥 ↔ (𝑥 − 1) < 𝑥))
4		ltm1 11533	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑥 − 1) < 𝑥)
5	1, 3, 4	rspcedvd 3546	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥)
6	5	rgen 3080	1 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℝ ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑦 < 𝑥

Syntax hints:   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3070  ∃wrex 3071   class class class wbr 5036  (class class class)co 7156  ℝcr 10587  1c1 10589   < clt 10726   − cmin 10921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-id 5434  df-po 5447  df-so 5448  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924

This theorem is referenced by:  reltxrnmnf  12789